Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов - Частицы и атомные ядра. Задачи с решениями и комментариями, страница 5

1. Теоретический обзордвижной мишенью, эквивалентном коллайдеру (эту энергию иногданазывают энергией столкновения), выражение 22 EE=− m.m(1.2.21)Задача 1.2.7. Оценить, какие энергии E пучков должны иметьускорители с неподвижной мишенью, эквивалентные ускорителямна встречных пучках:а) протон-антипротонному коллайдеру (лаборатория им. ФермиFNAL) с энергиями пучков 1 ТэВ;б) электрон-позитронному коллайдеру (LEP, CERN) с энергиямипучков 100 ГэВ.Расчет энергий пучков в ускорителях с неподвижной мишенью, эквивалентных коллайдеру, по (1.2.21) дает, соответственно для энергийантипротоновE=2 · 103 · 103ГэВ − 0,94 ГэВ ≈ 2,1 · 106 ГэВ = 2,1 · 103 ТэВ0, 94и позитроновE=2 · 100 · 1000,511 · 10−3ГэВ ≈ 4 · 104 ТэВ.Относительно бо́льший «выигрыш» в энергии для коллайдеровс электронными и позитронными пучками является следствием зависимости энергии «эквивалентного» ускорителя с неподвижной мишеньюот массы ускоряемых частиц.Полученные и использованные при решении данной задачи полныеэнергии частиц E и E в эквивалентных ускорителях в силу их ультрарелятивизма практически не отличаются от их кинетических энергийT и T .

Если возникает задача точного сравнения кинетических энергий частиц эквивалентных ускорителей, то выражение (1.2.21) можнопереписать в терминах этих энергий:T =2T (T + 2m).m(1.2.22)Задача 1.2.8. Определить минимальную кинетическую энергиюпротона в реакции рождения «странных» частиц p + p → p + K + ++ Σ0 в ускорителе с неподвижной водородной мишенью и в протонпротонном коллайдере.В ускорителе с неподвижной мишенью(Tp )min ==1(MΣ0 + MK + − mp ) (MΣ0 + MK + + 3mp ) =2mp1(1193 + 494 − 938) (1193 + 494 + 3 · 938) МэВ ≈ 1796 МэВ.2 · 938§1.2. Распады и реакции23Минимальная (пороговая) энергия протонных пучков в коллайдереравна половине разности масс продуктов реакции и первичных частиц,т. е.

1 1 mf −mi = (MΣ0 + MK + − mp ) ≈ 374 МэВ.Tp min =22 Величины Tp min и Tp min связаны соотношением (1.2.22). Поэтому ответ данной задачи может быть получен также с помощьюследующего расчета (формула (1.2.22)): 2 TpTp min =minmpTpmin+ 2mp ==2 · 374 374 + 2 · 938 МэВ ≈ 1796 МэВ.9381.2.4. Эффективные сечения реакций. В физике микромирахарактеристиками вероятности процессов взаимодействия частиц иядер являются дифференциальное и полное эффективные сеченияреакций.Рассмотрим поток частиц A, падающих на мишень и вступающихво взаимодействие с частицами B мишени. Результатом реакции может быть как появление частиц A и B с другими кинематическимихарактеристиками, так и возникновение новых частиц.Дифференциальное эффективное сечение реакции в системе покоямишени определяется какdN(θ)dσ(θ) = dΩ .dΩj·M(1.2.23)Здесь θ — угол рассеяния или реакции; dN (θ) — число частиц, вылетевших под этим углом в единицу времени (в секунду) в телесномугле dΩ; j — плотность потока частиц (число частиц, упавших в единицу времени на единицу поперечной площади мишени); M — полноечисло частиц B мишени, находящихся в пучке (M = n · S · L, где n —число частиц мишени в единице объема; S — облучаемая площадьмишени; L — толщина мишени).Полное (или интегральное) эффективное сечение реакции является интегралом от (1.2.23) по углу рассеяния (реакции):dσσ=dΩ.(1.2.24)dΩРазмерность эффективного сечения реакции — см2 .Поскольку эффективные сечения процессов микромира в единицахсм2 представляют собой очень малые величины, они измеряются, какправило, в единицах 1 барн = 1 б = 1 b = 10−24 см2 .Серия экспериментов по измерению эффективных сечений рассеяния α-частицы на ядрах была проведена под руководством Резерфорда.24Гл.

1. Теоретический обзорИм было показано, что практически вся масса атома и его положительный заряд сосредоточены в ядре, линейные размеры которого примернов 105 раз меньше размеров атома. Для дифференциального сечениярассеяния α-частицы на ядре как на бесструктурном (точечном) объекте с зарядом Ze им была получена формула (формула Резерфорда):dσ(Z Ze2 )2(θ) = α ,dΩθ 24Tα sin2(1.2.25)2где Zα e — заряд α-частицы, Ze — заряд ядра, Tα — кинетическаяэнергия α-частицы, θ — угол рассеяния α-частицы.Задача 1.2.9.

Рассчитать дифференциальное эффективное сечение рассеяния α-частицы с кинетической энергией 10 МэВ на ядре40◦20 Ca. Угол рассеяния равен 60 .Учитывая, что Zα = 2, получимdσ(Ze2 )2(θ) = =dΩθ 22Tα sin222e220 ·· h̄c=h̄c12 · 10 MэВ ·4⎛2 = ⎝20 ·⎞21· 200 MэВ · 10−13 см137⎠5 MэВ≈≈ 0,34 · 10−24 см2 /стерадиан = 0,34 барн/стер.Здесь для упрощения процедуры расчета использована константа элекe21=и константа конверсиитромагнитного взаимодействия αe =h̄c137h̄c ≈ 200 МэВ · Фм.Задача 1.2.10. Рассчитать дифференциальное эффективное сечение рассеяния α-частицы с кинетической энергией 10 МэВ на ядре◦золота 19779 Au.

Угол рассеяния равен 180 .Расчет аналогичен расчету предыдущей задачи.279 ·2 2e2· h̄ch̄cdσ(Ze )барн(θ = 180◦ ) = ≈ 0,33 · 10−2.2 =2dΩстерθ(2 · 10 МэВ)2Tα sin22Следует отметить, что формула Резерфорда в виде (1.2.25) справедлива лишь при энергиях α-частиц, не превышающих примерно20 МэВ. При более высоких энергиях в формулу (1.2.25) должен бытьвведен еще один множитель — формфактор, связанный с внутреннейструктурой (неточечностью) сталкивающихся ядер.1.2.5. Диаграммы Фейнмана. В квантовой теории существуетудобный метод описания и расчета вероятностей процессов взаимодействия частиц, основанный на использовании диаграмм Фейнмана.§1.2. Распады и реакции25В диаграммах Фейнмана физическому процессу сопоставляется егографическая схема. Каждой участвующей в процессе взаимодействиячастице соответствует линия.

Обычно линии фермионов — тонкиепрямые линии. Линии бозонов изображают либо волнистыми линиями,либо штриховыми прямыми.Диаграмма Фейнмана задает алгоритм вычисления амплитуды вероятности процесса. Каждому элементу диаграммы соответствуют определенные множители в расчете амплитуды вероятности. Линии, одиниз концов которых свободен, соответствуют свободным частицам.В расчете амплитуды вероятности этим линиям отвечают волновыефункции частиц. Квадрат модуля амплитуды вероятности определяетвероятность процесса.Линии на диаграммах Фейнмана могут описывать распространениекак частиц, так и античастиц: направление стрелок на линиях античастиц противоположно направлениям стрелок на линиях частиц.Взаимодействие частиц на диаграмме изображается вершиной (илиузлом), в котором сходятся две фермионных и одна бозонная линии.Каждой вершине в амплитуде вероятности процесса соответствуетконстанта взаимодействия.

В случае электромагнитных процессов константой взаимодействия (константой связи) является величина√eαe = √ .(1.2.26)h̄cВ системе единиц h̄ = c = 1 для этой константы имеемПри энергиях < 10 ГэВαe =e21=.h̄c137√αe = e.(1.2.27)Частицы, изображенные линиями, начинающимися и кончающимися в вершинах, — это так называемые виртуальные частицы. Линиямвиртуальных частиц в расчете диаграмм Фейнмана сопоставляютсяфункции распространения этих частиц, называемые пропагаторами.Именно виртуальные частицы ответственны за реализацию взаимодействия частиц. Для процессов взаимодействия, которые осуществляются путем рождения и поглощения виртуальных частиц, характерно,что в течение интервала времени взаимодействия Δt имеет местоотклонение ΔE энергии виртуальной частицы от ее точного значения,соответствующего закону сохранения.

Величины ΔE и Δt связанысоотношением неопределенностей ГейзенбергаΔE · Δt ≈ h̄.Для виртуальных частицE 2 = p2 c2 + m2 c4 .(1.2.28)26Гл. 1. Теоретический обзорСледует подчеркнуть, что в целом для всего процесса законы сохранения выполняются точно. В частности, полная энергия частицдо взаимодействия равна полной энергии частиц после взаимодействия.На рис. 1.2.1, а изображена диаграмма Фейнмана рассеяния фотонана электроне (вектор времени направлен слева направо).

Изменениенаправлений фермионной линии дает диаграмму Фейнмана рассеянияфотона на позитроне.Рис. 1.2.1. а — Диаграмма Фейнмана рассеяния фотона на электроне, б — диаграмма двухфотонной e+ e− -аннигиляции, в — диаграмма рождения e+ e− -парыдвумя фотонамиДиаграммы Фейнмана обладают замечательными свойствами: еслина рис. 1.2.1 направить вектор времени снизу вверх (или, сохраняянаправление вектора времени, повернуть диаграмму на 90◦ по часовойстрелке), то полученная диаграмма б будет изображать двухфотоннуюаннигиляцию: e+ + e− → γ + γ . Противоположное вращение диаграммы Фейнмана приводит к графическому изображению обратного процесса в — рождения пары e+ e− при взаимодействии двух фотонов.Диаграммы Фейнмана не только являются иллюстрацией реакцийс частицами, но и позволяют — даже без проведения точного расчета —сделать некоторые важные оценки соотношения вероятностей процессов.

Например, с их помощью легко доказать доминирующую рольнизших по константе (или количеству виртуальных частиц) диаграммв электромагнитных взаимодействиях. Рассмотрим, как количествоузлов в диаграмме влияет на вероятность процесса. Амплитуда вероятности A1 простейшего процесса, представляемого одним узлом изтрех линий (т. е.

амплитуда вероятности √испускания или√поглощениявиртуальной частицы), пропорциональна α , т. е. A1 ∼ α , где α —константа фундаментального взаимодействия, ответственного за испускание (или поглощение) виртуальной частицы. Амплитуда вероятностиA2 двухузловой диаграммы (испускание и затем поглощение виртуальной частицы) в соответствие с правилом произведения вероятностей√√√ 2дается соотношением A2 ∼ α · α = ( α ) .

Для диаграммы с N√ Nузлами амплитуда вероятности AN ∼ ( α ) . Вероятность процессаdσ(дифференциальное эффективное сечение) связана с амплитудой AdΩ§1.2. Распады и реакции27этого процесса соотношением (без доказательства)dσ= |A|2 .dΩ(1.2.29)Рассмотрим в качестве примера рассеяние электрона на электроне.Квантом электромагнитного взаимодействия является виртуальный фотон.На рис. 1.2.2 показана обобщенная диаграмма этого процесса,которая может быть представлена как сумма диаграмм с разнымколичеством вершин.

Поскольку взаимодействие электромагнитное,каждой вершине соответствует√константа связи электромагнитного вза√имодействия αe = e/ h̄c = 1/137 . Первая из диаграмм Фейнмана,дающая вклад в процесс рассеяния электрона на электроне, имеет двевершины и ее амплитуда вероятности A2 пропорциональна квадратуконстанты связи (1.2.26), т.