Феодосьев В.И. - Десять лекций-бесед по сопротивлению материалов, страница 26

Глубина совершенного переворота до сих пор далеко не всеми осознана. 'Еще и сейчас многие обращаются к машине только тогда, когда в процессе решения задачи обнаруживается большой объем вычислительной работы. Машина рассматривается при этом не более как техническое средство, родственное логарифмической линейке и арифмометру, но с несравненно более высокими характеристикамии.

Этот взгляд рожден силой привычки видеть решение задач механики в аналитической форме, когда операции с числами являются заключительными. Отсюда вытекает и стремление многих ученых не вникать в процесс программирования и перепоручать его инженерам-вычислителям и аспирантам.

Мы слишком привыкли к тому, что связь между величинами, характеризующими причины и следствия, лучше всего выражать при помощи формул,. вывод которых и представляет собой одну из форм научного поиска, В связи с этим особенно ценится искусство ученого„ умеющего найти надлежащую подстановку, понизить порялок уравнения или свести решение к табулированным функциям.

Но если взглянуть на вопрос с более общих позиций, то так ли уже много значит выносливость и искусство исследователя-землепроходца, умеющего находить незаметные таежные тропы, после того как на вооружение экспедиций взят вертолет? Понятно„что все положительные качества искателя в новых условиях технического прогресса сохраняются, но место им отводится уже другое.

Электронно-цифровая машина обладает столь высокой степенью быстродействия, что количество уже переходит в качество. Машина становится средством изучения явлений и возникает новая отрасль математики — машинный анализ. Естественно, что аналитический метод и метод машинного анализа не могут и не должны противопоставляться один другому. Они являются взаимопроникающими и дополняющими друг друга.

Тем не менее при решении практических задач механики и проектирования конструкций дальнейшее развитие цифровых машин уже в ближайшем будущем, несомненно, обеспечит машинному анализу доминирующее положение. Внедрение электронно-цифровых машин заставляет произвести переоценку многих привычных понятий. Всегда, например, считалось большой удачей, если решение уравнений сведено к табулированным функциям. 151 Яо машина в таблицах не нуждается, и это — большой шаг вперед.

Действительно, сколь далеко находится предел целесообразного табулирования3 Мы имеем прежде всего тригонометрические, показательные и гиперболические функции. Зто — функции, к которым мы обращаемся повседневно. Далее идут также широко применяемые в механике функции Бесселя и их различные модификации: Ьег ж, Ье1 ж, 1ег ж, 1~е1 х и др. При решении некоторых задач приходится иметь дело с таблицами эллиптических интегралов, таблицами эллиптических функций, сферических функций, с таблицами интегрального синуса и т. д.

Естественно, что с расширенпем круга решаемых задач возрастает число исследованных нтабулированных функций. Создается положение, при котором уже трудно не только знать сами функции, но трудно удержать в памяти пли искать в обобщающих справочниках, какие из этих функций табулировапы и притом — при каких значениях параметров.

Злектронно-цифровая машина освобождает нас от этого бремени. Для определения тригонометрических и показательных функций машина каждый раз наново производит вычисления по стандартной, заранее составленной программе. Что же касается уравнений, заведомо сводящихся к другим знакомым табулированным функциям, например, бесселевым, то обычно бывает проще запрограммировать решение по заданным начальным илп граничным условиям, чем подбирать подстановку и вырабатывать алгоритм для вычисления соответствующей бесселевой функции.

Еще недавно бывало так, что если ученый не заметил подходящей подстановки и не свел уравнение к табулированным функциям, то задача оставалась нерешенной. Теперь можно получить широкое обобщающее решение, даже не зная того, что совсем рядом находились изученные функции, носящие чье-то имя, кем-то кропотливо табулировавшиеся. Все зто, образно говоря, остается в нижнем археологическом слое. Соответственно меняется и отношение к искусству выбора подстановки, поскольку цели ее становятся другими.

Очень важно, например, свести уравнения к виду, имеющему наименьшее число параметров, чему предшествует обязательный перехол к безразмерной форме. Важна не простота написания уравнения и не легкость его визуального восприятия, а методическая простота составлнемого алгоритма. Для этого вовсе не обязательно, а в ряде случаев и не нужно исключать в системе неизвестные и сводить решение задачи к одному уравнению. Напротив, обычно более удобно бывает сохранить последовательность уравнений с несколькими неизвестными и возложить на машину операции подстановки от уравнения к уравнению. Машинные методы и, особенно, приемы программированин дчя человека со сложившимися научными взглядами образуют некоторый психологический барьер, для преодоления которого требуются определенные усилия.

Поэтому темпы внедрения машинных методов в сферу задач упругости и пластичности повсеместно отстают от тех возможностей, которые представляет нам современный уровень развития машинной техники. Часто приходится наблюдать неосновательную приверженность к аналитическим методам, в то время как быстрее, а главное, с большей полнотой можно получить решение при помощи машины. Для оправдания атой приверженности наиболее распространенной является ссылка на то, что машина дает только численное решение для фиксированных значений Рис. $03, входных параметров, не вскрывая их взаимосвязи, а аналитические методы, напротив, дают решение в замкнутой форме.

Вот по отому поводу и хочется сделать некоторые замечания. Общность или не общность, о которой здесь идет речь, характеризуется возможностью или невозможностью проводить решение вне предположения о числовых характеристиках рассматриваемой конструкции. Так, если определяется прогиб консоли (рис, $03) под действием силы Р, то, независимо от числовых значений Е, 1 и У, получаем = — ° ЗЕУ ' Ну, а машина? Ее решение точно так же не зависит от числовых значений Е, 1 и У, если только разумно ею пользоваться. Приведем дифференциальное уравнение упругой линии балки ЕУу" =Р (1 — х) к безразмерной форме, положив для этого р~з у = —, 11 ж = 1~.

ЬУ Тогда ~12~ — = $ — 1. ~1~2 После интегрирования получим результат 1 Т~ 1 — 31 обладающий той же степенью общности, что и аналитическое решение. Конечно, такой пример слишком прост. Рассмотрим другой. Определим период собственных колебаний маятника при больших амплитудах (рис. $Р4). Решение этой задачи сводится к дифференциальному уравнению ~;72ф 1 —;„, — ~ з1п~р, (Л) из которого определяется «в замкнутой форме» значение периода собственных колебаний а/2 О где  — аргумент эллиптического интеграла, а Й вЂ” его модуль, связанный с амплитудой колебаний. Для эллиптических интегралов существуют таблицы, составленные в зависимости от верхнего предела интеграла и модуля Й, Если обратиться к численному машинному решению, то вместо аргумента 1 следует ввести безразмерное время т- ~/ — 1, и тогда, взамен уравнения (1), получим Й2ф —.

= — ап ~р. сК» Полагая, что в начальный момент времени скорость ЙуЯ1 равна нулю, а угол ~ равен заданной амплитуде, проводим на машине численное интегрирование до первой перемены знака скорости. Тем самым определяется величина полупериода. Повторяя вычисления, получаем зависимость периода от амплитуды в виде таблицы. Найденная зависимость не только ни в чем не уступает выражению (2) в общности, но и превосходит его своей непосредственностью.

Таким образом, понятие общности и замкнутости являются условными. В то же время, выбор метода выходит за рамки вкусов и привычек и должен быть отнесен и сфере принципиальных вопросов. Надо помнить, что в настоящее время все труднее среди новых задач найти такие, которые могли бы быть решены без применения машин, хотя, конечно, такие находки вполне возможны. Но не в поиске отдельных «жемчужин», а в создании более или менее универсальных методов мы видим задачу современной механики.

И здесь, как нам представляется, решающее слово принадлежит машинной технике. Если машина включается в процесс исследования как составная часть логического аппарата, то естественно, что методы анализа должны меняться. Те тропы, по которым прежде ходили с вьюками, для машины, конечно, оказываются не удобными. Быстрее к цели приводят объездные серпантины, может быть, более длинные с виду, ао более короткие по существу. То, что прежде считалось сложным, оказывается простым. То, что представлялось совершенно незыблемым и необходимым, оказывается необязательным, а в ряде случаев, и просто лишним. Возникают другие признаки и другие оценки. Так, например„ всегда считалось, что нелинейность является характерным признаком, по которому можно судить о сложности задачи.

Сейчас можно сказать, что нелинейные задачи не столь у;ке страшны. Во всяком случае, та нелинейность, с которой приходится встречаться при решении практических вопросов, связанных с расчетом конструкций, не порождает непреодолимых трудностей. Анализ динамического процесса в деформируемых системах представляется, как правило, более сложным, чем анализ форм равновесия.