№ 100 (Лабы по оптике), страница 2

являются когерентными.7ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА – ФРЕНЕЛЯОсновные особенности дифракции волн вообще и световых волн вчастности можно объяснить при помощи так называемого принципаГюйгенса-Френеля.Болеестрогоеобъяснениедифракцииэлектромагнитных волн (в том числе световых) даѐт теорияэлектромагнетизма Максвелла. Однако ввиду еѐ сложности мы здесь наней останавливаться не будем.Напомним, что согласно известному принципу Гюйгенса, каждуюточку пространства, до которой дошло возмущение, распространяющееся ввиде волны, можно принять за источник сферических волн. ПринципГюйгенса позволяет проследить за распространением фронта волны –поверхности, до точек которой возмущение, распространяющееся отданного источника, доходит одновременно.Для этого на пути распространения волныберутнекоторую,вообщеговоря,произвольную воображаемую поверхность 1(рис. 3). Пусть от источника до некоторойточки А , лежащей на этой поверхности,возмущение доходит за время t1 .

Если вданной области пространства возмущениераспространяется со скоростьюv , то кмоменту времени t 2 (время отсчитывается смомента испускания возмущения первичнымисточником)возмущение,распространяющееся от точки А , принятой завторичный источник, достигнет поверхностиr v(t2 t1 ) .сферырадиусаОбычноизображают только часть этой сферы –полусферу в направлении распространенияволны. Такие полусферы строят для большогочисла вторичных источников, взятых наповерхности 1 . Радиусы этих полусфер могутбыть различными, так как времена t1 дляРис. 3разных точек поверхностимогут1отличаться друг от друга и скорость v распространения возмущения вразных областях пространства может быть неодинаковой.

Поверхность 2 ,касающаяся всех таких полусфер (огибающая поверхность), представляетсобой положение фронта волны в момент времени t 2 . Проводя такоепостроение для ряда моментов t 2 , можно получить последовательныефронты волны по мере распространения возмущения. Построение заметнооблегчается, если в качестве вспомогательной поверхности 1 взять фронт8волны в какой-либо момент времени.

Тогда t1 будет одинаково для всехt t2 t1 будет соответствоватьвторичных источников, а величинапромежутку времени, в течение которого фронт волны перемещается отповерхности 1 до поверхности 2 . Линии, перпендикулярные фронтуволны, в геометрической оптике соответствуют лучам. Вдоль них визотропной среде происходит распространение энергии, которую несѐт ссобой световая волна.Из принципа Гюйгенса следует, что при наличии на пути волны какихлибо препятствий могут возникать отклонения от законов геометрическойоптики, т.е.

может наблюдаться дифракция. Например, пусть на путисветовой волны, испускаемой точечным источником S , имеетсянепрозрачный экран с малым отверстием (рис.4). Согласно законамгеометрической оптики, свет, прошедший через отверстие, долженраспространяться узким пучком, показанным на рис. 4 штриховымилиниями. В то же время при достаточно малойвеличине отверстия участок фронта волны,лежащий в самом отверстии, можно, согласнопринципу Гюйгенса, принять за точечныйисточник, от которого распространяетсясферическая волна, заходящая и в областьгеометрической тени.Дляобъясненияраспределенияинтенсивности в дифракционной картинеФренельдополнилпринципГюйгенсаследующими предположениями:1) монохроматическийсветпредставляет собой распространениевпространствегармоническихколебаний;2) распределениеинтенсивностивдифракционнойкартинеможнопредставитькакрезультатинтерференции волн, испускаемыхвторичными источниками.Рассмотрим теперь принципРис.

4Гюйгенса-Френеля более подробно.Прежде всего, мы в дальнейшем будем считать, что каким-либоспособом,например,припомощисветофильтра,обеспеченамонохроматичность света, который используется для получениядифракционной картины. Примем в качестве характеристики возмущения,распространяющегося в виде световой электромагнитной волны,напряжѐнность электрического поля Е . Пусть источник испускаетэлектромагнитную волну, в которой колебания происходят погармоническому закону с частотой .

Если начальная фаза колебаний9источника принята за нуль, то в какой-либо точке пространства, гдепроходит волна, колебания напряжѐнности происходят по законуEE0 sin( t)E0 sin[ (t tзап)] ,(3)Здесь tзап представляет собой время запаздывания, т.е. промежутоквремени, в течение которого возмущение распространяется от источникадо этой точки. Из формулы (3) видно, что в точкахпространства, для которых tзап одно и то же,колебания происходят в одной фазе.

Отсюдаследует, что в случае монохроматической волныпостроение Гюйгенса определяет расположениеповерхностей равных фаз, или иначе волновыхповерхностей.То, что волны, испускаемые вторичнымиисточниками,интерферируют,т.е.являютсякогерентными, можно уяснить, обратившись кинтерференционной схеме Юнга, в которой дляполученияинтерферирующихпучковсветаиспользуется непрозрачный экран с двумя малымиотверстиями А и В (рис. 5). Участки волновойповерхности,расположенныевотверстиях,являютсяздесьвторичнымиисточниками,испускающими сферические волны в пространствоза экраном. Эти сферические волны включают всебя части одного и того же цуга электромагнитнойволны, испущенной атомом источника, идущие кРис.

5произвольной точке С разными путями SAC и SBC .Согласно изложенным в предыдущем параграфепредставлениям, наложение таких частей цуга и приводит квозникновению интерференционной картины.Применение принципа ГюйгенсаФренеляосуществляетсяследующимобразом.Пустьтребуетсянайтиинтенсивностьсвета,испускаемогоисточником света S , в некоторой точке В ,которую в дальнейшем мы будем называтьточкой наблюдения (рис. 6). Окружимисточник произвольной вспомогательнойповерхностьюиразобьѐмэтуповерхность на малые участки.

НаРис. 6размеры участков накладывается условие:разница между расстояниями от двух любых точек участка до точкинаблюдения должна быть значительно меньше длины световой волны.10Примем каждый такой участок за точечный вторичный источник. Волны,испускаемые вторичными источниками, создают в точке наблюдениягармонические колебания той же частоты, которую имеет световая волна,испускаемая источником S .

Сложим колебания, приходящие от всехучастков поверхностис учѐтом их амплитуд и начальных фаз.Интенсивность света в точке В определится как величина,пропорциональная квадрату амплитуды суммарного колебания.Рассмотрим условия, которые определяют амплитуды и начальнуюфазу колебаний, приходящих в точку наблюдения от какого-либовторичного источника, расположенного на вспомогательной поверхности.Амплитуда колебаний в точке наблюдения В : 1) пропорциональнаплощади участка, 2) пропорциональна амплитуде колебаний,создаваемых источником S на участке, 3) обратно пропорциональнарасстоянию r от участкадо точки В (что характерно для любойсферической волны) и 4) по предположению Френеля, убывает по мереувеличения угламежду нормалью n к участкуи направлением наточку В .

В свою очередь, амплитуда колебаний, создаваемых источником, зависит от расстояния между источником и участком.S на участкеНаконец, в некоторых случаях приходится учитывать уменьшениеамплитуды вследствие поглощения света средой.Начальная фаза колебаний, приходящих в точку наблюдения В ,определяется начальной фазой колебаний вторичного источника ивременем распространения светового возмущения от вторичногоисточника до точки В .

В свою очередь, начальная фаза колебанийвторичного источника зависит от времени распространения возмущения отисточника S до данного участка. В обоих случаях времяраспространения возмущения зависит от расстояний, проходимыхвозмущениями, и от свойств среды, и в конечном итоге определяетсяоптической длиной соответствующих путей.Если на пути распространения света имеются препятствия в виденепрозрачных экранов, то в поверхностьвключают поверхность этихэкранов, полагая, что на участках, совпадающих с экранами, вторичныеисточники отсутствуют.Ввиду большого числа величин, подлежащих учѐту дляустановления распределения интенсивности в дифракционной картине,применение принципа Гюйгенса-Френеля приводит к весьма сложнымматематическим задачам.

Однако в конкретных случаях возможнызначительные упрощения. В дальнейшем мы будем считать, что светраспространяется в пустоте. В этом случае оптическая длина путисовпадает с геометрической, а поглощение света отсутствует. Если вкачестве вспомогательной поверхностивзята волновая поверхность, токолебания всех вторичных источников происходит в одинаковой фазе,которую можно считать равной нулю. В результате начальная фазаколебаний, приходящих в точку наблюдения, определяется толькорасстоянием до неѐ от вторичного источника. Далее мы будем11рассматривать только такие случаи, когда во всех точках поверхностиколебания, приходящие от источника S , имеют одинаковую амплитуду и,стало быть, амплитуда колебаний, приходящих в точку наблюдения отданного участка, определяется в основном площадью этого участка.Наконец, в тех случаях, когда нет необходимости в определенииинтенсивности в различных точках дифракционной картины, а требуетсянайти лишь положение максимумов и минимумов интенсивности, то внекоторых сравнительно простых случаях можно воспользоватьсякачественными методами – методом зон Френеля и методом векторныхдиаграмм.ДИФРАКЦИЯ ФРЕНЕЛЯ НА КРУГЛОМ ОТВЕРСТИИ ИКРУГЛОМ ЭКРАНЕЗоны Френеля.

Для того, чтобы упростить процесс суммированияколебаний, Френель предложил в качестве вспомогательной поверхностибрать волновую поверхность и разбивать еѐ на участки с такимрасчѐтом, чтобы колебания, приходящие в точку наблюдения от двухсоседних участков, гасили друг друга. Такие участки волновойповерхности называют зонами Френеля.

Чтобы произошло гашениеколебаний, расстояния от соседних зон до точки наблюдения должныотличаться друг от друга на половину длины волны – такая разность ходаобеспечит противоположность фаз колебаний, приходящих в точкунаблюдения от этих зон. Поскольку величина амплитуды суммарногоколебания в точке наблюдения в основном определяется площадьюучастка вспомогательной поверхности, то полное гашение колебаний,приходящих в точку наблюдения от двух соседних зон, происходит, еслизоныимеютодинаковую площадь.Следует, однако, иметьв виду, что из способаразделенияволновойповерхности на зоны,равенства площадей зонне вытекает.ПостроимзоныФренеля для случая,когдаточечныйисточник S испускаетсвет с длиной волны .Рис.

7В этом случае, какизвестно,волновымиповерхностями являются сферы, центры которых совпадают с источником.Выберем одну из таких сфер в качестве вспомогательной поверхности(рис. 7). Пусть В - точка наблюдения. Проведѐм на поверхности12окружности таким образом, чтобы каждая последующая отстояла от точкиВ на половину длины волны дальше, чем предыдущая. Это означает, чторасстояния от точки В до этих окружностей связаны между собойследующими условиями:M 1BM2BM0B22; M2BM 1BM0 B 2 ; M 3B22M 0 B 3 ;...M n B2M n 1B(4)M0B n .22Кольцеобразные участки на сфере, заключѐнные между соседнимиокружностями, и представляют собой зоны Френеля для точки наблюденияВ (первая зона имеет вид кругана сфере).

Целое число n вформуле(4)показывает,сколько зон находится внутриокружности,докоторойрасстояниеотточкинаблюдения равно M n B . Эточисло можно принять за номерзоны.Способпостроенияприводит к тому, что сРис. 8увеличением номера зоны наединицу среднее расстояние отточки наблюдения до зоны возрастает на. Найдѐм радиусы зон. Введѐм2В - точкаследующие обозначения (рис. 8): S - источник света,наблюдения,- сферическая волновая поверхность, а - еѐ радиус,, M0 B b .rn M n 0 - внешний радиус зоны с номером n ( (M n 0 SB) , 0M 0Из правила построения зон следует, что M n B b n .2Выразим rn2 из прямоугольных треугольников SMn 0 и M n B0при помощи теоремы Пифагора:rn 2rn 2a 2 (a(b n )2 (b2)2)222abn,(5)(n )2 2b22.(6)В тех случаях, с которыми приходится иметь дело на практике,радиус зоны мал по сравнению с расстояниями a и b , а длина световойволнымала по сравнению с радиусом зоны.