Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов - Частицы и атомные ядра. Задачи с решениями и комментариями, страница 6

е. A2 ∼ αe = e2 /h̄c = 1/137. Для второйдиаграммы с четырьмя вершинами имеем A4 ∼ αe2 = (1/137)2 , дляследующей (с шестью вершинами) A6 ∼ αe3 = (1/137)3 и так далее.Поэтому первая диаграмма вносит основной вклад в вероятность рассматриваемого процесса. Вклады диаграмм более высокого порядка,т. е. с бо́льшим числом вершин, много меньше вклада этой первойдиаграммы.Рис. 1.2.2. Представление взаимодействия двух электронов в виде совокупности диаграмм с увеличивающимся числом вершин (2, 4, 6, . . .)Следует отметить, что «константы взаимодействия», строго говоря, не постоянны: они зависят от энергии взаимодействия. Однаков области энергий взаимодействия E < 10 ГэВ этим эффектом можнопренебречь.Задача 1.2.11.

Оценить отношение вероятностей процессовдвухфотонной и трехфотонной аннигиляции пары электрон-позитрон.Процессы e+ + e− → γ + γ и e+ + e− → γ + γ + γ в низшем порядкепо константе электромагнитного взаимодействия могут быть представлены диаграммами Фейнмана на рис. 1.2.3.28Гл. 1. Теоретический обзорРис. 1.2.3.

Диаграммы двухфотонной (слева) и трехфотонной (справа) аннигиляции e+ e−Для первого процесса с двумя вершинами вероятность w2 ∼ αe2 , длявторого w3 ∼ αe3 . Отношение вероятностей (w2 /w3 ) ∼ 137. Отметим,что первая диаграмма соответствует распаду парапозитрония, т. е. состояния системы e+ e− с полным моментом количества движения J = 0(спины e+ и e− антипараллельны). Вторая диаграмма отражает распадортопозитрония — системы e+ e− с полным моментом количества движения J = 1.Рассмотрим рассеяние электрона на ядре с числом протонов Z .Дифференциальное эффективное сечение рассеяния для этого процесса(формула Мотта) имеет вид:(Ze2 cos θ)2 2dσ(θ) = F .dΩθ 22Te sin2(1.2.30)2Здесь F — формфактор, зависящий от плотности распределениязаряда в ядре-мишени.

Если рассеяние происходит на частице, которуюможно считать точечной, F = 1.Дифференциальное сечение рассеяния электронов на точечном заряде (формула Мотта) отличается от формулы Резерфорда (1.2.25)множителем cos2 θ . Появление множителя cos2 θ связано с наличиему электрона спина.Величины резерфордовского и моттовского сечений пропорциональны квадрату константы электромагнитного взаимодействия αe = e2 /h̄c,как это следует из диаграмм Фейнмана этих процессов. Для формулы Резерфорда доказательством этого факта является решение задачи 1.2.9. Зависимость дифференциального сечения от константыэлектромагнитного взаимодействия видна также и в формуле Мотта рассеяния электрона на ядре как на бесструктурном (точечном)29§1.3. Законы сохранения и взаимодействияобъекте:dσ(θ) = dΩ2Te sin22 2 2Z 2ecos2 θ=·(h̄c)2.2θ2Teh̄cθsin4Ze2 cos θ(1.2.31)22Задача 1.2.12.

Рассчитать дифференциальное эффективное сечение рассеяния электрона с кинетической энергией 10 МэВ на ядре40◦20 Ca. Угол рассеяния равен 60 .Расчет сечения аналогичен проведенному в задаче 1.2.9. Результатотличается от полученного ранее множителем cos2 θ = 1/4. Поэтомумоттовское сечение равноdσбарн(θ = 60◦ ) = 0,085.dΩ MстерЗадача 1.2.13.

Обосновать справедливость применения формулы Мотта с F = 1 в задаче 1.2.12.Введение формфактора как в формулу Резерфорда, так и в формулуМотта необходимо в тех случаях, когда длина волны рассеиваемой наядре частицы меньше, чем радиус ядра. Для ядра 40 Ca радиус равенприблизительноR ≈ r0 A1/3 ≈ (1,0 ÷ 1,1) · 3,4 Фм ≈ 3,6 Фм.Здесь использована формула (1.7.2) для радиуса ядра.Длина волны электрона с кинетической энергией 10 МэВλ = 2π λ– =2πh̄c≈ 125 Фм.pcТаким образом, применение формулы Мотта для рассеяния электронана точечном заряде к электронам с кинетической энергией 10 МэВоправдано.§1.3. Законы сохранения и взаимодействия1.3.1.

Таблица законов сохранения. Все процессы взаимодействия частиц (см. § 1.1) подчиняются законам сохранения физических величин (характеристик). В табл. 1.3 перечислены законы сохранения и указано, в каком типе фундаментальных взаимодействийданная характеристика сохраняется. Отметим, что некоторые законысохранения аддитивны (A), т. е. в процессе сохраняется суммарнаявеличина соответствующих характеристик (квантовых чисел) — например, во всех взаимодействиях сохраняется сумма энергий частиц.Ряд законов сохранения имеет мультипликативный характер (M) —в процессах, управляемых этими законами, сохраняется произведение соответствующих характеристик (квантовых чисел). Очень важно,30Гл.

1. Теоретический обзорчто законы сохранения имеют глубокую связь со свойствами симметрии системы.Перечисленные в табл. 1.3 законы сохранения для всех реакцийсильного взаимодействия выполняются без исключений. Это одновременно означает наибольшую, по сравнению с другими взаимодействиями, степень симметрий этих взаимодействий.Т а б л и ц а 1.3Законы сохраненияХарактеристикаСимволВзаимодействияСильное Эл.-магн. СлабоеA или МЭнергияE+++AИмпульсpJ+++A+++AМомент импульсаЭл. зарядQ+++AБарионный зарядB+++ALe , Lμ , Lτ+++(∗)AСтранностьs++−ACharmc++−ABottomnessb++−ATopnesst++−AЛептонные зарядыИзоспинI+−−AP -четностьP++−MC -четностьC++−MCP++−MCP T+++MT++−MCP -инвариантностьCP T -инвариантностьT -инвариантность∗ Имеющиеся экспериментальные данные согласуются с абсолютным сохранением трех отдельных лептонных зарядов Le , Lμ и Lτ за исключением эффектов нейтринного смешивания, связанных с нейтринными массами и проявляющегося в осцилляциях нейтрино различных типов.

Таким образом, строго говоря, имеют место нарушения законов сохранения лептонныхзарядов(Le + Lμ + Lτ )по отдельности, но сохранение суммы лептонных зарядовпо-прежнему сомнений не вызывает. Нарушение законов сохранения отдельных лептонных зарядов (чисел) происходит именно в секторе слабых взаимодействий и, поскольку вероятность этих нарушений экстремально мала,то в рассматриваемых в данной книге реакциях и распадах эти нарушения,по-существу, ненаблюдаемы, и законом сохранения отдельных лептонных чисел, по-прежнему, пользоваться можно.§1.3.

Законы сохранения и взаимодействия311.3.2. Симметрии и законы сохранения. В квантовой физикехарактеристикой системы частиц является волновая функция: Ψ-функция. Ψ-функция зависит от пространственных, спиновых и другиххарактеристик частиц системы. Квадрат модуля Ψ-функции равен вероятности обнаружить систему частиц с данными характеристиками. Интеграл квадрата модуля Ψ-функции по всем возможным пространственным и другим переменным должен быть равен 1. При преобразованииаргументов Ψ-функции, например, при сдвигах пространственной иливременной шкал вероятность не изменяется: Ψ,Ψ = U ∗U Ψ = Ψ∗ Ψ,Ψ∗ Ψ = Ψ∗ U −1 .∗ = UU(1.3.1) — оператор преобразования Ψ-функции, а U∗ и U −1 —Здесь Uсоответственно комплексно-сопряженный и обратный операторы этогопреобразования.Оператор преобразования Ψ-функции имеет вид = eiαQ .U(1.3.2)Инвариантности уравнений движения системы относительно преобразования (1.3.2) соответствует закон сохранения величины Q.

Этоодна из возможных формулировок теоремы Нётер о соответствиикаждого вида симметрии природы (системы) своему закону сохранения. В частности, инвариантности уравнений движения относительно сдвигов пространственных координат системы соответствует законсохранения импульса, а инвариантности уравнений движения относительно сдвигов временных координат соответствует закон сохраненияэнергии.В случае сдвигов системы координат в пространстве или временивеличина α может быть любой, в том числе и бесконечно малойвеличиной, например, α = dt. В случае преобразований (1.3.2) такогонепрерывного типа закон сохранения величины Q аддитивный, т.

е. сохраняется сумма величин. Если величина α в (1.3.2) может приниматьтолько дискретный ряд значений, закон сохранения величины Q —мультипликативный, т. е. сохраняется произведение величин Q.1.3.3. Пространственная четность (P -четность). Волноваяфункция системы частиц является функцией координат этих частиц.Переход от выбранной системы координат к системе, соответствующейзеркальному отражению всех координатных осей, приводит к преобразованию волновой функции системы. Оператор этого преобразованияP (оператор пространственного отражения) действует следующимобразом:(1.3.3)P Ψ(r) = Ψ(−r),где r — совокупность координат частиц системы: r = r1 , r2 , .

. . , rA .Если система частиц, характеризуемая волновой функцией Ψ(r),инвариантна к P -преобразованию (т. е. гамильтониан системы комму-32Гл. 1. Теоретический обзортирует с оператором пространственного отражения), то эта система характеризуется определенной сохраняющейся четностью p. Последняя,являясь «хорошим квантовым числом», удовлетворяет уравнению насобственные значения:(1.3.4)P Ψ(r) = pΨ(r).Двукратное применение оператора P к функции Ψ(r) возвращает этуфункцию (систему частиц) в исходное состояние. Отсюда, с учетом (1.3.3) и (1.3.4), получаем собственные значения квантового числачетности p:PPΨ(r) = p2 Ψ(r) = Ψ(r),(1.3.5)p = ±1.Системы частиц с сильным и электромагнитным взаимодействиеминвариантны к P -преобразованию. Поэтому такие системы характеризуется определенной четностью.