Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов, Н.П. Юдин - Частицы и атомные ядра, страница 10

Вне этой области ф= 0. Запишемуравнение Шредингера для частицы, находящейся в области 0 < х < Ь: Изф 2тŠ— =- — Ф (2.34) Дх' Волновая функция. являющаяся решением уравнения (2.34), имеет вид (Д = А а!и 2ех+ В соа йх, (2.35) где lе = (2тЕ/угз)'~з. Из граничных условий гГЗ(0) = О, Е(Ь) = 0 и условий непрерывности волновой функции имеем Ряе. 2.2.

Частица а прямоугольной аме е бесконечнымн стенками (2.36) А а!п !ей = О. и, поскольку вероятность найти частицу в момент ! в точке х,2г„а пропорциональна !Ф(х, у, х, !)(', то в данном случае она (!д(х, р, а)!', т. е. не зависит от времени, Аналогично, вероятность обнаружить то или иное значение физической величины, характеризующей систему, глюке не меняется со временем, поскольку выражается через квадраты модулей волновых функций.

Уравнение Шредингера для стационарного состояния, когда потенциальная энергия частицы явньгм образом не зависит от времени, можно записать в следующем виде ЙЯх, у, а) = ЕЯх, у, а). (2.32) Это уравнение называют стационарным уравнением Шредингера, Одна из специфических особенностей квантовых систем состоит в том, что энергетические спектры частиц, находящихся в ограниченном объеме пространства, дискретны.

В качестве примера стационарного уравнения Шредингера рассмотрим частицу в потенциальной яме бесконечной глубины. а 5. Часн2ияа е прямоугольной яме с бесконечными стенкаии 53 Из (2.36) слелует )гЬ = пя, и = 1, 2, 3,..., (2.37) Ь с 2 1222„(х)) дх= / Аа1п — ~ 21х=! 2, ~ имеет вид Гг, фл(х) =,/-з1п ='уу, 2 ' (2.39) В отличие от классической частицы, квантовая частица в прямоугольной яме не может иметь энергию л2 2 Е ( —.

2тХ 2 Таким образом, состояние бесспиновой частицы гр„в одномерном поле бесконечной потенциальной ямы полностью описывается с помощью одного квантового числа п. Спектр энергий в этом случае дискретный. Положение уровней зависит от вида потенциальной ямы.

В потенциальной яме гармонического осциллятора потенциальная энергия имеет вид т2о2 х' У(х) =— 2 В этом случае одномерное уравнение Шредингера имеет вид б2й пи 2х2 — — + — Ф=ЕФ 2т дх2 2 Допустимые значения полной энергии определяются формулой 12 Ел =Ьм п+ — ~, в=0,1,2,. 2~' (2.41) т, е. внутри ямы устанавливаются стоячие волны, а энергия состояния частиц имеет дискретный спектр значений Е„ ~2~2 л2 .2 2 Е„= — =, п=1,2,3,.... (2.38) 2т газ Частица может иметь только те значения энергии, которые определяются соотношением (2.38).

Об этой ситуации говорят, что энергия квантуется на дискретные уровни. Частица может находиться в каком-то одном из множества дискретных состояний, доступных для нее. Чтобы частица перешла на другой энергетическмй уровень, она должна приобрести или потерять некоторое количество энергии, равное разности энергий уровней, между которыми происходит переход.

Энергии состояний растут квадратично в зависимости от квантового числа и. Каждому значению энергии соответствует волновая функция 222„(х), которая с учетом условия нормировки Глава 2. Квантовые свойства частиц 54 !з чзз 6) э=О х=Е а) х=б Рис. 2.3. Волновая функция частицы в бесконечной прямоугольной яме (а), кваарат молуля волновой функции (6) определяет вероятность нахо:кдения частицы в различных точках потенциальной ямы В отличие от бесконечной прямоугольной ямы, спектр уровней гармонического осциллятора эквилистантен. В отличие от классической частицы квантовая частица не может находиться на дне потенциальной ямы. С увеличением массы частицы илн размеров области ее локализации квантоное описание частицы переходит в классическое.

Пример. Вычислите допустимые уровни энергии электрона, находтцегося в прямоугольной потенциальной яме шириной 10 ' см, протона, нахоляшегося в потенциальной яме 5 Фм, н шарика массой ! г, находяшегося в потенциальной яме ! см. 8 б. Частица е ноле с центральной симметрией 55 Ре!пенне дэн2п2 В„=, п=!,2,3,.... 2гойэ ' Электр~и (нэ~'= 0,51! М В, Х, =. 10 "см); (!97)' МэВ ° Фм' (3.!4)' ~» , и' = 32,9п' эВ. 2 . 0,511 М э В (10!)' Фм' Протон (и!сэ = 938,3 МэВ, б =. 5 Фм): (197)' МэВ'. Фм'.

(3,14)' ~ь — п~ .— - 8,5п' МэВ. 2. 938,3 МэВ. (5)! Фм' Шарик (пэ = 1 г, Ь = 1 см): (197)' МэВ' Фм (3,14)' 1,6 !О "эрг/МэВ 2 1 г (3 10'ь см/с)' (10")' Фм! $ 6. Частица в иоле с цеитральиой симметрией В сферических ксюрдинатах стационарное уравнение Шредингера для частицы в центральном потенциале (/(г) ил!ест внд В' ~! д/,дв! ! д/ дн ! д'Р1 — — ~ — — ~г~ — ) + — ~з!п — — ) + ~+(/(г)В=Ь'Р 2М ~гэ дг ~, дг) гэа!пВ дВ ~, дВ) г'з!и'В д97'~ (2.42) Как известно из курса математической Физики, решение уравнения (2.42) следует искать в виде произведения радиальной и угловой Функций 35(г, В, у) = 22э!(г)г! (В, 9э), (2.43) где ралнальная Функция лс !(г) и угловая функция У! (В, 37» удовлетворяют уравнениям Ь'У, (В, Р) = Ь'!(2+ !)У, (В, 9 ) (2.44а) нли — л~ — — зш — + — — ~ 3л!„(В,р)=/э 2(1+1)Уьт(В,1э), (244б) а!пВ ~дВ '1, дВ) э!пВ д,4 э!г "н!(~)! + ~(/(г) + 2М, ~ !гэ'„г(э)! = Ь(гйю(г)1.

(2 45) Уравнение (2.44) определяет возможные собственные значения и собственные функции Ъ~ (В, т) оператора квадрата момента Ьэ. Уравнение (2.45) определяет собственные значения энергии Е и радиальные собственные функции ес„1(г), от которых только и зависит энергия системы. Решения (2.43) уравнения (2.42) существуют лишь при определенных значениях квантовых чисел и (радиальное квантовое число), ! (орбитальное квантовое число) и гп (магнитное квантовое число). Возможные 5б Глава 2. Квантовые свойства читяяц ~Я,(г)~ г вг г г, г, Рис. 2ай Радиальиае распрелелеиие вероятности 121ы(г)!'г' Иг нахождении электрона в кулоиовском поле протона (атом водорода) в в, р и И состояниях.

Расстояния ланы в боровских радиусах г, = А'г'(щ,еа) 0,529 1О " см энергетические состояния системы (уровни энергии) определяются числами и и 1. Число а может быть только целым, сколь угодно большим: и = 1, 2,..., оо. Число 1 может принимать значения 1 = О, 1, 2,..., оо. Схема уровней (последовательность и абсолютные значения энергий) и радиальные функции В ~(г) определяются видом потенциала У(г), в котором находится частица. Энергия частицы в центрально симметричном поле не зависит от квантового числа пз. Вид угловой функции гья(д, р), называемой сферической функцией, не зависит от вида Щг), т. е. одинаков для всех сферически симметричных потенциалов. Вероятность 4чв нахождения частицы в объеме д)г в определенном месте пространства в данном случае определяется выражением еЬи = 11в(ж, у, а)1~ «йг = !22ы(г)2)„,(д, 1в)!'г' Ф ИГ1 = )~2 2 1 ~У (Р )~2 й б.

Чаппипп в поле с непптральной сплтлтептрией состояние 1,и=о р-состояние =0 а состояние =а,тя= Е1 Рис. 2.5. Распределение угловой вероятности Ф;,„(В, ут)(т ттГт нахожления частицы в а, р и И состояниях в сферически симметричном потенциале т. е. распадается на радиальную вероятность 1Гт 1(г)11г' атг н угловую— 1гт (В, ут)11 гатт.

Примеры распределений этих вероятностей ланы на рис. 24- 2.б. Вернемся к анализу решений уравнения (2.42). Оно имеет форму стационарного уравнения Шредингера Йт)т = Ятр, т.е. содержит явный вид оператора Гамильтона Й для сфернчески симметричной задачи. Можно 58 Глава 2. Квантовые своиства частиц ЗЕ-состояние г 2 р-састоннне 1 1 5-состояние М У 1=О, т =О -О убедиться, что оператор квадрата орбитального момента количества дви- жения и оператор проекции зтого момента на произвольно направленную ось Х, = д — ' (см. (2.19)) коммутируют с Й. Это означает, что сферически 1 Вг симметричная система характеризуется опрелеленным значением квадрата углового момента и его проекции на ось х ф 7.

Орбитальный момент количества движения Собственные значения 2 1 и Г „являются решением операторных урав- нений Х~х1„(д,9)) = Х~зз (д, у) и ХДт(д, Ф) = з х1 (д, Ф). Они имеют следуюшие лискретные значения: 2,~ = й'1(1 + 1), где 1 = О, 1, 2, З,..., Х, =- Вгп, где т = О, ~1, +2, ~3,..., И. Сферические функции (их называют также сферическими гармониками) х1т(д, 1о) являются собственными функциями операторов Х~ и Х„ т. е.

описывают состояния с определенными 1 и т, а значит и опрелеленными значениями орбитального момента и его проекции на ось х. Для Рис.з.б. Распределение полной вероятности ~Яы(г)У, (В, Р)1'г'дгдй нахождения электрона в атоме водорода, определяемое угловой и радиальной плотностью вероятности э' 7. Орбитальный момент количество двизкелия 59 Таблица 2.2 Спектроскопические названия орбитальных моментов 1 1 = О , 'в-состоццие 2 по(В, у) имеет место следующая формула зиц(В, 1о) = ( — 1), ег™Р™(соз В), (2.46) 21+ 1 (1 — 1ш1)! 4я (1 + 1гп~)! где Р~(соя В) — функция Лежандра.

Для характеристики состояний с различными значениями орбитального момента 1 обычно используют обозначения в соответствии с табл. 2.2. Состоянию с 1 = 0 отвечает сферически симметричная волновая функция. В тех случаях, когда 1 Ф О, волновая Функция не имеет сферической симметрии. Симметрия волновой Функции определяется симметрией сферических функций.

Мы сталкиваемся с интересным квантовым явлением, когда решение сферически симметричной задачи (потенциал описывает систему сферически симметричную) приводит к состояниям, не обладающим сферической симметрией. Таким образом, симметрия уравнений не обязательно должна отражаться в симметрии каждого отдельно взятого решения этих уравнений, а лишь во всей совокупности этих решений. Для частицы, находящейся в сферически симметричном потенциале, величина орбитального момента количества движения 2 дается соотношением Обычно, для упрощения, когда говорят о величине орбитального момента количества движения, называют этой величиной число 1, имея в виду, что между 1 и 2 имеется однозначная связь А = Ь|/Ц(Г+ 1).

Так как величина 1 может принимать только целочисленные значения О, 1, 2, 3,..., то и орбитальный момент количества движения квантуется. Например, для частицы с 1 = 2 момент количества движения 2 =Ь)/2(2+1) =6,58-10 з з/6 МэВ с 2,6 ° 10 Дж ° с. 60 Глава 2. Квантовые свойства частиц Рве. 2.7. Возможные ориентации вектора Х при квантовом числе !.=- 2 Для сравнения укажем, что орбитальный момент количества движения Земли вокруг Солнца больше примерно в 10м раз.. Орбитальный момент количества движения является векторной величиной. Так как величина орбитального момента количества движения квантуется, то и направление Х по отношению к вылеленному направлению з, например к внешнему магнитному полю, также квантуется (это называют пространственным квантованием) и проекция на это нас правление принимает дискретные х значения А, = 7зт, где па изменяется от +! до — 1, т. е. имеет 21 +! гИ значений.