PDF - лекции, страница 9
Описание файла
PDF-файл из архива "PDF - лекции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальная геометрия" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 9 страницы из PDF
»¬¨ ±«®¢ ¬¨, @yi |½²® ±²®«¡¶» ¬ ²°¨¶» ª®¡¨ ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨ ² y . ±¨«³ ¥¢»°®¦¤¥®±²¨ ¬ ²°¨¶» ª®¡¨, ¥¥ ±²®«¡¶» «¨¥©® ¥§ ¢¨±¨¬», ¯®½²®¬³ ¢¥ª²®°» @yi®¡° §³¾² ¡ §¨± ª ± ²¥«¼®£® ¯°®±²° ±²¢ TP , ª®²®°»© §»¢ ¥²±¿ ª ®¨·¥±ª¨¬ ¡ §¨±®¬ ¢ TP , ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬ °¥£³«¿°»¬ ª®®°¤¨ ² ¬yi . ²¬¥²¨¬, ·²® @yi ¿¢«¿¾²±¿ ¢¥ª²®° ¬¨ ±ª®°®±²¥© ª®®°¤¨ ²»µ «¨¨©,¯°®µ®¤¿¹¨µ ·¥°¥§ ²®·ª³ P. «¥¥Xx_ = y_i @yi :i»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ª®®°¤¨ ²» ª ± ²¥«¼®£® ¢¥ª²®° ¯® ®²®¸¥¨¾ ª ±² ¤ °²®© ¥¢ª«¨¤®¢®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ² ° ¢» «¨¥©®© ª®¬¡¨ ¶¨¨ ¡ §¨±»µ ¢¥ª²®°®¢ ª°¨¢®«¨¥©®© ±¨±²¥¬» ± ª®½´´¨¶¨¥² ¬¨ | ª®®°¤¨ ² ¬¨ ½²®£® ¢¥ª²®° ¯® ®²®¸¥¨¾ ª ½²®© ª°¨¢®«¨¥©®© ±¨±²¥¬¥.®±¬®²°¨¬, ª ª ¬¥¿¾²±¿ ª®®°¤¨ ²» ª ± ²¥«¼®£® ¢¥ª²®° ¯°¨ § ¬¥¥ ª®®°¤¨ ².
±«¨ (z 1 ; : : : ; z n; ) | ¤°³£¨¥ ª°¨¢®«¨¥©»¥ª®®°¤¨ ²» ¢, ²®, § ¯¨± ¢ ª°¨¢³¾ ¢ ¢¨¤¥ z 1 (t); : : : ; z n(t) , ©¤¥¬, ·²®@yi z_ j (0); ¨»¬¨ ±«®¢ ¬¨ y_ = J(y; z)z;_y_i (0) = @zj£¤¥ J(y; z) | ¬ ²°¨¶ ª®¡¨ § ¬¥» ª®®°¤¨ ² yi z i . ² ª, ¬» ¢»¢¥«¨ § ª® ¯°¥®¡° §®¢ ¨¿ ª®®°¤¨ ² ª ± ²¥«¼®£® ¢¥ª²®° ¯°¨ § ¬¥¥ª°¨¢®«¨¥©®© ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨ ².¯°¥¤¥«¨¬ ²¥¯¥°¼, ª ª ¬¥¿¾²±¿ ¡ §¨±»¥ ¢¥ª²®° ¯°¨ § ¬¥¥ ª°¨¢®-45°¨¢®«¨¥©»¥ ª®®°¤¨ ²»«¨¥©®© ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨ ² yi z i .
¬¥¥¬: 1@xn = X @x1 @yj ; : : : ; X @xn @yj =@zi = @x;:::;j ij i@z i@z ij @y @zj @y @zn X @yjX @yj @x1@xij ; : : : ; @yj =i @y j :j @zj @z @y ¬ ²°¨·®¬ ¢¨¤¥,;@ ; : : : ; @ n = ;@ ; : : : ; @ n J(y; z):zyzy16.41 ¢ª«¨¤®¢ ¬¥²°¨ª ¢ ª°¨¢®«¨¥©»µ ª®®°¤¨ ² µ ª ¦¤®¬ ª ± ²¥«¼®¬ ¯°®±²° ±²¢¥ TP ®¯°¥¤¥«¥® ¥¢ª«¨¤®¢® ±ª «¿°®¥¯°®¨§¢¥¤¥¨¥ ª ± ²¥«¼»µ ¢¥ª²®°®¢.
±«¨ v ¨ w | ª ± ²¥«¼»¥ ¢¥ª²®° ¨§TP , (v1 ; : : : ; vn) ¨ (w1 ; : : : ; wn) | ¨µ ª®®°¤¨ ²» (¯® ®²®¸¥¨¾ ª ±² ¤ °²®©ª®®°¤¨ ²), ²® ¨µ ±ª «¿°®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥¨¥ hv; wi ° ¢®P vi wi. ±¨±²¥¬¥³±²¼ ²¥¯¥°¼ yi | °¥£³«¿°»¥ ª°¨¢®«¨¥©»¥ ª®®°¤¨ ²» ¢ ,i¨ ¯³±²¼ (v1 ; : : : ; vn) ¨ (w 1; : : : ; w n) | ª®®°¤¨ ²» ¢¥ª²®°®¢ v ¨ w ¯® ®²®¸¥¨¾ ª yi . » µ®²¨¬ § ¯¨± ²¼ ±ª «¿°®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢¥ª²®°®¢ v ¨ w·¥°¥§ ½²¨ ª®®°¤¨ ²». ¬¥¥¬v=Xivi @yi ; w =Xiwi @yi ; hv; wi =Xi;jvi wj h@yi ; @yj i:®«®¦¨¬ gij = h@yi ; @yj i. »¬¨ ±«®¢ ¬¨, ¬ ²°¨¶ G = (gij ) | ½²® ¬ ²°¨¶ ° ¬ ª ®¨·¥±ª®£® ¡ §¨± (@y1 ; : : : ; @yn ) ª ± ²¥«¼®£® ¯°®±²° ±²¢ TP . ¿¢®¬ ¢¨¤¥,X k @xkgij = @xi j:k @y @y³ª¶¨¨ gij , ®¯°¥¤¥«¥»¥ , §»¢ ¾²±¿ª®¬¯®¥² ¬¨ ¥¢ª«¨¤®¢®©¬¥²°¨ª¨, § ¯¨± »¬¨ ¢ °¥£³«¿°®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ² yi . ¤¨´´¥°¥¶¨ «¼®¬ ¿§»ª¥,X @xkXXds2 = (dxk )2 =kki@yidyi2=XX @xk @xk i;jXi jgij dyi dyj :i @yj dy dy =@yi;jk46°¨¢®«¨¥©»¥ ª®®°¤¨ ²»6.4.1 ª® ¨§¬¥¥¨¿ ª®¬¯®¥² ¬¥²°¨ª¨ ¯°¨ § ¬¥¥ ª®®°¤¨ ²®±¬®²°¨¬, ª ª ¬¥¿¾²±¿ ª®¬¯®¥²» ¬¥²°¨ª¨ gij ¯°¨ § ¬¥¥ °¥£³«¿°»µ ª®®°¤¨ ² yi °¥£³«¿°»¥ ª®®°¤¨ ²» z i .
¡®§ ·¨¬ ·¥°¥§ hij ª®¬¯®¥²» ¥¢ª«¨¤®¢®© ¬¥²°¨ª¨ ¢ ª®®°¤¨ ² µ z i . ® ®¯°¥¤¥«¥¨¾, hij =h@zi ; @zj i. ¬¥¥¬hij = h@zi ; @zj i =DX @ykk@z i @yk ;X @yl El@z j @yl =X @yk @ylX @yk @ylh@k ; @y l i =yiji j gkl :k;l @z @zk;l @z @z»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ¥±«¨ G = (gij ), H = (hij ), ²® H = J(y; z)T G J(y; z), £¤¥()T ®¡®§ · ¥² ²° ±¯®¨°®¢ ¨¥ ¬ ²°¨¶».6.4.2°¨¬¥°» ¢»·¨±«¥¨¿ ¥¢ª«¨¤®¢®© ¬¥²°¨ª¨»·¨±«¨¬ ª®¬¯®¥²» ¥¢ª«¨¤®¢®© ¬¥²°¨ª¨ ¢ ¯®«¿°»µ, ¶¨«¨¤°¨·¥±ª¨µ¨ ±´¥°¨·¥±ª¨µ ª®®°¤¨ ² µ. ¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ·²® ¢ ª ¦¤®¬ ¨§ ½²¨µ ±«³· ¥¢¢¥ª²®°» ª ®¨·¥±ª®£® °¥¯¥° ¢§ ¨¬® ®°²®£® «¼».
®½²®¬³ ¢±¥ ª®¬¯®¥²» gij ¯°¨ i 6= j ° ¢» ³«¾. ±² «®±¼ ¢»·¨±«¨²¼ ¤«¨» ¢¥ª²®°®¢±ª®°®±²¥© ª®®°¤¨ ²»µ «¨¨©. ·¥¢¨¤»¥ ¢»·¨±«¥¨¿ ¯°¨¢®¤¿² ª ±«¥¤³¾¹¥¬³ °¥§³«¼² ²³:1) ¢ ¯®«¿°®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ² (r; ') ¥¢ª«¨¤®¢ ¬¥²°¨ª ds2 ¨¬¥¥²¢¨¤:ds2 = dr2 + r2 d'2;2) ¢ ¶¨«¨¤°¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ² (r; '; z) ¥¢ª«¨¤®¢ ¬¥²°¨ª ds2¨¬¥¥² ¢¨¤:ds2 = dr2 + r2 d'2 + dz 2;3) ¢ ±´¥°¨·¥±ª®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ² (r; ; ') ¥¢ª«¨¤®¢ ¬¥²°¨ª ds2¨¬¥¥² ¢¨¤:ds2 = dr2 + r2 d2 + r2 cos2 d'2:47°¨¢®«¨¥©»¥ ª®®°¤¨ ²» ¤ ·¨ ª «¥ª¶¨¨ 6°¨¢®«¨¥© ¿ ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨ ² (q1 ; : : : ; qn), § ¤ ¿ ¢®¡« ±²¨ ¯°®±²° ±²¢ Rn, §»¢ ¥²±¿ ®°²®£® «¼®©, ¥±«¨ ¢ ¥© ¥¢ª«¨¤®¢ ¬¥²°¨ª ds2 = [dx1]2 + + [dxn]2 ¨¬¥¥² ¢¨¤ H12 [dq1]2 + + Hn2 [dqn]2, £¤¥Hi | ¯®«®¦¨²¥«¼»¥ ´³ª¶¨¨ ª®®°¤¨ ² qi , §»¢ ¥¬»¥ ª®½´´¨¶¨¥² ¬¨ ¬¥.
@xs ¤ · 6.1 »·¨±«¨²¼ ¿ª®¡¨ ¯¥°¥µ®¤ J = @qk ®² ¤¥ª °²®¢»µ ª®®°1n¤¨ ² (x ; : : : ; x ) ª ®°²®£® «¼»¬ ª°¨¢®«¨¥©»¬ ª®®°¤¨ ² ¬ (q1 ; : : : ; qn)¯°¥¤¥«¥¨¥.¢ ¯°®±²° ±²¢¥ Rn. ¤ · 6.2 »·¨±«¨²¼ £° ¤¨¥²grad f´³ª¶¨¨ «¼®© ª°¨¢®«¨¥©®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ². ¤ · 6.3 »·¨±«¨²¼ ¤¨¢¥°£¥¶¨¾f : R3 !div a ¢¥ª²®°®£®²®£® «¼®© ª°¨¢®«¨¥©®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ².¯®«¿ ¤ · 6.4 ©²¨ ¢»° ¦¥¨¥ ¤«¿ ®¯¥° ²®° ¯« ± fR3 ! R ¢ ®°²®£® «¼®© ª°¨¢®«¨¥©®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ².R ¢ ®°²®£®-a 2 R3 ¢ ®°´³ª¶¨¨f : ¤ · 6.5 ««¨¯²¨·¥±ª¨¥ ª®®°¤¨ ²» ¢ R3q1 = ; q2 = ; q3 = z®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ± ¯®¬®¹¼¾ ´®°¬³«px = c ; y = c (2 ; 1)(1 ; 2 ) ; z = z ;£¤¥c | ¬ ±¸² ¡»© ¬®¦¨²¥«¼. ) ©²¨ ª®®°¤¨ ²»¥ ¯®¢¥°µ®±²¨ ½««¨¯²¨·¥±ª¨µ ª®®°¤¨ ².¡) »·¨±«¨²¼ ª®½´´¨¶¨¥²» ¬¥. ¤ · 6.6 ««¨¯±®¨¤ «¼»¥ ª®®°¤¨ ²» ¢ R3 ¢¢®¤¿²±¿ ± ¯®¬®¹¼¾ ³° ¢-¥¨© (a > b > c):x2 + y2 + z 2 = 1( > ;c2 )a2 + b2 + c2 + x2 + y2 + z 2 = 1 (;c2 > > ;b2 )a2 + b2 + c2 + x22a +22+ b2y+ + c2z+ = 1 (;b2 > > ;a2 )(³° ¢¥¨¥½««¨¯±®¨¤ )(³° ¢¥¨¥®¤®¯®«®±²®£®£¨¯¥°¡®«®¨¤ )(³° ¢¥¨¥¤¢³¯®«®±²®£®£¨¯¥°¡®«®¨¤ )°¨¢®«¨¥©»¥ ª®®°¤¨ ²»48 ¦¤®© ²®·ª¥ (x; y; z) 2 R3 ±®®²¢¥²±²¢³¥² ²®«¼ª® ®¤ ±¨±²¥¬ § ·¥¨© ; ; . ° ¬¥²°» q1 = , q2 = , q3 = ¨ §»¢ ¾²±¿ ½««¨¯±®¨¤ «¼»¬¨ª®®°¤¨ ² ¬¨. ) »° §¨²¼ ¤¥ª °²®¢» ª®®°¤¨ ²»¤¨ ²»; ; .x; y; z ·¥°¥§ ½««¨¯±®¨¤ «¼»¥ ª®®°-¡) »·¨±«¨²¼ ª®½´´¨¶¨¥²» ¬¥.¢) ©²¨ ¢»° ¦¥¨¥ ¤«¿ ®¯¥° ²®° ¯« ± ¢ ½««¨¯±®¨¤ «¼»µ ª®®°¤¨- ² µ.¨¬ ®¢ ¨ ¯±¥¢¤®°¨¬ ®¢ ¬¥²°¨ª¨¥ª¶¨¿ 7.49°¨¢®«¨¥©»¥ ª®®°¤¨ ²» ¯®¢¥°µ®±²¿µ.
¨¬ ®¢ ¨ ¯±¥¢¤®°¨¬ ®¢ ¬¥²°¨ª¨³±²¼ Rm | ¥ª®²®° ¿ ®¡« ±²¼, ¨ M | °¥£³«¿° ¿ ¯®¢¥°µ®±²¼ ¢Rn, § ¤ ¿ ®²®¡° ¦¥¨¥¬ f : ! Rn. » ®¯°¥¤¥«¿«¨ ª®®°¤¨ ²®¥¯°¥¤±² ¢«¥¨¥ ² ª®© ¯®¢¥°µ®±²¨, ° ±±¬ ²°¨¢ ¿ ±² ¤ °²»¥ ª®®°¤¨ ²»(x1; : : : ; xn) ¢ Rn, ±² ¤ °²»¥ ª®®°¤¨ ²» (u1 ; : : : ; um) ¢ Rm, ¨ § ¤ ¢ ¿®²®¡° ¦¥¨¥ f ± ¯®¬®¹¼¾ ±¥¬¥©±²¢ ´³ª¶¨©81 1 1><x = x (u ; : : : ; um);:::>:xn = xn(u1; : : : ; um): ±«¨ ²¥¯¥°¼ ¢ ®¡« ±²¨ ¢»¡° ²¼ ª°¨¢®«¨¥©»¥ ª®®°¤¨ ²» (v1 ; : : : ; vm ),§ ¤ »¥ ®²®¡° ¦¥¨¥¬ : ! Rm, ²® ¯®¢¥°µ®±²¼ M ¬®¦¥² ¡»²¼ § ¤ ®²®¡° ¦¥¨¥¬ f ;1 , ¨ ¥¥ ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª®¥ ¯°¥¤±² ¢«¥¨¥ ¡³¤¥² ¨¬¥²¼¢¨¤:81 1 1><x = x (v ; : : : ; vm );:::>:xn = xn(v1; : : : ; vm ): ±«¨ M ¯°¥¤±² ¢«¥ ² ª¨¬ ®¡° §®¬, ²® £®¢®°¿², ·²® M ¢»¡° ª°¨¢®«¨¥© ¿ ±¨±²¥¬ ª®®°¤¨ ² vi .
±®, ·²® ¥±«¨ ª®®°¤¨ ²» vi °¥£³«¿°»,²® ¯®¢¥°µ®±²¼ M, § ¤ ¿ ®²®¡° ¦¥¨¥¬ f ;1 , ² ª¦¥ °¥£³«¿° . ª²¨·¥±ª¨, ª°¨¢®«¨¥©»¥ ª®®°¤¨ ²» § ¤ ¾² ²®, ·²® ¬» §»¢ «¨ § ¬¥®©ª®®°¤¨ ² ¯®¢¥°µ®±²¨. ª¨¬ ®¡° §®¬, § ¬¥³ ª®®°¤¨ ² ¯®¢¥°µ®±²¨ ¬®¦® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ª ª ¢¢¥¤¥¨¥ ½²®© ¯®¢¥°µ®±²¨ ª°¨¢®«¨¥©»µ ª®®°¤¨ ².»¸¥ ¬» ®¯¨± «¨, ª ª ¢»£«¿¤¨² ¥¢ª«¨¤®¢ ¬¥²°¨ª ¢ ª°¨¢®«¨¥©®© ±¨±²¥¬¥ ª®®°¤¨ ², ¨ ª ª ¬¥¿¥²±¿ ¥¢ª«¨¤®¢ ¬¥²°¨ª ¯°¨ § ¬¥¥ª°¨¢®«¨¥©®© ±¨±²¥¬» ª®®°¤¨ ². ²¬¥²¨¬, ·²® ¢±¥ ½²¨ ° ±±³¦¤¥¨¿¯°¨¬¥¨¬» ¨ ª ¬¥²°¨ª¥, ¨¤³¶¨°®¢ ®© ¯®¢¥°µ®±²¨. ¬¥· ¨¥.°¨¢¥¤¥¬ ¯°¨¬¥° ¯®«¥§»µ ª°¨¢®«¨¥©»µ ª®®°¤¨ ² ±´¥°¥ S 2 , §»¢ ¥¬»µ ±²¥°¥®£° ´¨·¥±ª¨¬¨.7.1²¥°¥®£° ´¨·¥±ª¨¥ ª®®°¤¨ ²» ±´¥°¥«¿ ¯°®±²®²», ° ±±¬®²°¨¬ ±´¥°³ ¥¤¨¨·®£® ° ¤¨³± .
³±²¼ (x; y; z) |±² ¤ °²»¥ ª®®°¤¨ ²» ¢ R3, ²®£¤ ±´¥° S 2 § ¤ ¥²±¿ ³° ¢¥¨¥¬ x2 +50¨¬ ®¢ ¨ ¯±¥¢¤®°¨¬ ®¢ ¬¥²°¨ª¨y2 + z 2 = 1. ¡®§ ·¨¬ ·¥°¥§ N ±¥¢¥°»© ¯®«¾± ±´¥°» S 2 , ².¥. ²®·ª³ ± ª®®°¤¨ ² ¬¨ (0; 0; 1), ·¥°¥§ S | ¾¦»© ¯®«¾±, ².¥. ²®·ª³ ± ª®®°¤¨ ² ¬¨(0; 0; ;1). ³±²¼ | ª®®°¤¨ ² ¿ ¯«®±ª®±²¼ z = 0. ¤ ¤¨¬ ®²®¡° ¦¥¨¥ : S 2 n fN g ! ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. «¿ ª ¦¤®© ²®·ª¨ P 2 S 2 n fN g ° ±±¬®²°¨¬ ²®·ª³P 0 ¯¥°¥±¥·¥¨¿ ¯°¿¬®© NP ± ¯«®±ª®±²¼¾ . ®«®¦¨¬ ¯® ®¯°¥¤¥«¥¨¾(P ) = P 0.
²®¡° ¦¥¨¥ §»¢ ¥²±¿ ±²¥°¥®£° ´¨·¥±ª®© ¯°®¥ª¶¨¥© ¨§±¥¢¥°®£® ¯®«¾± N. ²¬¥²¨¬, ·²® «®£¨·® ¬®¦® ®¯°¥¤¥«¨²¼ ±²¥°¥®£° ´¨·¥±ª³¾ ¯°®¥ª¶¨¾ ¨§ ¾¦®£® ¯®«¾± .²¥°¥®£° ´¨·¥±ª ¿ ¯°®¥ª¶¨¿ § ¤ ¥² ª®®°¤¨ ²» ±´¥°¥ S 2 ¡¥§ ±¥¢¥°®£® ¯®«¾± . ²¨ ª®®°¤¨ ²» §»¢ ¾²±¿ ±²¥°¥®£° ´¨·¥±ª¨¬¨. »·¨±«¨¬ ¢ ¿¢®¬ ¢¨¤¥ ±²¥°¥®£° ´¨·¥±ª¨¥ ª®®°¤¨ ²».³±²¼ P = (x; y; z), ¨ P 0 = (P) = (u; v; 0).
¢¥¤¥¬ ¶¨«¨¤°¨·¥±ª¨¥ª®®°¤¨ ²» (r; '; z). ³±²¼ ¢ ½²¨µ ª®®°¤¨ ² µ P = (r; '; z), P 0 = (; '; 0).¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ·²® r ¨ ±¢¿§ » ±«¥¤³¾¹¨¬ ±®®²®¸¥¨¥¬: = r=(1 ; z),®²ª³¤ r2 = x2 + y2 = 2 (1 ; z)2 . ª ª ª P 2 S 2 , ²®1 = x2 + y2 + z 2 = 2 (1 ; z)2 + z 2 : ª ª ª z 6= 1, ¨¬¥¥¬1 ; z 2 = (1 ; z)(1 + z) = 2 (1 ; z)2) 1 + z = 2 (1 ; z)®²ª³¤ 222) z = 2 +; 11 = uu2 ++ vv2 +; 11 ;8'=2u ;><x = r cos ' = 22cos22+ 1 u + v2 + 1r = (1 ; z) = 2 + 1 ) >2sin:y = r sin ' = 2 + 1' = u2 +2vv2 + 1 :² ª, ¢ ±²¥°¥®£° ´¨·¥±ª¨µ ª®®°¤¨ ² µ (u; v) ±´¥° S 2 ¡¥§ ±¥¢¥°®£®¯®«¾± N § ¯¨±»¢ ¥²±¿ ² ª:2 + v2 ; 1 2vu2ux = u2 + v2 + 1 ; y = u2 + v2 + 1 ; z = u2 + v2 + 1 ;¨«¨, ¢ ¯®«¿°»µ ª®®°¤¨ ² µ (; '), ² ª: 2 cos '2 ;1 2sin'x = 2 + 1 ; y = 2 + 1 ; z = 2 + 1 : :¨¬ ®¢ ¨ ¯±¥¢¤®°¨¬ ®¢ ¬¥²°¨ª¨51°®¬¥ ²®£®, ¬ ¯® ¤®¡¨²±¿ ±¢¿§¼ ¬¥¦¤³ ¶¨«¨¤°¨·¥±ª¨¬¨ ª®®°¤¨ ² ¬¨ (r; '; z) ²®·ª¨ P ¨ ¯®«¿°»¬¨ ª®®°¤¨ ² ¬¨ (; ') ²®·ª¨ P 0 = (P):2 1r = 22+ 1 ; ' = '; z = 2 ;+ 1: :²¬¥²¨¬ ¢ ¦®¥ ±¢®©±²¢® ±²¥°¥®£° ´¨·¥±ª®© ¯°®¥ª¶¨¨.¥®°¥¬ 7.1 ²¥°¥®£° ´¨·¥±ª ¿ ¯°®¥ª¶¨¿ : S 2 ! ¯¥°¥¢®¤¨² ª ¦¤³¾(¥¢»°®¦¤¥³¾) ®ª°³¦®±²¼ S 2 , ¥ ¯°®µ®¤¿¹³¾ ·¥°¥§ ±¥¢¥°»© ¯®«¾±N , ¢ ¥ª®²®°³¾ ®ª°³¦®±²¼ ¯«®±ª®±²¨ , ®ª°³¦®±²¼ S 2 , ¯°®µ®¤¿¹³¾ ·¥°¥§ N , | ¢ ¥ª®²®°³¾ ¯°¿¬³¾ .®ª § ²¥«¼±²¢®.
²®°®¥ ³²¢¥°¦¤¥¨¥ ²¥®°¥¬» ®·¥¢¨¤®, ² ª ª ª ª ¦¤ ¿ ®ª°³¦®±²¼ S 2 , ¯°®µ®¤¿¹ ¿ ·¥°¥§ N, ¯¥°¥µ®¤¨², ¯® ®¯°¥¤¥«¥¨¾,¢ ¯°¿¬³¾ ¯¥°¥±¥·¥¨¿ ¯«®±ª®±²¨, § ¤ ¾¹¥© ½²³ ®ª°³¦®±²¼, ± ¯«®±ª®±²¼¾.®ª ¦¥¬ ¯¥°¢®¥ ³²¢¥°¦¤¥¨¥ ²¥®°¥¬». ³±²¼ ®ª°³¦®±²¼ S 2 ¯®«³· ¥²±¿ ª ª ¯¥°¥±¥·¥¨¥ ¯«®±ª®±²¨ 0 ¨ ±´¥°» S 2 . ³±²¼ ¯«®±ª®±²¼ 0§ ¤ ¥²±¿ ³° ¢¥¨¥¬ ax + by + cz = d. ®¤±² ¢«¿¿ ¢ ½²® ³° ¢¥¨¥ ¢»° ¦¥¨¥ ¤«¿ x, y ¨ z ·¥°¥§ ±²¥°¥®£° ´¨·¥±ª¨¥ ª®®°¤¨ ²» u ¨ v, ¯®«³· ¥¬2vu2 + v2 ; 1 =+b+cax + by + cz = a u2 +2uv2 + 1 u2 + v2 + 1 u2 + v2 + 12au + 2bv + c(u2 + v2 ; 1) = d;u2 + v2 + 1®²ª³¤ 2au+2bv+c(u2 +v2 ; 1) ; d(u2 +v2 +1) = (c ; d)(u2 +v2 )+2au+2bv+(d ; c) = 0: ª ª ª ¯°¨ u2 ¨ v2 ±²®¿² ®¤¨ ª®¢»¥ ª®½´´¨¶¨¥²», ²® ½²® ³° ¢¥¨¥¢²®°®£® ¯®°¿¤ª § ¤ ¥² ¨«¨ ®ª°³¦®±²¼ (¥±«¨ c 6= d ¨ ¥±²¼ µ®²¿ ¡» ¤¢ ° §»µ °¥¸¥¨¿), ¨«¨ ¯°¿¬³¾ (¥±«¨ c = d ¨ a2 + b2 6= 0), ¨«¨ ²®·ª³, ¨«¨¯³±²®¥ ¬®¦¥±²¢®. ®, ¯® ¯°¥¤¯®«®¦¥¨¾, ®ª°³¦®±²¼ ¥¢»°®¦¤¥ (±®±²®¨² ¡®«¥¥ ·¥¬ ¨§ ®¤®© ²®·ª¨) ¨ ¥ ¯°®µ®¤¨² ·¥°¥§ N, ¯®½²®¬³ ¥¥®¡° § ±®±²®¨² ¡®«¥¥ ·¥¬ ¨§ ®¤®© ²®·ª¨ ¨ ®£° ¨·¥, ®²ª³¤ ¥¬¥¤«¥®§ ª«¾· ¥¬, ²® () | ®ª°³¦®±²¼, ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼.»·¨±«¨¬ ²¥¯¥°¼, ª ª ¢»£«¿¤¨² ¨¤³¶¨°®¢ ¿ ¬¥²°¨ª S 2 n fN g¢ ±²¥°¥®£° ´¨·¥±ª¨µ ª®®°¤¨ ² µ.¥®°¥¬ 7.2 ¤³¶¨°®¢ ¿ ¬¥²°¨ª d2 ±´¥°¥ S 2 ¢ ±²¥°¥®£° ´¨·¥±ª¨µ ª®®°¤¨ ² µ (u; v) ¨«¨ (; ') ¨¬¥¥² ¢¨¤:d2 = (u2 + v42 + 1)2 (du2 + dv2 ) = (2 +4 1)2 (d2 + 2 d'2 ):¨¬ ®¢ ¨ ¯±¥¢¤®°¨¬ ®¢ ¬¥²°¨ª¨52 ¯®¬¨¬, ·²® ¥¢ª«¨¤®¢ ¬¥²°¨ª ¢ ¶¨«¨¤°¨·¥±ª¨µª®®°¤¨ ² µ (r; '; z) ¨¬¥¥² ¢¨¤:ds2 = dr2 + r2 d'2 + dz 2: ±´¥° ¯ ° ¬¥²°¨§³¥²±¿ ª®®°¤¨ ² ¬¨ (; ') ² ª:2;1 2r = 2 + 1 ; ' = '; z = 2 + 1 : ;¯®½²®¬³22; 2 ) d;dr = 2(1(+2+)1);24 d = 2(1(2 + 1)2d' = d';2; 2(2 ; 1) = 4 ;dz = 2( +(1)2 +1)2(2 + 1)2®²ª³¤ ; 2 )2 d2 + 42 d'2 + 162 = 4 (d2 + 2 d'2 );d2 = 4(12( + 1)4(2 + 1)2(2 + 1)4 (2 + 1)2·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼.®ª § ²¥«¼±²¢®.«¥¤±²¢¨¥ 7.1 ²¥°¥®£° ´¨·¥±ª ¿ ¯°®¥ª¶¨¿ ±®µ° ¿¥² ³£«» ¬¥¦¤³ ª°¨-¢»¬¨ ±´¥°¥.£®« ¬¥¦¤³ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨¬¨±¿ ª°¨¢»¬¨ ±´¥°¥ | ½²®³£®« ¬¥¦¤³ ¢¥ª²®° ¬¨ ±ª®°®±²¥© ½²¨µ ª°¨¢»µ ª ª ª°¨¢»µ ¢ R3.