Феодосьев В.И. - Десять лекций-бесед по сопротивлению материалов, страница 24

Сюда относится прежде всего задача об устойчивости сжатого стержня. На рис. 98 показана зависимость прогиба стержня ~ от осевой силы Р для нескольких значений стрелы начального прогиба ~„. Случаю идеального стержня соответствует кривая ~ = О. При ~о „-й О понятие критической силы теряет смысл. Это понятие свойственно только идеальной схеме, Для практических расчетов необходимо, очевидно, установить величину предельно допустимого прогиба ~рис. 98). Соответственно атому прогибу для каждого ~ может быть указано определенное значение силы Р„„„. Назовем зту силу силой выпучивания.

Понятно, что сила выпучивания представляет собой условное понятие, характеризующее такое состояние системы, при котором начинается быстрое нарастание перемещений. Практически расчет по силе выпучивания наталкивается на большие трудности в связи с тем, что начальный прогиб ~о неизвестен и относится к категории более или менее случайных величин. При атом правильнее даже говорить не о самом прогибе ~р, а вообще о каком-то среднем уровне начальных несовершенств. Для сжатых стержней учитывать етй несовершенства не обязательно, поскольку в пределах практически встречающихся отступлений от расчетной схемы сила выпучивания сравнительно мало отличается от критической силы.

По величине последней без особых погрешностой и может быть произведен расчет. Однако можно привести много примеров, когда нормально допустимые в производстве отклонения от номинальных размеров приводят к существенному сниженного сил выпучивания по сравнению с критическими нагрузками, найденными в пределах классического подхода. К числу таких задач относятся в нерву~о очередь задачи об устойчивости сферической оболочки, находящейся под действием внешнего„давления и цилиндрической оболочки, сжатой н осевом направлении.

Зависимость между осевой силой Р и прогибом оболочки (безразлично какой — сферической или цилиндрической) для нескольких значений начальной величины отклонения имеет вид кривых, показанных на рис. 99. В отличие от аналогичных кривых, построенных для сжатого стержня, величина усилия выпучивания Р, „резко зависит от ~, и оказывается существенно меньшей, чем Р р Яак для сферической, так и для цилиндрической оболочки классическая теория дает о„= 0,606 Š—, где Ь вЂ” толщина, а  — радиус оболочки. Многократно проведенные опыты показали, что осевое напряжение, соответствующее началу выпучинания, имеет 141 велпчину, в 3 — 4 раза меньшую критического напряжения.

Т'ак, для цилиндрической оболочки а,„„(0,15 —;0,25)Š—, (10) а для сферической— о,„„(0,12 — , '0,16)Š—, (11) Возникающие расхождения слишком велики и слишком систематичны„чтобы их можно было объяснить случайными причинами. Довольно скоро стало ясно, что устранить эту невязку в рамках классического подхода невозможно. За последние десятилетия по мере расширения практических задач постепенно стали накапливаться и другие примеры аналогичных систем. Но, конечно, две упомянутые задачи являются не только типичными в этом смысле, но вместе с тем и наиболее важными с практической точки зрения. Возникает вопрос, как подойти к решению подобных задач. Необходимо, очевидно, менять сам подход и сформулировать какой-то новый критерий устойчивости.

Можно сохранить основное положение классической постановки и рассматривать систему как совершенную, но принять, что возмущения, налагаемые на систему, являются не бесконечно малыми, а малыми, но конечными. Б классической постановке определяются условия, при которых существуют формы равновесия, бесконечно близкие к исходной. При этом остается открытым вопрос о том, что будет, если системе сообщить болыпее отклонение. Может быть, существуют и другие формы равновесия, тоже близкие к исходной, но уже не сколь угодно близкие. Анализ этого вопроса стали называть, как утке говорилось, анализом устойчивости в большом.

Поскольку в этом подходе мы отказываемся от учета случайных отклонений от идеальной схемы, задача резко упрощается. В то же время она остается существенно более сложной, чем в классической постановке, так как теперь необходимо рассматривать большие перемещения, и уравнения равновесия получаются нелинейными.

Взамен семейства кривых, показанных на рис. 98 и 99, мы получаем одну кривую, соответствующую значению /,=0 (рнс. 100). Для сжатого стержня постановка в болыпом приводит, очевидно, к тем же результатам, что и классическая. Здесь 142 при Р <: Р„существует единственная форма равновесия стержня с прямой неискривленной осью. Для цилиндрической и сферической оболочек дело обстоит иначе. При некотором усилии Р ~ Р„р, возможно существование трех форм равновесия. Первая из них — это исходная форма без дополнительных прогибов (точка а на прямой ОА, рис. 100, б). В классическом понимании эта форма остается устойчивой до значений Р=Р,, Далее, имеется неустойчивая в том же классическом понимании форма (точка О на кривой АВ).

Наконец, точка с дает еще одну устойчивую форму равновесия. Р о Рис. 100. В интервале Р„,, Р ~ Р„,1 оболочка устойчива в классической постайовке (в малом), но неустойчива в больптом. Если системе сообщить достаточно малые возмущения, то она, будучи в дальнейшем предоставленной сама себе, вернется к исходной форме равновесия. Если же системе сообщить большее отклонение, то при достаточной величине возмущений она перейдет к новой устойчпвой форме равнонесия (точка с), расположенной за потенциальным барьером.

Таким образом, в результате анализа устойчивости в большом устанавливается интервал значений нагрузок, внутри которого, в зависимости от величины возмущений, возможен переход к новому состоянию, т. е. потеря устойчивости. При практических расчетах па этому критерию не остается ничего иного, как ориентироваться на нижнюю границу интервала нагрузок, в частности, для цилиндрической и сферической оболочек — на величину Р„р,. Эта величина носит название нижнего критического усилия.

В качестве примера можно привести целый ряд систем, которые не поддаются анализу с классических позиций, „'43 но поведение которых успешно может быть объяснено на основе критерия устойчивости в большом. Сюда относится задача об устойчивости сжатого между двумя плитами стержня, имеющего плоские торцы (рис. 101).

Переход к формам равновесия 1 и П должен анализироваться в большом, а переход к форме ХП можно анализировать в малом. Стержень, прижатый к жесткому основанию распределенными силами интенсивности д и с~кнмаемый продольной силой Р, всегда устойчив в малом, но при достаточно большой силе Р— неустойчив в большом (рис. 102). 'р у Рис. 102.

Рвс. 101, Рассмотренное ранее тонкое кольцо, стянутое по внешней поверхности гибким тросом (см. рис. 74), всегда устойчиво в малом. Однако начиная с некоторого значения силы Р оно становится неусгойчивым в большом. Первые шаги в области нелинейной устойчивости были весьма многообещающими. Б частности, для цилиндрической и сферической оболочек нижняя критическая нагрузка при первых же расчетах оказалась близко совпадающей с теми значениями предельных нагрузок, которые опредсля|отся из опыта. Это вначале дало повод думать, что в реальных условиях начальные несовершенства и случайные возмущения таковы, что переход к новым найденным формам равновесия практически реализуетса уже тогда, когда нагрузка достигает нижнего критического значения.

В дальнейшем, однако, обнаружилось, что это совсем пе так. Чем глубже проникали исследователи в сущность зтих задач и чем точнее проводилось решение, тем ни~ке опускалось расчетное значение нижней критической нагрузки. Например, для сферической оболочки значение нижнего критического лавления, найденное интегрированием на электронно-цифровой машине уравнений пологой оболочки в пределах осесимметричных форм равновесия, оказалось в 10 раз меньшим верхнего критического давления. Совершенно очевидным является существование осесимметричных форм равновесия при отрицательном давлении.

Мы имеем в виду форму равновесия, соответствующую вывернутой наизнанку сферической оболочке, Эта форма, естественно, может быть описана только уравнениями непологой оболочки. Более заметное снижение нижних критических нагрузок дадут, по-видимому, несимметричные формы равновесия.

При выполнении практических расчетов в этих условиях ориентация на нижнюю критическую нагрузку теряет всякий смысл. Интервал между верхним и нижним значениями критических нагрузок в ряде случаев настолько широк, что даже в самом первом приближении никого пе может удовлетворить. Таким образом, несмотря на то, что постановка устойчивости в большом сильно расширяет наши представления и многое объясняет, ее нельзя признать исчерпывающей.

Л в ряде случаев для практических расчетов она оказывается также неприемлемой, как и классическая постановка. Пронодя расчет по классической схеме, мы можем получить кригические нагрузки, существенно превышающие истинные нагрузки выпучивания. С другой стороны, если ориентироваться на низшую критическую нагрузку, подсчитанную в большом, то можно получить столь же большу1о ошибку, но другого знака. Поэтому на практике в подобных случаях предпочитают ориентироваться в основном на результаты эксперимента.

Так, в частности, обстоит дело с цилиндрической и сферической оболочками. В конечном итоге все упирается в один и тот же вопрос. к сколь существенным погрешностям приводит пренебрежение реально сущестнующими начальными несовершенствами? Если же эти несовершенства учитывать, то за этим незамедлительно следует ломка основных концепций, обеспечивающих современной теории устойчиности математическую строгость и определенность количественных оценок.

Вот почему так трудно решается этот вопрос в настоящее время. Но дело, конечно, пе только в этом. Ведь начальные несовершенства нам неизвестны. Они меняются в пределах некоторых допусков, установленных на основные технологические операции, и проследить за ними весьма не просто. Как и в вопросах прочности, не ионой является попытка направить исследования устойчивости в русло вероятностного подхода. Можно поставить задачу в пределах пренебрежимости начальными несовершенствами и рассматривать как вероятные только возмущения, сопутствующие процессу нагружения. Возможности такого подхода весьма ограничены. Имеется аналогия.