Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов, Н.П. Юдин - Частицы и атомные ядра, страница 9

авантовые свойства частиц (2.1 б) х=тзгпВсозгр. у=та!пдзгпчг, з =тсовВ. (2.13) Переход от декартовых координат х,у,л к переменным т, В, р в опе- раторах также происходит по обычным правилам замены переменных. Например, в сферической системе координат оператор момента количе- ства движения будет иметь вид Ь|' д д 'ч Й» = — ~ 51п уг — + сгкВ соз уг — ), '[, ВВ дчг) ' Ы д, д~ уя = —,1 сов гр — + сгВВз1гг чг — 1, дВ дгр Ь д Х,= —,—, 1 дгр (2.19) С каждым оператором Р в квантовой механике связывается уравнение РВ.(х) = Р.уг.(х), (2.20) определяющее его собственные значения Р„и полную систему ортонормированных функций ггг„, подчиняющихся определенным граничным Если частица движется в потенциальном поле У(х, у, к), то оператор Гамильтона Й имеет вид Ьг Н = — — г5 + У(х, у, л).

(2.15) 2пг Оператор момента количества дни»кения Х: Ьг' д д ч Ь,,=УР,— хР =т(У вЂ” — з — 1, Ь/ д дх 2 лр хр, х дх дл/ ЬГ д д'г 2'» =хря ур» = ° ( х у / ~ 'ду д*./' Оператор квадрита момента количества дени»ения Хг: Хг = Х', + Х„'+ Х,'. (2.17) При решении конкретных физических задач часто приходится иметь дело с полями с центральной симметрией„в которых потенциальная энергия зависит только от расстояния до силового центра. Примером может служить электрон в кулоновском поле протона — атом водорода.

В таких случаях улобнее использовать сферическую систему координат. Для этого следует сделать замену переменных 47 Э 3. Физические величины и олераторы условиям. Совокупность величин л„определяет спектр возможных значений физической величины Г. Функция гс„(х) характеризует состояние системы, в котором величина л имеет значение Е„, Одно из важнейших положений квантовой теории; в квантовых системах выполняется принцип суперпознции. Если квантовая система может находиться в состояниях, описываемых функциями г(Ч, грп ...,гр„, то линейная комбинация (суперпозиция) волновых функций грпгрм.,гр Рис.

2.1. Прямоугольная и сферическая системы координат также является волновой функцией, описывающей одно из возможных состояний системы, с„— произвольные постоянные. Классическими аналогами суперпознции состояний являются известные фигуры Лиссажу, получающиеся при сложении гармонических колебаний по двум ортогональным осям, или колебания двух одинаковых слабосвязанных маятников. Квантовая механика является принципиально статистической теорией.

Ее предсказания носят вероятностный характер. Можно с любой точностью предсказать вероятность найти электрон в произвольной части атома водорола, но нельзя предсказать, в какие моменты времени электрон в эту часть атома попадает. Различие между классической статистической теорией и квантовой механикой состоит в следующем. В классической статистической теории предполагается, что в принципе мы можем проследить за судьбой, например, всех молекул газа и точно рассчитать их траектории.

Но, так как молекул много, то для расчета макроскопических величин нам достаточно знать не все точные величины, описывающие каждую молекулу, а небольшое количество усредненных характеристик системы. Например, для описания газа, заключенного в сосуде, вводят такие усредненные характеристики, как давление и температура. Для отдельной молекулы газа совершенно бессмысленно говорить о ее температуре. В противоположность этому в квантовом мире статистические свойства не вторичны, а первичны.

Статистический характер процессов в микромире проявляется в том, что и результаты измерений в микромире также имеют статистическую природу. Для получения среднего значения (А) физической величины А в состоянии гр сначала действуют оператором А этой величины на волно- Глава 2. лвалл|оаые свойспаа часрлаи вую функцию у1. затем результат умножают на комплексно сопряжен- ную функцию ф', после чего интегрируют по всем Переменным волновой функции (А) = / р Аф Л; тле ар' = дх ау Иж В частности. средние значения координаты Р и им- пульса р, получаются из соотношений Срелние значения (г) и (р,) имеют слсдуюший смысл. Если многократно измерять координату г в олпом и том же состоянии гр, то среднее от этих измерений будет стремиться к (г).

Аналогично, многократное измерение р, а этом же состоянии будет давать величину, приближаюшуюся к (рр), Например, уравнения для собственных функций и собственных значений операторов р,, р„, р„имеют вид Ь дррр„й дррр —,— "" =р Р, —,— "=р,у,. (2.21) Р Р, ; д = х Р* . бди. = рАю ° дх Решением первого уравнения (2.2!) будет волновая функция гор„ грр„— - а(у, а)е ", (2.22) где а(у,а) произвольная функция (у,л). Аналогичные решения имеют и два лругих уравнения (2.2!). Из соотношения (2.22) вилно, что оператор импульса имеет сплошной спектр собственных значений, Волновая функция глр — — Ае'РР является собственной функцией операторов р„р„, р, и описывает состояния с заданным импульсом р.

Постоянная А находится из условия нормировки волновой функции: 1 А — (2яЪ)з1з Окончательно для волновой функции грр получим Одним из важных вопросов в квантовой физике является вопрос о том, какие физические величины могут одновременно иметь определенные значения. Для того чтобы лве величины зР и 22 могли бы иметь определенные значения в некотором состоянии, описываемом волновой э' 3. Физические величины и операторы 49 функцией гдп, эта волновая функция, очевидно, должна быть собственной функцией операторов е и Л, т.

е. должны олновременно удовлетворяться два уравнения еУзчФ = епгрпзх), Раап х) = К4~(х). (2,23) Это имеет место только в том случае, когда операторы Р и Л коммугируют, т. е. выполняетсв соотношение (Лà — РЯ) = О. ~2.24) Таким образом, если квантово-механические операторы, соответствующие двум квантово-механическим величинам, коммутируют, то этн величины могут быть измерены одновременно. Если же операторы не коммутируют, то эти величины одновременно не могут иметь определенных значений. Операторы координат и проекции импульса на различные оси коммутируют между собой. Например, хЄ— Ргх = О, Пример. Вычислить коммутатор ٠— Х„Х,. Решение. Воспользовавшись соотношснивми (2.!6), получим Х,Х„= -й'(у — — а — ) (а — — х — ) = г' д д' д' д' д' л =-д' — + 'х дх дадх дх' дуде дуда) ( дх да)( дх д ) д' , д' д' д д' т = -Гз ) зу — — а — — ху — + х — +ха деде дхду дхз ду даду) Вычитая из верхнего равенства нижнее, получим ,/ д дл Х,гз — ХгХ; = Гг ~х — — У вЂ” ) = ЖЬ,, ду дх) Аналогичные соотношения получим и для следующих коммутаторов.

Окончатель- но для всех вариантов ~,2~з — 2г2, = ™„ гегч — учую = зйгч ~,й, — й,~, = где (2.25) т.е. величины х н р„одновременно излзеримы. В то же время операторы х и р, не коммутируют: )г хре — Рзх = —.. $ Поэтому соответствующие нм величины х и рг не имеют одновременно определенных значений. 5о Глава 2. Квантовые свойства частиц 5 4. Уравнение Шредингера В классической механике изменение состояния частицы во времени описывается уравнениями Гамильтона Н дН др дН й др' гй др' где Н вЂ” функция Гамильтона Н = — + ЬГ(т), = р' 2 ил ГГ(т) — потенциал поля, в котором движется частица (его считаем не зависящим от времени). Для функции Гамильтона (2.27) уравнения (2.26) имеют вид ну 6 е(р — — — = Й(т), (2.2В) «й' т' га где с(т) = -д(Одт.

С полющью уравнений (2.28) по заданным значениям величин т(0) и р(0) в начальный момент времени можно определить значения этих величин т($) и р(1) в любой произвольный момент времени 1. В квантовой физике изменение состояния частицы описывается уравнением Шредингера дФ лЬ вЂ” = ЙФ, ас (2.29) где Й вЂ” олератор Гамильтона — аналог класси вской функции Гамильтона, в которой р и у заменены операторами импульса р„рв, р, и координаты В. у, х: Ь д Ь д Рв Ре р ( да* 3 дя и- В=и, -~ у=а, Ь д Рв Рв = л ду' у — ~.у=у, а (2.30) Ь2 . дз дз дз Й = — +ЬГ(и,у, з) = - — ( — + — + — ) + ГГ(и,у, е).

— — 2щ (,д. ду длз) Из соотношений (2.25) следует, что проекции момента количества движения одновременно не могут иметь определенные значения. Исключением является состояние, когда момент количества движения Ь = О, при этом Ь, = Ьв — — Ь, = О. В то же время операторы проекции момента количества движения Х,, Х„и Х, коммутируют с оператором квадрата момента количества движения Хз: ХХ вЂ” ХХ =О, ХвХ вЂ” ьь„=о, Хь — ьь,=о, т. е, квадрат полного момента количества движения и одна из его проекций на произвольную ось могут одновременно иметь определенные значения. 51 З 4.

Уравнение Шредингера Уравнение Шредингера Зависящее от времени уравнение Шредингера: Вр ьЬ вЂ” = НФ, д1 где Й вЂ” гамильтониан системы. Разделение нереиеннььг. Запишем ье' = фВ, где ьр является функцией координат, а В Функция времени. Если Й не зависит от времени, тогда уравнение ЙФ = ьЬФ принимает вид ВЙф = ьЬьРВ или 1- ьЬ. -Йф = — В. ь(ь В Левая часть является Функцией только координат, а правая не зависит от переменной х.

Поэтому обе части последнего уравнения лолжны быть равны одной и той же постоянной, которую обозначим Е 1 - ьЬ. — Йф= — В=Е. В Следовательно, В = е ", Йьр = Еьд н Ф = ьде Сьнацианарнае уравнение Шредингера: Для одномерной системы с массой т в поле с потенциалом 1г'(х); — — + (т(х)ь(ь(х) = Еьд(х) или Вью ьг 2т'ь — + ~ — ) (Š— 11(х))ьд(х) = О. Цхь ~ Ьь) Для трехмерной системы с массой т в поле с потенциалом 11(т): Г Ьь'ь — ~ — ) гагр(р) + (г(г)ьр(р) = ЕФ(р) 'ь 2т) где ьз — лапласиан.

Так как уравнение Шредингера является линейным уравнением первого порядка по времени, то с его помошыо по заданному значению волновой Функции ье(х, у, г, О) в момент времени 1 = О можно найти ее значение в произвольный момент времени 1 — Ф(х, р, г, 1). Из соотношения (2.29) легко получить уравнение движения свободной частицы (2.9), бг(х,зь, ) = О. 52 Глава 2. Кванвгоеые свойства частиц В стационарном состоянии 1а(х, у, а, !) = !а(х, у, а)е (гя (2.3! ) $ 5. Частина В прямоугольной яме с бесконечными стенками Потенциальнав энергия ГГ(х) должна удовлетворять слелуюшим условиям: 0 при 0 < х < Ь, Гг(х) = со при х<0, х>Ь. (2.33) Частица всегда находится в области 0< х< а .