Феодосьев В.И. - Десять лекций-бесед по сопротивлению материалов, страница 27

Применение электронно-цифровых машин стирает эту грачь и в некоторых случаях оценка сложности может оказаться противоположной. Но достаточно1 Все, что можно было сказать о ~~комфортабельности» машины, по-видимому, сказано. А какова ее <шроходимость»? Таким ли уже гладким и беспрепятствечным будет путь на машине? Освобождает ли нас машина от необходимости владеть аналитическим аппаратом? И, наконец, всегда ли обращение к машине символизирует нечто передовое и прогрессивное? Конечно же, нет! Одно дело — говорить о пользе машины и не знать, с какой стороны подойти к пульту, и совсем другое — трезво и органически связать свой научный поиск с возможностями существующих машин.

Часто, к сожалению, наиболее общие суждения о машинной технике, о ее месте в науке и вообще в жизни человеческого общества высказываются людьми весьма ~оверхпостно знакомыми с машинной техникой, с жизнью вычислительных центров и с атмосферой творческого поиска. Именно в этих кругах в свое время были созданы предпосылки для непонимания кибернетики. Сейчас, к счастью, от тех времен сохранилась только рудиментарная формула: юмашина — это, конечно, хорошо, но человек был и всегда остается умнев ее».

Не следует здесь говорить о том, какие функции человеческого мозга можно будет возложить на машину в дальнейшем. Важнее сейчас нв возлагать на нее того, что ей пока нв свойственно. Есть много действительно серьезных, по-настоящему захватывающих проблем, над которыми работают сейчас тысячи ученых. Это — и проблема распознавания образа, и обработка информации, лингвистические проблемы и многие другие. Наша задача скромнее. Посмотрим, какие трудности возникают перед машиной в сфере механики деформируемых систем. А таких трудностей достаточно.

Машина не 156 все может. Возника1от ситуации, когда машину приходится провалить «па руках», а порой просто отказываться от ее Рис. 105. помощи. Связано это прежде всего с существованием особых точек. Рассмотрим простейшие примеры. На рис. 105 показана осесимметричная защемленная пластина. Для того чтобы задача выглядела посложнее, толщина пластины Ь предполагается кусочно-постоянной. В случае а) пластина нагружена равномерно распределенной нагрузкой р, а в случае б) — сосредоточенной силой Р, приложенной в центре. Требуется определить форму упругой поверхности. Дифференциальное уравнение пластины в обоих случаях нагруженпя имеет вид аь «в о р д,г~+ г ~~г г.~ Й' Здесь Π— угол поворота нормали, определяемый производной б=йсЯг, где и> — перемещение вдоль оси; далее, Ы2 — 12 (1 Р,2) (В есть жесткость на изгиб, а Ц вЂ” поперечная сила).

В первом случае нагружения а во втором Уравиение (3) численно интегрируется на машине. Для того, чтобы не отвлекаться от существа поставленного вопроса, не будем приводить уравнения к безразмерной форме, что вообще всегда желательно, если не необходимо. Не будам также прибегать к наиболее удобному для машины методу интегрирования по Рунге — Кутта, а обратимся к простейшему интегрированию по Зйлеру. Для зтого обозначим и представим уравнение (3) в виде двух уравнений, напи- санных в конечно-разностной форме: Процедура решения зтих уравнений представляется очевидной. Разбивая отрезок В на достаточно большое число участков, выбираем величину Лг.

При г=О угол О=О, а величина з= за остается неопределенной. Зададимся атой величиной. Затем, подставляя ~ и д, полученные на предыдущем шаге, в выражения (4) и (5), находим новые Ьг и Лб. Когда величина г достигнет значения В, мы должны получить 6=0. При произвольном значении выоранного я, етого, естественно, не произойдет. Придется подбирать новое з до тех пор, пока условие на контуре не будет выполнено. Казалось бы, все ясно.

А как быть с особой точкой г= О? Иа первом шаге выражение (4) принимает вид Но г, и б, равны нулю. Рассмотрим отношение д/г и, пере- ходя к пределу, получим о,/га —— га. Следовательно, В первом случае нагружения ~),= О и Ля,= О. Можно интегрировать дальше. Особенность в точке устранена, и машина из затруднительного положения выведена, Во втором случае нагружвния Р Ил~ и при г, стремящемся к пулю, Д обращается в бесконечность.

Величина Лз, (формула (6)~ становится неопределенной, и в начальной точке сохраняется неустранимая особенность. Помочь машине в атом случае тоже можно, но сделать зто надо на более ранней стадии, а именно при выборе расчетной схемы. Сосредоточенная сила представляет Рис. $08. собой понятие, свойственное только расчетной схеме.

Если мы пользуемся методами математического анализа, то введение сосредоточенной силы, как правило, упрощает задачу. Для машины, по крайней мере в данном случае, зто оказалось плохой услугой. Распределим равномерно силу Р на маленьком участке радиуса а вблизи центра пластины. В результате получаем измененную расчетную схему (рис. 106). Теперь интегрирование уравнений на машине не встречает никаких принципиальных трудностей. Можно сказать, что зто — ужв другая аадача. Правильно. Но что понимать под задачвМ Расчет конструкции или аналиа заданной расчетной схемы3 В данном случае имеется в виду расчет конструкции, о чем и ведется раагонор.

При определении перемещений схема, покааанная на рис. 105, б, и схема, показанная на рис. 106, совершенно равноценны. Что касается аакона распределения напряжений вблизи центра пластины, то ни та, ни другая схема не отражают свойств реальной конструкции, если только специально не установлен местный закон распределения внешних сил. Обход трудностей, связанных с наличием особых точек, далеко не всегда выглядит так просто, как в рассмотренном примере. И рекомендовать здесь какие-либо универсальныо приемы очень трудно.

Решение в таких случаях должно строиться на умелом сочетании аналитических методов и машинного счета. Использование машины, как видим, заранее предопределяет необходимость изменений расчетной схемы, а в ряде случаев заставляет иначе интерпрвтировать и вопрос о надежности конструкции.

И в этом нетрудно убедиться. Всем, например, хорошо известен метод сил, используемый при раскрытии статической неопределимости. Трудности этой задачи возрастают с увеличением числа неизвестных. Применение быстродействующих машин резко расширяет возможности расчета. Сейчас нв представляет труда определить усилия и моменты в узлах 200 †3 раз статически неопределимой системы. Для этого выработаны приемы быстрого подсчета коэффициентов канонических уравнений и составлены удобные алгоритмы для определения неизвестных.

Между тем следовало бы задуматься над тем, что здесь количество может перейти в качество. Действительно, считается как-то само собой разумеющимся, что раскрытие статической неопределимости производится прежде всего для выявления наиболвв опасных узлов, о состоянии которых можно судить по величинв возникающих напряжений. Но предположим, что напряжения в каком-то алементе и раз статически неопределимой рамы достигают предела текучести. Это означает, что снижается жесткость внутренней связи.

Одно дело, если и равно двум или трем, Тогда достижение предела текучести в одном из элементов можно рассматривать как ощутимый фактор в общей оценке надежности конструкции. Другое дело, если пластические деформации возникли в одном из элементов 200 или 300 раз статически неопределимой системы. Ту часть нагрузки, которую нв сможет взять на себя этот элемент, воспримут многие соседние. И не исключено, что можно терпимо отнестись к такому событию, как образование пластических деформаций в объеме одного из элементов или, тем болвв, в отдельных его точках. Эту же мысль можно высказать и другими словами. Напряжения в каждом отдельно взятом элементе при многократной статической нвопредвлимости должны рассмат- $69 риваться уже не как общие, а как местные по отношенпю к конструкции в целом.

Отсюда вытекает и соответствующее и ним отношение. Найденные таким способом напряжения, конечно, могут быть как-то использованы. Но в ряде случаев представляется более правомерным рассматривать систему, если это возможно, скорое как континуум (как сплошную среду) с введением условных осредненных напряжений. Как бы там ни было, но из сказанного ясно, что резкое расширение вычислительных возможностей и подходы к оценке надежности конструкции связаны между собой. Всегда было известно, что для численного решения краевая задача представляет ббльшпе трудности, чем задача Коши, Но с широким внедрением электронно-цифровых машин граница между особенностями решений эгих Рис.

107. задач обозначилась особенно резко. Покажем это на прп;и ре двух простейп|их задач. П е р в а я з а д а ч а. Определить форму упругой линии однородного стержня при продольно-поперечном пзгибе (рис. 107, а), В т о р а я з а д а ч а. Определить закон движения присоединенной к пружине массы т под действием неко~орой внеп|ней силы Р (рис. 107, б). Решение обеих задач сводится к одному и тому же у равнению но с различным смысловым содержанием входящих в него величин. Для первой задачи у — перемещение балки в произвольном сечении, ~(х) — функция, отражающая закон б в.

и. ФООдОсьРВ изменения изгибающего момента от поперечной нагрузки, а где ЕУ вЂ” жесткость на изгиб. Для второй задачи у — перемещение массы в момент времени х; ~(х) — функция времени, характеризующая закон измепенпя внешней силы Р и, наконец, С ГР=— т ' где С вЂ” жесткость пружины. Как и в рассмотренном ранее примере с круглой пластиной, введем новое неизвестное я=у' При численном интегрировании этой системы сразу обнаруживается сушественное различие между обеими зада.

чами. Первая задача — краевая. Функция у должна удовлетворять условиям р„,=о и 1„,=0 Вторая задача является задачей Коши. Здесь задаются начальные условия. Например, в начальный момент времени, т. е. при х=О у=О и у'=я=О. Проводя процедуру интегрирования системы (8), полагаем и для той и для другой задачи у„,=О. Что же касается величины з„то в первом случае она должна быть подобрана так, чтобы при х=1 перемещение у обратилось в нуль.

Достигается это путем нескольких проб. Во второй задаче величина г при х=О задана, и функция у('-х) определяется уже после первого интегрирования. Таким образом, для машины краевая задача оказывается сложнее, чем задача Коши. Конечно, в данном конкрет- и заменим уравнение (7) двумя конечно-разностными урав- нениями ном случае зту сложность не следует принимать всерьез. Рассмотренные примеры являются всего-навсего моделью, лллллострирулощей различие между двумя типами задач. Но факт остается фактом.