№ 100 (Лабы по оптике), страница 3

Поэтому nможно заключить из рис. 8,2bи, какa . При этих условиях в формулах (5) и2(6) можно пренебречь величинами2иn2по сравнению с другимичленами. В результате из (1.5) и (1.6) получается13rn 22abn2b .(7)Отсюда следуетbn,2(a b)abn,rn 2a babn,rna b( a b) rn 2.abnВычислим теперь площадь S n зоны с номером n , считая, что(8)(9)(10)(11)прималыхвыпуклость поверхноститак мала, что зону можно считатьплоским кольцом с наружным радиусом rn и внутренним радиусом rn 1 .При помощи формулы (9) получимSnrn 2r 2n1abna bab(n 1)a bab.a b(12)Так как выражение для S n не зависит от номера зоны, то в данномслучае площади всех зон равны между собой.Метод векторных диаграмм. Сложение гармоническихколебаний одинаковой частоты удобно делать при помощи векторныхдиаграмм. Напомним, что на векторной диаграмме колебаниеизображается вектором, модуль которого равен амплитуде колебания, аугол, который он составляет с некоторым фиксированным направлением(на чертеже – обычно горизонтальным), равен начальной фазе колебания.Присложениинесколькихвекторов,изображающихколебания,получаетсявектор,модуль которого равен амплитудесуммарногоколебания(фазойсуммарного колебания мы здесьинтересоваться не будем).

Присложении большого числа векторовихрасполагаютцепочкой,совмещаяначалокаждогоРис. 9следующего вектора с концомпредыдущего, сохраняя при этомнаправления векторов. Суммой векторов является замыкающий вектор, т.е.вектор, проведѐнный от начала первого вектора цепочки к концупоследнего.Воспользуемся этими правилами для сложения колебаний,приходящих в точку наблюдения В от вспомогательной поверхности(см. рис.

7). Разобьѐм каждую зону Френеля на большое число колечек,14настолько узких, что расстояния от любых точек одного и того же колечкадо точки В можно считать одинаковыми (рис. 9). Примем за нуль фазуколебания, приходящего в точку В от центрального кружка первой зоны.Тогда на векторной диаграмме это колебаниеможно изобразить в видегоризонтально направленного вектора dA11 . Вследствие того, что колечко,прилегающее к центральному кружку, находится от точки В несколькодальше, чем центральный кружок, колебание от этого колечка приходит вточку В с некоторым запаздыванием по фазе по сравнению с колебанием,приходящим от центрального кружка. Поэтомуна векторной диаграммеэто колебание изображается вектором dA12 , повѐрнутым на небольшойугол по отношению к вектору dA11 .

От следующего колечка колебание вточку В приходит с ещѐ большим запаздыванием по фазе. Вектор dA13 ,изображающей это колебание, также долженбыть повѐрнут на некоторыйугол по отношению к вектору dA12 и т.д. В результате векторы,изображающие колебания, приходящие в точку В от следующих друг задругом колечек, образуют ломаную линию.Так как расстояние M 1 B от границы между первой и второй зонамидо точки В превышает расстояние M 0 B от центра первой зоны до точкиВ на половину длины волны (см. рис. 7), то от первого колечка второйзоны колебание в точку В приходит с противоположной фазой поРис. 10сравнению с колебанием,приходящим от центрального кружка.

Этоозначает, что вектор dA21 , изображающий колебание, приходящее отпервого колечкавторой зоны, должен быть направлен противоположновектору dA11 .Чем уже колечки, тем точнее получается результат. Принеограниченном уменьшении ширины колечек и одновременномувеличении их числа ломаная линия превращается в плавную кривую.Хотя площади колечек и равны, но амплитуды колебаний, приходящих отних в точку В , постепенно уменьшаются по мере роста радиусов колечек.Это вызвано, во-первых, удалением колечек от точки В и, во-вторых,увеличением углов между направлениями лучей, идущих от колечек кточке В , и направлениями нормалей к поверхности колечек.

В результате,линия, в которую переходит ломаная при неограниченном уменьшении15ширины колечек, представляет собой медленно закручивающуюся спираль(рис. 10,а).Если учитываются колебания, приходящие в точку В только отпервой зоны, то конец дуги спирали должен быть направленпротивоположно еѐ началу. Векторная диаграмма в этом случаепредставляет собой полвитка спирали (рис. 10,б). Суммарноеколебание,приходящее от первой зоны, изображается вектором А1 .Расстояние М 2 В больше расстояния M 0 B на длину волны (см.рис.

7). Поэтому колебание, приходящее в точку В от границы междувторой и третьей зонами, происходит в одной фазе с колебанием,приходящим от центра первой зоны. Следовательно, конец и начало частиспирали, изображающей на векторной диаграмме колебания, приходящие вточку В от первой и второй зон вместе, должны иметь одинаковыенаправления. Эта часть спирали представляет собой один еѐ виток.Суммарное колебание изображается вектором А2 , идущим от началавитка к его концу и имеющим весьма малую величину по сравнению свектором А1 (рис. 10, в).Таким же способом можно прийти к выводу, что векторнаядиаграмма колебаний трѐх первых зон представляет собой полтора виткаспиралии что суммарному колебанию в этом случае соответствует векторА3 , по величине мало уступающий вектору А1 (рис.

10, г).Продолжая эти рассуждения, легко заключить, что если принимаетсяво внимание нечѐтное число зон, то амплитуда суммарного колебанияполучается большой, при чѐтном же числе зон она оказывается маленькой.Однако по мере увеличения числа рассматриваемых зон эта разницапостепенно сглаживается. В конце концов, если на пути света не имеетсяникаких препятствий, то суммарное колебание определяется вектором А0 ,проведѐнном от начала спирали 0 до еѐ асимптотической точки (рис.

10,а).Обратим внимание на то, что при отсутствии препятствий наповерхностипомещаются сотни тысяч зон. Поэтому спираль содержитогромное число витков, расположенных гораздо теснее, чем это показано на рис. 10. Векторы, замыкающие полуцелое число витков спирали ( А1 , А3и т.д.), даже если рассматривается первая сотня витков, практическиравны между собой. Векторы же, замыкающие целое число витков ( А2 , А4 и т.п.),ничтожно малы. При этих условиях величина векторов А1 , А3 и т.д.

вдвоебольше величины вектора А0 .Дифракция на круглом отверстии. Пусть имеетсянепрозрачный экран с круглым отверстием радиуса r . Источник S ,испускающий свет с длиной волны , и точка наблюдения В находятсяна оси отверстия, т.е. на прямой, перпендикулярной плоскости экрана ипроходящей через центр отверстия (рис. 11). Расстояния от источника доэкрана и от экрана до точки В равны а и b соответственно.16Изложенная выше теория даѐт возможность определить отношениеинтенсивности в точке В дифракционной картины, получающейся припрохождении светом отверстия, к интенсивности, которая создаѐтся вточке В этим же источником, если экран убрать.Возьмѐм в качестве вспомогательной поверхностиповерхностьэкрана и волновую поверхность, представляющую собой часть сферы сцентром в точке S , опирающуюся на края отверстия.

Поверхность экранавклада в дифракционную картину, разумеется, не вносит. Всяинтенсивность в точке В определяется амплитудой суммарного колебания,создаваемого в этой точке вторичными источниками, расположенными насферической части поверхности.Величину амплитуды суммарногоколебания можно найти при помощивекторнойдиаграммы,представленной на рис. 10,а. Дляэтого следует из формулы (1.9)определить число n зон Френеля,укладывающихся на сферическойчасти поверхности , ограниченнойкраями отверстия (число n можетоказаться и нецелым). Далее нужнонайтичастьспирали,соответствующую этому числу зон иРис. 11провести вектор А от началаспирали к концу этой части.

ОтношениеАА02даст искомое отношениеинтенсивностей. Нас интересует это отношение в тех случаях, когда числозон, укладывающихся в отверстии, невелико. В частности, если это числочѐтное, то в точке В интенсивность практически равна нулю – в центредифракционной картины наблюдается тѐмное пятно. При нечѐтном числезон амплитуды суммарных колебаний имеют величину A1 A3 A5... A0 и,Вследовательно, интенсивность в точкев четыре раза большеинтенсивности в той же точке, если экран отсутствует. В этом случае вцентре дифракционной картины наблюдается светлое пятно.Нахождение интенсивности в точках дифракционной картины,лежащих в стороне от оси, весьма сложно. Здесь мы на этомВостанавливаться не будем.2 Опыт показывает, что вокруг точкинаблюдаются чередующиеся светлые и тѐмные кольца, причѐм общеечисло колец, включая и центральное пятно, равно числу зон,укладывающихся в отверстии.

Например, на рис. 11 изображѐн случай,когда в отверстии укладывается три зоны. Если в отверстии укладывается2Качественное объяснение см., например, Д.В. Белов, Г.Е. Пустовалов Краткий курс физики, ч. IV.Оптика, § 14. Изд-во МГУ, 1982.17одна зона или только часть зоны, то дифракционная картина имеет видодного светлого пятна.Число зон, укладывающихся в отверстии, а, следовательно, иинтенсивность в центре дифракционной картины можно изменять,Рис. 12увеличивая или уменьшая радиус отверстия. Однако этого можно добитьсятакже, изменяя положение точки наблюдения на оси отверстия принеизменном его радиусе.