Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов, Н.П. Юдин - Частицы и атомные ядра, страница 8

Этот Глава 1. Элементарные настины теоретический базис обычно называется Стандартной моделью и является своеобразной точкой отсчета в дальнейшем развитии физики. Физические явления, которые не укладываются в рамки Стандартной модели, свилетельстловали бы о ее ограниченности и выходе в ластстандартную физику. $18. Диаграммы Фейнмана До сих пор мы нс конкретизировали механизм взаимолействия в мире частиц, ограничиваясь интуитивным пониманием термина «взаимодействие». В нерелятивистской физике взаимодействие между частицами обычно залается потенциалом, т. е. некоторой лополнительной сущностью.

В физике фундаментальных частиц фундаментальное взаимодействие сводится к точечному испусканию и поглощению одного калибровочного бозона фермионом, а также к элементарному акту рассеяния фотонов, глюонов и Иг-, У-базанов. В квантовой физике конечные результаты взаимодействия (в общем случае превращения) фундаментальных частиц возникают как последовательное повторение элементарных актов взаимодействия. Стандартная модель позволяет предсказать результат этого взаимодействия.

При этом используется специальная техника, разработанная Р Фейнманом, которая носит название диаграмм Фейнмана. Диаграммы Фейнмана — универсальный графический способ изображения развития во времени превращения элементарных частиц в терминах элементарных актов взаимодействия, дополненный алгоритмом расчета вероятности этих превращений. Своеобразие фейнмановской техники сосюит в том, что, с одной стороны, эта техника является громоздкой и сложной, а с другой — внешней стороны, — простой и наглядной.

Мы будем использовать эту вторую особенность диаграммной техники, причем как своеобразный язык понимания сущности физических явлений. На диаграммах Фейнмана частицы изображаются линиями. Точки (вершины), из которых аыхолят эти линии (или в которые приходят), показывают места локальных взаимодействий частиц, сводящихся к их испусканию и поглощению. Основанные на таком изображении процессы преобразования частиц как будто бы реально развиваются («развернугы ) во времени. Чтобы понимать, как развиваются процессы во времени, необходимо условиться о направлении течения времени, которое опрелеляет, где находится начальное н где конечное состояния.

Будем считать, как это обычно принято, что время течет слева направо. Это значит. что начальное состояние находится слева. конечное — справа. Именно, свободные лептоны и кварки будем изображать отрезком сплошной линии, рялом с которой будем указывать название фермиона либо антиферм иона, Так, первая линия на рис.1.11 изображает распространение электрона, вторая — позитрона, третья — кварка, четвертая — антипротона.

На диаграммах Фейнмана распространение частиц может также указываться направленными стрелками. При этом античастицы указываются как бы распространяющимися вспять по времени (рис.!.11, справа). Фо- 39 В 18. Днаграммм Фейнмана а з Рис. 1.11. Изображение электрона. позитрона, кварка и антипротона тоны будут изображаться волнистой линией, У- и г1'-бозоны — пунктиром, а глюоны д — «пружинкой» (рис.

1.12). На рис.1.13 показана простейшая диаграмма Фейнмана рассеяния электронов эа счет электромагнитного взаимодействия. Ось времени 1 направлена слева направо, Координатная ось я, условно покаэываюшая по- """"»»" " » " ""У р ««л««у вверх. Обычно эти оси на диаграммах не показывают. Диаграмма «читается» так. До взаимодействия (1 < 1~) сближались два свободных электрона е~ и ез.

Им отвечают незамкнутые слева линии. В вершине 1, в момент 1~ электрон е~ испустил фотон а 155Й56)бб 1переносчнк электромагнитного вэаимолействия). Фотон, изображенный волнистой линией, распро- Изображение фотона, страняется в сторону электрона ез и в вершине я- и И'-базанов 2 в момент 1з поглошается им.

Далее электроны и глкюна разлетаются, не испытывая больше никаких взаимодействий. Каждому элементу диаграммы отвечает известная функция или множитель, которые по определенным правилам объединяются в математическое выражение, даюшее вероятность процесса взаимодействия двух электронов. В заключение коротко рассмотрим парадоксальный вопрос об испускании и поглошении частиц, предполагаемый в диаграммах Фейнмана. Дело в том, что законы сохранения энергии и импульса в подавляюшем большинстве случаев запрешают непускание и поглошение частиц.

Тем не менее диаграммы Фейнмана имеют физический смысл, поскольку квантовая теория допускает временное нарушение закона сохранения энергии. Промежугочная частица, перебрасываемая от одной частицы е, конечное состояние начальное состояние Рие.1.13, Простейшая диаграмма Фейнмана рассеяния электронов 4О .Глава !. Элемелшарлые часглицы к другой, может существовать только ограниченное время, и потому становится возможным непускание такой частицы. Проне:кугочные частицы такого типа называются вирмуальлмми. Свободным с одной стороны линиям, приходящим из ~ = — сю и уходяшим в 1 = +со, отвечают реальные частицы. Внутренним линиям отвечают виртуальные частицы, распространяющиеся от точки рождения до точки поглощения (в данном случае это виртуальный фотон).

Приведенная диаграмма показывает самый простой вариант электрон-электронного рассеяния. Для получения полной вероятности этого процесса необходимо учесть все возможные диаграммы. В дальнейшем мы будем широко использовать диаграммы ФеЙнмана для иллюстрации различных механизмов взаимодействия частиц, поясняя по мере необходимости отдельные особенности их применения. Глава 2 Квантовые свойства частиц Эксперименты по дифракцни электронов, идеи де Бройля и Планка породили ряд принципиально новых проблем согласования квантовых представлений с тралиционными.

классическими. Квантовые понятия отражают фактическую смену представлений о структуре материи, о свойствах ее фундаментальных составляющих. Поиски ответов на эти возникшие вопросы привели к новому пониманию природы материи и становлению квантовой физики. 5 1. Состояния в классической и квантовой физике Сопоставление способов описания частицы в классической и квантовой физике приведено в табл. 2.!. Состояние частицы в классической физике в любой момент времени описывается заданием ее координат и импульсов (х, у, л, р„рз, р,). Зная эти величины в момент времени 1, можно описать эволюцию системы под действием известных сил во все последующие моменты времени. Подчеркнем, что координаты и импульсы частиц в классической физике сами являются непосредственно измеряемыми величинами, нли наблюдаемыми.

В квантовой физике, во-первых, изменяется понятие состояния. Наличие у квантовой частицы волновых свойств показывает, что ей слелует сопоставить некоторое волновое поле. Амплитуду этого волнового поля называют волновой фуикцией. Ее можно представить в виде функции координат и времени ар(х, р, л, 1), что отвечает так называемому коордииатиому иредсиаавлеиию.

Во-вторых, волновая функция не является непосредственно наблюдаемой величиной. Наблюдаемыми являются билинейные комбинации волновых функций. Вслелствие этого возникает своеобразное двухступенчатое описание физических объектов: сначала нужно найти волновую функцию, а затем, уже по ней, определить значения наблюлаемых. Как мы увидим далее, это, в частности, приводит к усложнению проявления симметрий в квантовой теории. Волновые функции и наблюдаемые по- 3 эа». 39 Глава 2. Квантовые свойство частиц облава 2. $ 4. Детерм ори разному ведут себя при преобразованиях симметрии. В-третьих, в квантовой теории не все наблюдаемые одновременно могут иметь точно определенные значения. Например, квантовая частица не может иметь одновременно определенные значения импульса и координаты. Поэтому не имеет смысла говорить о движении частицы по определенной траектории.

В обцгем случае, в заданном состоянии с волновой функцией ф(х, у, з, 1) можно говорить только о вероятностном распределении значений наблюдаемых. Например, вероятность т нахождения частицы в данной точке х, р, г и момент времени 3 определяется квадратом модуля ее волновой функции т-1Ф(х,р, .~Н'. (2.1) Вследствие этого, в частности, можно говорить только о вероятности реакций, а не о протекании их наверняка. Если частица нестабильная и может распадаться несколькими различными способами, то говорят о вероятности распада по различным каналам.

В силу теории сложения вероятностей определение (2.!) необходимо дополнить условием нормировки (2.2) 43 а 2. Уравнение двилеенин евободнои чаппицы Е(г- 6) (ейее-нб Аехфе-и) Константа А определяется из условия нормировки волновой функции А = (2яЬ) Пз. (2.4) В тех случаях, когда частица нахолится а области пространства, где лействующие на нее силы равны нулю (свободное движение), энергия частицы может принимать любые значения. Энергетический спектр свободно движущейся частицы непрерывный. й 2.

Уравнение движения свободной частицы Можно установить вид дифференциального уравнения „которому удовлетворяет волновая функция свободно движущейся частицы (2.3). Дифференцируя (2.3) по 1 и по переменным л, и, е, получим дф — = — — Ечз й Ь вЂ” + — „+ — =--(Р*+Р +Р.)р. д'Р д'й д'Е да' ду' д аз Ь (2.6) Для свободной частицы Р*+Ре+Р* 2гп Сравнивая (2.5) и (2.6), с учетом (2.7) получаем Обычно (2.8) записывается в виде (2.7) (2.8) АгР Ь~ (Ь вЂ” = — — сьев, (2.9) й 2пз где Ь вЂ” оператор Лапласа. Уравнение (2.9) в частных производных называется уравнением движения лля свободной частицы. В уравнение движения (2.9) входит только такая характеристика, как масса частицы и постоянная Планка Ь.

Уравнение (2.9) является дифференциальным уравнением первого порядка по времени. Поэтому для определения волновой функции в произвольный момент времени 1 достаточно знать значение волновой функции в начальный момент времени. з где интеграл„взятый по всему пространству — вероятность обнаружить частицу в момент времени 1 в какой-то точке пространства, Естественно, что этот интеграл должен быть равен единице. Волновая функция свободно движущейся частицы с энергией и н импульсом р имеет вид Глава 2.

йвантовые свойства частиц ф 3. Физические величины и операторы х(х, у, а, 1) = Ргр(х, у, л, г). (2.10) Например, оператор Р может означать дифференцироаание по какой- либо переменной: х(х,у,к,8) = РЕ(х,у,к,1) = дгй(х, у, к, 1) дх (2.11) т. е. Р = д/дх. Для построения операторов воспользуемся тем, что между операторами, описываюшими частицы в квантовой механике, имеют место те же соотношения, что и между их аналогами в классической механике. Например, оператор полной энергии Й связан с операторами кинетической Е и потенциальной энергии Й соотношением Й = Е+ О Операпюр кинетической энергии Оператор координаты У равен самой координате х, т, е.

сводится к умножению на эту переменную: х = х. Операторами проекции импульсов являются операторы Ьд Ьд Ьд (дх' " 1ду' ' бдя (2.12) Лля того чтобы понять, почему оператор импульса имеет вид (2.12), воспользуемся тем, что движение свободной частицы описывается уравнением Ь вЂ” — сзгр = Е1й. 2ш (2.13) Оператор кинетической энергии Е должен иметь вид где р — оператор импульса. В квантовой механике постулируется, что каждой физической величине, описываемой в классической механике в виде функции Р(х, у, х, р„ р„, р,) координат и импульсов, ставится в соответствие линейный оператор Р(х, у, а, р„р„, р,), действуюший на волновую функцию гр(х, у, а,1). Под оператором Й в координатном представлении понимается правило, по которому одной функции гр(х, у, а,1) переменных х, у, в,1 сопоставляется другая функция К(х,у, а,1) тех же переменных: 45 в 3. Физические величины и операторы Уравнение (2.13) можно записать в виде 2 поэтому операторы р„р„, у„выбирают в виде (2.! 2).

Е = — = — (р, +р +р,) = — — г3. Р ! -г г -г 2гп 2тп " ' 2пг (2.14) Оператор гамильтона (гамилыпониан) — оператор полной энергии Й: Й =Е+О. Остальные операторы могут быть построены, используя операторы координаты и импульса н простое правило, которое выполняется в больпгинстве случаев: в квантовой механике операторы физических величин выражаются друг через друга так же, как сами физические величины в классической физике. Оператор кинетической энергии Е, Глава 2.