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ds2 = (1 + fx2 ) dx2 + 2fx fy dxdy + (1 + fy2 ) dy2 .“¯° ¦­¥­¨¥ 3.2 ‚»·¨±«¨²¼ ¯¥°¢³¾ ´³­¤ ¬¥­² «¼­³¾ ´®°¬³ ¤«¿ ¯®¢¥°µ-­®±²¨, § ¤ ­­®© ­¥¿¢­®© ´³­ª¶¨¥©F (x; y; z).‘ ¯®¬®¹¼¾ ¬¥²°¨ª¨ «¥£ª® § ¯¨±»¢ ¾²±¿ ¤«¨­» ª ± ²¥«¼­»µ ¢¥ª²®°®¢¨ ³£«» ¬¥¦¤³ ­¨¬¨. ‚ · ±²­®±²¨, ·¥°¥§ ª®¬¯®­¥­²» ¬¥²°¨ª¨ ³¤®¡­® § ¯¨± ²¼ ¤«¨­³ ª°¨¢®© : [a; b] ! R3, «¥¦ ¹¥© ­ ¯®¢¥°µ­®±²¨ M,; ² ª¦¥ ¢¥«¨³£« ¬¥¦¤³ ² ª¨¬¨ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨¬¨±¿ ª°¨¢»¬¨.

…±«¨ u1(t); u2 (t) =;·¨­³u(t); v(t) | § ¯¨±¼ ª°¨¢®© ¢ ª®®°¤¨­ ² µ u1 = u, u2 = v ¯®¢¥°µ­®±²¨M, ²®`() =Z b sXai;jgij u_ i(t)u_ j (t) dt =Z bpaE u_ 2(t) + 2F u(t)__ v(t) + G v_ 2 (t) dt(¢»¢®¤ ´®°¬³«» ¤«¿ ³£« ¬¥¦¤³ ¯¥°¥±¥ª ¾¹¨¬¨±¿ ª°¨¢»¬¨ ¬» ®±² ¢«¿¥¬¢ ª ·¥±²¢¥ ³¯° ¦­¥­¨¿).—¥°¥§ ¬¥²°¨ª³ ² ª¦¥ ¥±²¥±²¢¥­­® § ¯¨±»¢ ¥²±¿ ¯«®¹ ¤¼ ¯®¢¥°µ­®±²¨.’ ª ª ª ¯«®¹ ¤¼ ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ «®ª «¼­»¬ ±¢®©±²¢®¬ ¯®¢¥°µ­®±²¨, ­ ¬ ­ ¤®¡»²¼ ¡®«¥¥ ªª³° ²­»¬¨ ¢ ¤ «¼­¥©¸¨µ ¯®±²°®¥­¨¿µ. ³±²¼ § ¤ ­ °¥£³«¿°­ ¿ ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª ¿ ¯®¢¥°µ­®±²¼ r: ! R3, R2, (u1 = u; u2 = v) |ª®®°¤¨­ ²» ­ r, ¨ P 2 | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ²®·ª .

Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ (P)¯ ° ««¥«®£° ¬¬, ­ ²¿­³²»© ­ ¢¥ª²®°» ru1 (P); ru2 (P), ·¥°¥§ j(P)j |22®¢¥°µ­®±²¨. ¥°¢ ¿ ´³­¤ ¬¥­² «¼­ ¿ ´®°¬ ¥£® ¯«®¹ ¤¼. ’®£¤ ¯«®¹ ¤¼¾¥²±¿ ±«¥¤³¾¹ ¿ ¢¥«¨·¨­ :¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª®© ¯®¢¥°µ­®±²¨vol2(M) =Zj(P)j du1 du2:r ­ §»¢ -…±«¨ ru1 ¨ ru2 | ª ­®­¨·¥±ª¨© ¡ §¨± ¢ ²®·ª¥ P, ²® (P) = [ru1 ; ru2 ],¯®½²®¬³Zvol2 (M) = [ru1 ; ru2 ] du1 du2:„°³£³¾ § ¯¨±¼ ¯«®¹ ¤¨ ¯®¢¥°µ­®±²¨ ¬®¦­® ¯®«³·¨²¼ ² ª.  ¯®¬­¨¬,·²® ¯«®¹ ¤¼ ¯ ° ««¥«®£° ¬¬ ° ¢­ ª¢ ¤° ²­®¬³ ª®°­¾ ¨§ ®¯°¥¤¥«¨²¥«¿¬ ²°¨¶» ƒ° ¬ ±¨±²¥¬» p¢¥ª²®°®¢, ¯®°®¦¤ ¾¹¨µ½²®² ¯ ° ««¥«®£° ¬¬.p’ ª¨¬ ®¡° §®¬, j(P)j = det(gij ) = EG ; F 2. Ž¯°¥¤¥«¨²¥«¼ ¬ ²°¨¶»(gij ) ®¡»·­® ®¡®§­ · ¥²±¿ ·¥°¥§ g.

’ ª¨¬ ®¡° §®¬,Z pZ p12g du du =EG ; F 2 du dv:vol2(M) =‘«¥¤³¾¹¥¥ ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ ¤®ª §»¢ ¥²±¿ ¯® ­ «®£¨¨ ± ¯°¥¤«®¦¥­¨¥¬ 1.1.°¥¤«®¦¥­¨¥ 3.1 «®¹ ¤¼ ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª®© ¯®¢¥°µ­®±²¨ ­¥ ¬¥­¿¥²±¿¯°¨ § ¬¥­¥ ¯ ° ¬¥²°¨§ ¶¨¨.’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¨¬¥¥² ±¬»±« £®¢®°¨²¼ ® ¯«®¹ ¤¨ ¯®¢¥°µ­®±²¨, ¯®­¨¬ ¿¯®¤ ­¥© ¯«®¹ ¤¼ ¯°®¨§¢®«¼­®£® ¯°¥¤±² ¢¨²¥«¿ ½²®© ¯®¢¥°µ­®±²¨.®¢¥°µ­®±²¨.

¥°¢ ¿ ´³­¤ ¬¥­² «¼­ ¿ ´®°¬ 23‡ ¤ ·¨ ª «¥ª¶¨¨ 3‡ ¤ · 3.1 ‘®±² ¢¨²¼ ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª®¥ ³° ¢­¥­¨¥ ¯®¢¥°µ­®±²¨, ®¡° -§®¢ ­­®© ª ± ²¥«¼­»¬¨ ª ¤ ­­®© ª°¨¢®© = (u). ’ ª ¿ ¯®¢¥°µ­®±²¼­ §»¢ ¥²±¿ ° §¢¥°²»¢ ¾¹¥©±¿ ¯®¢¥°µ­®±²¼¾. ˆ±±«¥¤®¢ ²¼ ° §¢¥°²»¢ ¾¹³¾±¿ ¯®¢¥°µ­®±²¼ ­ °¥£³«¿°­®±²¼.Oz ¢° ¹ ¥²±¿ ¯«®±ª ¿ ª°¨¢ ¿ x = f(v), z = g(v).‘®±² ¢¨²¼ ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨¥ ³° ¢­¥­¨¿ ¯®¢¥°µ­®±²¨ ¢° ¹¥­¨¿.  ±±¬®²°¥²¼ · ±²­»© ±«³· ©, ª®£¤ ¬¥°¨¤¨ ­ § ¤ ­ ³° ¢­¥­¨¥¬ x = f(z).‡ ¤ · 3.2 ‚®ª°³£ ®±¨‡ ¤ · 3.3 °¿¬ ¿ ¤¢¨¦¥²±¿ ¯®±²³¯ ²¥«¼­® ± ¯®±²®¿­­®© ±ª®°®±²¼¾,¯¥°¥±¥ª ¿ ¤°³£³¾ ¯°¿¬³¾ ¯®¤ ¯°¿¬»¬ ³£«®¬, ¨ ®¤­®¢°¥¬¥­­® ° ¢­®¬¥°­®¢° ¹ ¥²±¿ ¢®ª°³£ ½²®© ¯°¿¬®©. ‘®±² ¢¨²¼ ³° ¢­¥­¨¥ ¯®¢¥°µ­®±²¨, ª®²®°³¾ ®¯¨±»¢ ¥² ¤¢¨¦³¹ ¿±¿ ¯°¿¬ ¿ (¯°¿¬®© £¥«¨ª®¨¤).‡ ¤ · 3.4 ‘®±² ¢¨²¼ ³° ¢­¥­¨¥ ¯®¢¥°µ­®±²¨, ®¡° §®¢ ­­®© ¢° ¹¥­¨¥¬²° ª²°¨±±» v (v) = a lntg 4 + 2 ; a sin v; a cos v¢®ª°³£ ¥¥ ±¨¬¯²®²» (¯±¥¢¤®±´¥° ).‡ ¤ · 3.5 ‚»·¨±«¨²¼ ¯¥°¢³¾ ´³­¤ ¬¥­² «¼­³¾ ´®°¬³ ¤«¿ ¯®¢¥°µ­®±²¨,§ ¤ ­­®© ­¥¿¢­®© ´³­ª¶¨¥©F(x; y; z).‡ ¤ · 3.6 ‚»·¨±«¨²¼ ¯¥°¢³¾ ª¢ ¤° ²¨·­³¾ ´®°¬³ ±«¥¤³¾¹¨µ ¯®¢¥°µ-­®±²¥©:1)2)3)r(u; v) = (a cos u cos v; a sin u cos v; a sin v) (±´¥° );r(u; v) = (a cos u cos v; b sin u cos v; c sinv) (½««¨¯±®¨¤ );r(s; ) = (s)+ e(s) («¨­¥©· ² ¿ ¯®¢¥°µ­®±²¼ ), £¤¥ (s) | ­ ²³° «¼­®¯ ° ¬¥²°¨§®¢ ­­ ¿ °¥£³«¿°­ ¿ ª°¨¢ ¿, e(s) | £« ¤ª®¥ ±¥¬¥©±²¢®¥¤¨­¨·­»µ ¢¥ª²®°®¢;4);r(u; v) = f(v) cos u; f(v) sin u; g(v) (¯®¢¥°µ­®±²¼ ¢° ¹¥­¨¿ ).‡ ¤ · 3.7 ¥°¢ ¿ ª¢ ¤° ²¨·­ ¿ ´®°¬ ¯®¢¥°µ­®±²¨ ¨¬¥¥² ¢¨¤ds2 = du2 + (u2 + a2 )dv2 :1)  ©²¨ ¯¥°¨¬¥²° ª°¨¢®«¨­¥©­®£® ²°¥³£®«¼­¨ª , ®¡° §®¢ ­­®£® ¯¥°¥±¥-·¥­¨¥¬ ª°¨¢»µu = 12 av2 ; v = 1:24®¢¥°µ­®±²¨.

¥°¢ ¿ ´³­¤ ¬¥­² «¼­ ¿ ´®°¬ 2)  ©²¨ ³£«» ½²®£® ª°¨¢®«¨­¥©­®£® ²°¥³£®«¼­¨ª .3) ‚»·¨±«¨²¼ ¯«®¹ ¤¼ ²°¥³£®«¼­¨ª , ®¡° §®¢ ­­®£® ¯¥°¥±¥·¥­¨¥¬ ª°¨¢»µu = av; v = 1:‡ ¤ · 3.8  ©²¨ ­ ¯®¢¥°µ­®±²¨px = u cos v; y = u sin v; z = a ln(u + u2 ; a2)ª°¨¢»¥, ¯¥°¥±¥ª ¾¹³¾ ª ¦¤³¾ ª°¨¢³¾(«®ª±®¤°®¬¨¨).v = const ¯®¤ ¯®±²®¿­­»¬ ³£«®¬ ®¢¥°µ­®±²¨. ‚²®° ¿ ´³­¤ ¬¥­² «¼­ ¿ ´®°¬ ‹¥ª¶¨¿ 4.25®¢¥°µ­®±²¨. ‚²®° ¿ ´³­¤ ¬¥­² «¼­ ¿ ´®°¬ ³±²¼ M | °¥£³«¿°­ ¿ ¯®¢¥°µ­®±²¼ ¢ R3, ¨ P 2 M | ­¥ª®²®° ¿ ¥¥ ²®·ª .Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ n ®¤¨­ ¨§ ¤¢³µ ¥¤¨­¨·­»µ ¢¥ª²®°®¢, ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­»µª ± ²¥«¼­®© ¯«®±ª®±²¨ TP M, ².¥. ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­»µ ¯®¢¥°µ­®±²¨ M. ³±²¼(t) | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ª°¨¢ ¿, «¥¦ ¹ ¿ ­ M ¨ ² ª ¿, ·²® (0) = P , ¨ |¢¥ª²®° ±ª®°®±²¨ _ (0) ª°¨¢®© ¢ ²®·ª¥ P .

Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ Q() ¢¥«¨·¨­³h; ni.³±²¼ r(u; v) | ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª®¥ § ¤ ­¨¥M, ¨;¯³±²¼; ¯®¢¥°µ­®±²¨ ª°¨¢ ¿ § ¤ ¥²±¿ ¢ ª®®°¤¨­ ² µ (u; v) ² ª: u(t); v(t) . ’®£¤ = u;_ v_ , ¨ = (ru u_ + rv v_ ): = ruuu_ 2 + 2ruv u__ v + rvv v_ 2 + ru u + rv v;¯®½²®¬³Q() = h; ni = hruu ; niu_ 2 + 2hruv ; niu__ v + hrvv ; ni v_ 2 ;¯®±ª®«¼ª³ hru ; ni = hrv ; ni = 0.’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢¥«¨·¨­ Q() § ¢¨±¨² ­¥ ®² ª®­ª°¥²­®£® ¢¨¤ ª°¨¢®© , «¨¸¼ ®² ¢¥ª²®° ±ª®°®±²¨ , ¨ ¿¢«¿¥²±¿ ª¢ ¤° ²¨·­®© ´®°¬®© ®²ª®®°¤¨­ ² ¢¥ª²®° .Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. Š¢ ¤° ²¨·­ ¿ ´®°¬ Q() ®² ª®®°¤¨­ ² ª ± ²¥«¼­»µ ¢¥ª²®°®¢ ¨§ TP M ­ §»¢ ¥²±¿ ¢²®°®© ´³­¤ ¬¥­² «¼­®© ´®°¬®© ¨«¨ ¢²®°®©ª¢ ¤° ²¨·­®© ´®°¬®© ¯®¢¥°µ­®±²¨ M ¢ ²®·ª¥ P (¯® ®²­®¸¥­¨¾ ª ­®°¬ «¨n).Ž²¬¥²¨¬, ·²® ¥±«¨ § ¬¥­¨²¼ n ­ ;n, ²® ¢²®° ¿ ´³­¤ ¬¥­² «¼­ ¿ ´®°¬ ¨§¬¥­¨² §­ ª.®«®¦¨¬ L = hruu; ni, M = hruv ; ni, N = hrvv ; ni.

® ­ «®£¨¨ ±®±«³· ¥¬ ¬¥²°¨ª¨, ¢²®° ¿ ´³­¤ ¬¥­² «¼­ ¿ ´®°¬ ¬®¦¥² ¡»²¼ § ¯¨± ­ ¢ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¬ ¢¨¤¥:d2 = L du2 + 2M du dv + N dv2 :L MŒ ²°¨¶ MN ­ §»¢ ¥²±¿ ¬ ²°¨¶¥© ¢²®°®© ´³­¤ ¬¥­² «¼­®© ´®°¬».°¨¢¥¤¥¬ ¯°¨¬¥°» ¢»·¨±«¥­¨¿ ¢²®°®© ´³­¤ ¬¥­² «¼­®© ´®°¬».³±²¼ ¯®¢¥°µ­®±²¼ § ¤ ­ ¢ ¢¨¤¥ £° ´¨ª z = f(x; y). ’®£¤ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥¥ ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª®¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥ ¨¬¥¥² ¢¨¤;r = x; y; f(x; y) ; rx = (1; 0; fx); ry = (0; 1; fy );rxx = (0; 0; fxx); rxy = (0; 0; fxy); ryy = (0; 0; fyy);(;fx ; ;fy ; 1) ;n = [rx; ry ] = q[rx; ry ]1 + fx2 + fy2®¢¥°µ­®±²¨. ‚²®° ¿ ´³­¤ ¬¥­² «¼­ ¿ ´®°¬ 26¨, §­ ·¨², ¬ ²°¨¶ ¢²®°®© ´³­¤ ¬¥­² «¼­®© ´®°¬» ¢»£«¿¤¨² ² ª:fxy :q 12 2 ffxx1 + fx + fy xy fyy“¯° ¦­¥­¨¥ 4.1 ‚»·¨±«¨²¼ ¢²®°³¾ ´³­¤ ¬¥­² «¼­³¾ ´®°¬³ ¤«¿ ¯®-¢¥°µ­®±²¨, § ¤ ­­®© ­¥¿¢­®© ´³­ª¶¨¥©F (x; y; z).—²®¡» ¢»¿±­¨²¼, ª ª®© £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨© ±¬»±« ¨¬¥¥² ¢²®° ¿ ´³­¤ ¬¥­² «¼­ ¿ ´®°¬ , ¤ ¤¨¬ ­¥±ª®«¼ª® ¯°¥¤¢ °¨²¥«¼­»µ ®¯°¥¤¥«¥­¨©.³±²¼ | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ¯°®µ®¤¿¹ ¿ ·¥°¥§ P 2 M ¯«®±ª®±²¼, ®²«¨·­ ¿®² TP M.

¥±«®¦­® ¯®ª § ²¼, ·²® ¯¥°¥±¥ª ¥² ¯®¢¥°µ­®±²¼ M ®ª®«® ²®·ª¨P ¯® ­¥ª®²®°®© °¥£³«¿°­®© ª°¨¢®© . Š ¦¤ ¿ ² ª ¿ ª°¨¢ ¿ ­ §»¢ ¥²±¿¯«®±ª¨¬ ±¥·¥­¨¥¬, ¯°®µ®¤¿¹¨¬ ·¥°¥§ P. …±«¨ ¯«®±ª®±²¼ ¯°®µ®¤¨² ·¥°¥§­®°¬ «¼ n ª ¯®¢¥°µ­®±²¨ M ¢ ²®·ª¥ P, ²® ¯«®±ª®¥ ±¥·¥­¨¥ ­ §»¢ ¥²±¿­®°¬ «¼­»¬. …±«¨ t | ¯°®¨§¢®«¼­»© ¯ ° ¬¥²° ­ , ² ª®© ·²® (0) = P ,²® ¡³¤¥¬ £®¢®°¨²¼, ·²® ±¥·¥­¨¥ ¯°®¢¥¤¥­® ¢ ­ ¯° ¢«¥­¨¨ _ (0).’¥®°¥¬ 4.1 (Ž¡ ®²­®¸¥­¨¨ 1-®© ¨ 2-®© ´³­¤ ¬¥­² «¼­»µ ´®°¬)³±²¼ 2 TP M | ¯°®¨§¢®«¼­»¥ ­¥­³«¥¢®© ¢¥ª²®°, | ¯«®±ª®¥ ±¥·¥­¨¥,¯°®¢¥¤¥­­®¥ ·¥°¥§ P ¢ ­ ¯° ¢«¥­¨¨ , ¨ k | ª°¨¢¨§­ ±¥·¥­¨¿ ¢ ²®·ª¥P .

’®£¤ ¨«¨ k ¨ Q() ®¤­®¢°¥¬¥­­® ° ¢­» ­³«¾, ¨«¨Q() ;k cos = G()£¤¥ | ³£®« ¬¥¦¤³ £« ¢­®© ­®°¬ «¼¾ m ª ±¥·¥­¨¾ ¨ ­®°¬ «¼¾ n ª ¯®¢¥°µ­®±²¨ M ¢ ²®·ª¥ P (­ ¯®¬­¨¬, ·²® ¢²®° ¿ ´³­¤ ¬¥­² «¼­ ¿ ´®°¬ ¢»·¨±«¿¥²±¿ ¯® ®²­®¸¥­¨¾ ª n).“±«®¢¨¥ k = 0 ° ¢­®±¨«¼­® «¨­¥©­®© § ¢¨±¨¬®±²¨ ¢¥ª²®°®¢ _ ¨ , ¯®±«¥¤­¥¥ ³±«®¢¨¥ ° ¢­®±¨«¼­® ²®¬³, ·²®  «¥¦¨² ¢ ª ± ²¥«¼­®© ¯«®±ª®±²¨ TP M (² ª ª ª § ¤ ¾¹ ¿ ¯«®±ª®±²¼ ­¥ ±®¢¯ ¤ ¥² ¢TP M).

‡­ ·¨², ³±«®¢¨¥ k = 0 ° ¢­®±¨«¼­® ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­®±²¨ ¢¥ª²®°®¢ ¨ n, ·²®, ¢ ±¢®¾ ®·¥°¥¤¼, ° ¢­®±¨«¼­® ³±«®¢¨¾ Q() = 0. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬,¯¥°¢ ¿ ¢®§¬®¦­®±²¼ ° ±±¬®²°¥­ . ±±¬®²°¨¬ ²¥¯¥°¼ ±«³· © k 6= 0. ‚±¯®¬­¨¬, ·²® ª ¦¤ ¿ ª¢ ¤° ²¨·­ ¿´®°¬ ®¤­®°®¤­ ±²¥¯¥­¨ 2, ¯®½²®¬³ Q() = 2 Q() ¨ G() = 2 G()¤«¿ «¾¡»µ ¢¥ª²®° 2 TP M ¨ ·¨±« . ®½²®¬³; Q() = Q;=k k ;G() G =k k¨, §­ ·¨², ²¥®°¥¬³ ¤®±² ²®·­® ¤®ª § ²¼ «¨¸¼ ¤«¿ ¥¤¨­¨·­»µ ¢¥ª²®°®¢ .„®ª § ²¥«¼±²¢®.®¢¥°µ­®±²¨. ‚²®° ¿ ´³­¤ ¬¥­² «¼­ ¿ ´®°¬ 27‚»¡¥°¥¬ ­ ª°¨¢®© ­ ²³° «¼­»© ¯ ° ¬¥²° s, ² ª®© ·²® (0) = P ,_ (0) = , ²®£¤  (0) = k m, G() = 1 ¨Q() = (0); n = hk m; ni = k hm; ni = k cos ;G()·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼.…±«¨ ¢ ²¥®°¥¬¥ 4.1 ¢ ª ·¥±²¢¥ ¢»¡° ²¼ ¯«®±ª®¥ ­®°¬ «¼­®¥ ±¥·¥­¨¥,²® ¢¥ª²®°» m ¨ n ®ª ¦³²±¿ ª®««¨­¥ °­», ¯®½²®¬³ cos = 1, £¤¥ \+1"¯®«³· ¥²±¿ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ n | £« ¢­ ¿ ­®°¬ «¼ ª .

’ ª¨¬®¡° §®¬, ¬» ¤®ª § «¨‘«¥¤±²¢¨¥ 4.1 ‡­ ·¥­¨¥ Q() ¢²®°®© ´³­¤ ¬¥­² «¼­®© ´®°¬» Q ¯®¢¥°µ­®±²¨ M ­ ¥¤¨­¨·­®¬ ¢¥ª²®°¥ 2 TP M ° ¢­® ¯«¾± ¨«¨ ¬¨­³± ª°¨¢¨§­¥k ¯«®±ª®£® ­®°¬ «¼­®£® ±¥·¥­¨¿ , ¯°®¢¥¤¥­­®£® ·¥°¥§ P ¢ ­ ¯° ¢«¥­¨¨ . °¨ ½²®¬ §­ ª \¯«¾±" ¢»¡¨° ¥²±¿ ²®£¤ ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ n¿¢«¿¥²±¿ £« ¢­®© ­®°¬ «¼¾ ±¥·¥­¨¿ . ‚ · ±²­®±²¨, k = Q().Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ n ¯«®±ª®¥ ­®°¬ «¼­®¥ ±¥·¥­¨¥, ¯°®¢¥¤¥­­®¥ ·¥°¥§ P¢ ­ ¯° ¢«¥­¨¨ , ¨ ¯³±²¼ kn | ª°¨¢¨§­ ±¥·¥­¨¿ n ¢ ²®·ª¥ P . °¨¢®¤¨¬®¥­¨¦¥ ±«¥¤±²¢¨¥ ¨§ ²¥®°¥¬» 4.1 ­ §»¢ ¥²±¿ ²¥®°¥¬®© Œ¥­¼¥.‘«¥¤±²¢¨¥ 4.2 (Œ¥­¼¥) ³±²¼ 2 TP M | ­¥­³«¥¢®© ¢¥ª²®°, ¨ n| ¯«®±ª®¥ ±¥·¥­¨¥ ¨ ¯«®±ª®¥ ­®°¬ «¼­®¥ ±¥·¥­¨¥, ¯°®¢¥¤¥­­»¥ ·¥°¥§ P ¢®¤­®¬ ¨ ²®¬ ¦¥ ­ ¯° ¢«¥­¨¨ . ’®£¤ ¨«¨ ®¤­®¢°¥¬¥­­® k = 0 ¨ kn =0, ¨«¨ k = kn = cos , £¤¥ | ³£®« ¬¥¦¤³ £« ¢­»¬¨ ­®°¬ «¿¬¨ m ¨ n ª±¥·¥­¨¿¬ ¨ n ±®®²¢¥²±²¢¥­­®.„®ª § ²¥«¼±²¢®.

‘«³· © k = 0 ° §¡¨° ¥²±¿ ² ª ¦¥, ª ª ¨ ¢ ¤®ª § ²¥«¼±²¢¥ ²¥®°¥¬» 4.1.³±²¼ ²¥¯¥°¼ k 6= 0. ‚»¡¥°¥¬ ¢ ª ·¥±²¢¥ n £« ¢­³¾ ­®°¬ «¼ ª ¯«®±ª®¬³­®°¬ «¼­®¬³ ±¥·¥­¨¾ n . ® ²¥®°¥¬¥ 4.1,Q() = k cos 0 = k ;k cos = G()nn·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼.„ «¥¥, ¨±¯®«¼§³¥¬ ²¥®°¥¬³ ® ¯ °¥ ª¢ ¤° ²¨·­»µ ´®°¬ ¨§ «¨­¥©­®© «£¥¡°» ¤«¿ ²®£®, ·²®¡» ¢»¡° ²¼ ¢ ª ± ²¥«¼­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ ¡ §¨±,¢ ª®²®°®¬ ¯¥°¢ ¿ ¨ ¢²®° ¿ ´³­¤ ¬¥­² «¼­»¥ ´®°¬» ¡³¤³² ¨¬¥²¼ ­ ¨¡®«¥¥¯°®±²®© ¢¨¤. ‚ ­ ¸¥¬ ±«³· ¥ ¢ ª ·¥±²¢¥ ´®°¬ ¢®§¼¬¥¬ ¯¥°¢³¾ ´³­¤ ¬¥­² «¼­³¾ ´®°¬³ G, ¿¢«¿¾¹³¾±¿ ­¥¢»°®¦¤¥­­®© ¨ ¯®«®¦¨²¥«¼­® ®¯°¥¤¥«¥­­®©, ¨ ¢²®°³¾ ´³­¤ ¬¥­² «¼­³¾ ´®°¬³ Q. ’®£¤ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®©®°²®­®°¬ «¼­»© ¡ §¨± ®²­®±¨²¥«¼­® ±ª «¿°­®£® ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿, ¯®°®¦¤¥­­®£® ¬¥²°¨ª®© G, ¢ ª®²®°®¬ ¬ ²°¨¶ ª¢ ¤° ²¨·­®© ´®°¬» Q ¤¨ £®­ «¼­ .®¢¥°µ­®±²¨. ‚²®° ¿ ´³­¤ ¬¥­² «¼­ ¿ ´®°¬ 28Š ª ­ ©²¨ ² ª®© ¡ §¨± ¨ ¤¨ £®­ «¼­»¥ ½«¥¬¥­²» i ¬ ²°¨¶» Q ¢ ½²®¬¡ §¨±¥? ˆ§ ª³°± «¨­¥©­®© «£¥¡°» ½²® µ®°®¸® ¨§¢¥±²­®. ¯®¬­¨¬, ·²® i ¿¢«¿¾²±¿ ±®¡±²¢¥­­»¬¨ ·¨±« ¬¨ ¬ ²°¨¶» G;1Q.ª¢¨¢ «¥­²­»© ±¯®±®¡ ¢»·¨±«¨²¼ ·¨±« i | °¥¸¨²¼ ³° ¢­¥­¨¥ det(Q ;G) = 0 ®²­®±¨²¥«¼­® : °¥¸¥­¨¿ ½²®£® ³° ¢­¥­¨¿ ¨ ¡³¤³² ·¨±« i .

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