Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов - Частицы и атомные ядра. Задачи с решениями и комментариями, страница 4

Распады и реакции17Это соотношение является одной из формулировок соотношениянеопределенностей для энергии и времени.Примерами трехчастичных распадов являются β -распады и в частности распад нейтрона. Нейтрон испытывает β -распад, превращаясьв протон и два лептона — электрон и антинейтрино: n → p + e− + ν e .β -распады испытывают и сами лептоны, например, мюон (среднеевремя жизни покоящегося мюона τ = 2,2 · 10−6 с):μ− → e− + ν e + νμ .Особенности испускаемых нейтрино и антинейтрино будут обсуждаться в следующих разделах, однако кинематику этого распада можноизучить и сейчас.Задача 1.2.4.

Определить максимальную кинетическую энергиюи импульс электрона в распаде покоящегося мюона.Законы сохранения для распада покоящегося мюона при максимальном импульсе электрона имеют вид (система единиц h̄ = c = 1)pe = pνem μ = m e + Te + E ν e + E ν μ ,1/2+ pνμ = Eνe + Eνμ = Te2 + 2me Te.(1.2.13)При максимальной кинетической энергии электрона максимален и егоимпульс. Это может быть в случае, когда импульсы обоих нейтринонаправлены противоположно импульсу электрона, что и использованов (1.2.13). Для максимальной кинетической энергии электрона в распаде мюона имеем уравнение1/2Δm = mμ − me = Te + Te2 + 2me Te.Отсюда Δm2≈ 53 МэВ.Te max =2mμ(1.2.14)Кинетическая энергия электрона в распаде мюона на два порядкавыше, чем его масса покоя (0,511 МэВ).

Импульс релятивистскогоэлектрона (в МэВ) практически совпадает с его кинетической энергией, действительно1/2p = T 2 + 2mT= [(53)2 + 2 · 0,511 · 53]1/2 ≈ 53 МэВ.Отметим, что хотя расчеты кинематических характеристик микрообъектов часто проводят в системе единиц h̄ = c = 1, в учебной литературе обычно этой системой не пользуются и указывают импульсычастиц в единицах МэВ/c, где c — скорость света. Мы в данной книгев большинстве случаев также не будем использовать систему h̄ = c = 1.Там же, где эта система будет нами применяться, мы будем напоминатьоб этом.18Гл.

1. Теоретический обзорРассмотрим распад частицы, происходящий исключительно благодаря сильным (strong) взаимодействиям. Примером такого распадаявляется распад Δ++ -изобарыΔ++ → p + π + .Масса Δ++ -изобары равна 1232 МэВ, это самый легкий барион изсемейства Δ-изобар. Разность масс первичной частицы и продуктовраспада, т. е. сумма кинетических энергий протона и пиона равна154 МэВ. Из законов сохранения энергии и импульса получаем1/2Tp + Tπ = 154 МэВ, pπ = Tπ2 + 2mπ Tπ.Для протона можно применить нерелятивистское приближение, однако для пиона оно неприменимо. Решая уравнения для импульсовчастиц, получаем для этого двухчастичного распада единственное решение для кинетических энергий. Но спектр энергий пионов имеетширину ≈ 120 МэВ и не является, строго говоря, дискретным.

Стольбольшое значение ширины является следствием очень малого временижизни Δ-изобары.Задача 1.2.5. Оценить время жизни Δ-изобары по ширине еераспада Γ ≈ 120 МэВ.Среднее время жизни Δ-изобары можно получить из соотношения (1.2.12):τ=h̄h̄c200 МэВ · 10−13 см=≈≈ 0,5 · 10−23 с.ΓΓc120 МэВ · 3 · 1010 см/сРассмотренные в этом разделе распады характеризовались, помимоспектров энергий продуктов, также и вероятностями распада в единицувремени (или обратными им средними временами жизни первичнойчастицы).

Средние времена жизни частиц и ядер имеют колоссальныйдиапазон значений: например, среднее время жизни нестабильногобариона, называемого Δ-изобарой, меньше, чем 10−23 с. Время жизнивозбужденного ядра 12 C (в первом возбужденном состоянии) — порядка 10−13 с. Среднее время жизни мюона — около 2 · 10−6 с, а среднеевремя жизни нейтрона около 15 минут.ЧТО ОПРЕДЕЛЯЕТ ВЕРОЯТНОСТЬ РАСПАДАНЕСТАБИЛЬНОЙ ЧАСТИЦЫ?Вероятность распада является функцией нескольких определяющихее факторов. Важнейшим из них является тип взаимодействия, которое ответственно за происходящий распад. В табл.

1.2 перечисленыфундаментальные взаимодействия и их свойства. В частности указанпорядок величин для констант взаимодействия. Вероятности процессов, происходящих в результате того или иного типа взаимодействия,зависят (как правило) от квадрата константы взаимодействия. Поэтому, поскольку распад Δ-изобары происходит по сильному взаимодей-19§1.2. Распады и реакцииствию, ему соответствует высокая вероятность и малое время жизни(≈ 10−23 с). Процессы электромагнитного взаимодействия имеют константу примерно на два порядка меньше сильных, соответствующие имсредние времена жизни больше, чем ≈ 10−19 с.

Слабые взаимодействия(примером которых являются β -распады (1.2.5)) имеют константу, примерно на 6 порядков меньшую, чем сильные взаимодействия. Поэтомухарактерные для них средние времена жизни больше, чем 10−12 с.Связь констант взаимодействия и вероятностей распадов определяети наиболее вероятный способ распада нестабильного ядра или частицыв случаях, когда возможны несколько таких путей, так называемыхканалов распада.Помимо типа взаимодействий, вероятность распада определяетсятакже 1) кинетической энергией излучаемых частиц и 2) моментами количества движения продуктов распада. Вероятность распадатем выше, чем больше энергия перехода. Влияние этого фактора навероятность распада часто замаскировано влиянием второго фактора,т. е.

уносимого излучением момента количества движения. Подробнееэта тема будет рассмотрена в § 1.10 (Распады нестабильных ядер).1.2.3. Реакции. Пороговые энергии. Коллайдеры. При расчетекинематических характеристик реакций удобно использовать релятивистский инвариант квадрата массы системы E 2 − P 2 c2 = m2 c2 == inv, или E 2 − P 2 = m2 = inv в системе h̄ = c = 1.

Здесь E — полнаяэнергия системы, а P — ее суммарный импульс. В качестве примераиспользования этого инварианта рассмотрим нахождение минимальнойсуммы кинетических энергий сталкивающихся частиц в эндотермической (т. е. с поглощением энергии) реакцииA + B → C + D + ...(1.2.15)mf , образуВ эндотермической реакции сумма масс покоя частицющихсяв конечном состоянии, больше суммы масс покоя первичныхчастицmi .В системе покоя мишени (частицы B ), называемой лабораторнойсистемой координат, минимальная кинетическая энергия частицы A,при которой возможна реакция (1.2.15), называется порогом реакцииEпорог , т. е.

Eпорог = TA min . Для расчета порога реакции TA min следует записать законы сохранения энергии и импульса в двух системах отсчета — лабораторнойсистеме, связанной с покоящейся частицей B , и в системе центрамасс, или центра инерции (штрихованные обозначения кинематическихпеременных). Запишем эти законы в системе единиц h̄ = c = 1:TA +MA +MB =mf +Tf ;pA =pf .(a)(1.2.16)TA +TB +MA +MB =mf +Tf pA +pB =pf = 0. (б)20Гл. 1. Теоретический обзорИспользуя (1.2.16, а и б), найдем теперь значения инварианта E 2 −− P 2 при энергии порога в лабораторной системе координат и системецентра масс и приравняем эти значения, используя, таким образом,свойство инвариантности.В лабораторной системе для этого инварианта имеем TA + MA +2+ MB − p2A . Порог реакции соответствует значению кинетическойэнергии TA min частицы A в лабораторной системе в случае, когда кинетические энергии продуктов реакции минимальны.

В системе центрамасс в этом случае равны нулю кинетическиевсех образо энергииTf = 0. Одновременновавшихся в результате реакции частиц, т. е.равны нулю и импульсы этих частиц (приравнять нулю импульсыи кинетические энергии продуктов реакции возможно только в системе центра инерции, в которой суммарный импульс по определению равен нулю).

Таким образом, как легко увидеть из (1.2.16, б), приэнергии порога в системе центра инерции рассматриваемый инвариант2просто равенmf . Итак, равенство релятивистских инвариантовв двух рассматриваемых системах при энергии порога имеет вид22mf .=(1.2.17)TA + MA + MB − p2Aпорог 2При энергии порога TA = TA min = Eпорог , а p2A порог = TA min + + 2 TA min · MA .

С учетом этого из (1.2.17) получаем 221=mimf −2MB 1=mf −mf +mimi ,2M BEпорог = (TA )min =где(1.2.18)mi = MA + MB .Часто вместо формулы (1.2.18) используется эквивалентное выражение|Q|MEпорог = (TA )min = |Q| 1 + A +,(1.2.19)MB2MBгде Q = mi − mf — энергия реакции.Подчеркнем, что обе «пороговые» формулы (1.2.18) и (1.2.19) записаны в системе h̄ = c = 1. В обычном варианте использования этихформул массы умножаются на c2 .Задача 1.2.6.

Рождение нейтрального π 0 -мезона на неподвижной водородной мишени происходит как на ускорителях электроновпромежуточных энергий, так и на ускорителях протонов. Сравнить минимальные энергии пучков частиц на электронных и протонных ускорителях, при которых возможно рождение π 0 -мезона.§1.2. Распады и реакции21Реакции рождения π 0 -мезона на электронном и протонном ускорителях имеют следующий вид:e + p → e + p + π0 ,p + p → p + p + π0.(1.2.20)Пороговые энергии электронов и протонов в этих реакциях даютсясоответственно следующими выражениями:1mπ (2mp + 2me + mπ ),2mp1Tp =mπ (4mp + mπ ).2mpTe =Пользуясь таблицами масс частиц, получим для пороговых кинетических энергий электрона и протона в реакциях (1.2.20):135 МэВ(2 · 938 МэВ + 2 · 0,511 МэВ + 135 МэВ) ≈ 145 МэВ2 · 938 МэВ135 МэВTp =(4 · 938 МэВ + 135 МэВ) ≈ 280 МэВ.2 · 938 МэВTe =Столь значительное различие в пороговых энергиях при рождениипиона в реакциях электронов и протонов с неподвижной водородноймишенью является следствием бо́льших затрат энергии на движениецентра масс системы во второй реакции.

Эти затраты отсутствуютв ускорителях на встречных пучках — коллайдерах (colliders). Именноколлайдеры являются основным инструментом современной физикивысоких энергий в получении информации о структуре и свойствахчастиц и их взаимодействий.Определим энергию E частицы в ускорителе с неподвижной мишенью, эквивалентном коллайдеру с энергиями E одинаковых частицв пучках. Имеются в виду полные энергии упомянутых частиц, связанные с их кинетическими энергиями и массами соотношениямиE = T + m (неподвижная мишень),E = T + m (коллайдер).В ускорителе со встречными пучками одинаковых по массе частицлабораторная система совпадает с системой центра масс.

В этой (штрихованной) системе квадрат инварианта массы (E )2 − (P )2 = inv == 4 (E )2 . В системе координат, связанной с одной из сталкивающихсячастиц (например, частицей 2), энергия частицы 1 есть искомая энергия E. В этой системе квадрат полной энергии равен (E + m)2 , а квадрат полного импульса системы равен квадрату импульса частицы 1:P 2 = p21 = E2 − m2 . Приравнивая значения инвариантов в этих двухсистемах, получим для полной энергии частицы в ускорителе с непо-22Гл.