Погрешность (1) (Погрешность), страница 3

Поэтому окончательный результат обработки измерения с точки зрения количествазначащих цифр*) должен соответствовать точности, полученной впроцессе измерения.При численной записи окончательного результата условимсяпридерживаться следующих правил (см. также стр. 21).1. В погрешности оставляют только первую значащую цифру.Если же первая значащая цифра - единица, то допускается записыватьдве значащие цифры, а остальные отбрасываются с округлением вбольшую сторону.2.

Среднее значение измеренной величины округляется в соответствии со значением погрешности. Правила округления - обычные.Так, число c = 4,862452±0,12465 должно быть записано:c = 4,86±0,12,а число d = 242,87546±0,0094265 должно быть записано:d = 242,875±0,009.Примеры записи результата:v = (210±8) м/c( = 4%).2илиv = (2,10±0,08) 10 м/с ( = 4%)- стандартная форма.R = (49,8±0,3).103 Ом ( = 0,6%)R = (49,8±0,3) кОм( = 0,6%).4R = (4,98 ±0,03) 10 Ом ( = 0,6%) - стандартная форма.Следует помнить, что нули, стоящие в последних разрядах, естьзначащие цифры. Так, числа 2,86 и 2, 86000 не равнозначны по своейточности.*)Значащими цифрами являются все цифры в десятичном изображении, кроме нулей, стоящих в начале числа.- 14 -Отметим, что при проведении косвенных измерений в расчетахвыполняются математические операции над приближенными числами,определяемыми с различной точностью.

При этом руководствуютсяследующими правилами округлений и вычислений.1. При сложении и вычитании приближенных чисел в результатесохраняют столько разрядов, сколько их содержится в числе с наименьшим количеством разрядов.2. При умножении и делении в результате сохраняют столькозначащих цифр, сколько их содержится в числе с наименьшим количеством значащих цифр.n3. Результат расчета значений функций x , n x ,lg x некоторогоприближенного числа x должен содержать столько значащих цифр,сколько их имеется в числе x.4. В промежуточных расчетах допускается использовать на одну-две значащие цифры больше (“с запасом”).Графическое представление результатов измеренийПри оформлении графиков необходимо выполнять следующиеправила.1.

График должен содержать надпись, из которой было бы яснофизическое содержание представленной закономерности.2. Масштабы и начала отсчета по координатным осям выбираются так, чтобы график изображения зависимости занимал большуючасть поля чертежа. При этом на пересечении осей не обязательнодолжны находиться нулевые значения величин.При выборе масштаба необходимо помнить, что точность построения графика должна быть не ниже точности измерений.ПравильноНеправильно- 15 -3. На осях координат откладываются равноотстоящие друг отдруга деления масштаба так, чтобы было удобно работать с графиком.Значения, полученные в эксперименте, не указываются.НеправильноНеудачноПравильноили4.

В конце координатных осей обязательно указываются условные обозначения откладываемых величин и, через запятую, их единицы измерения.5. Экспериментальные значения величин (точки) отчетливо наносятся вместе с погрешностями - отрезками длиной в доверительныйинтервал, расположенными параллельносоответствующей оси, в виде:Если при построении кривой в выбранном масштабе доверительные интервалы не видны вдоль обеихосей координат, экспериментальные точки проставляются в виде маленьких кружочков (треугольников и т.д.) с центром в точке, соответствующей экспериментальным данным.6. Экспериментальная кривая проводится плавно через доверительные интервалы всех или большинства экспериментальных точектак, чтобы экспериментальные точки наиболее близко и равномернорасполагались с разных сторон кривой.- 16 -ПравильноНеправильно7.

Если на графике изображается теоретическая кривая, то указывается формула, по которой она рассчитывается.8. При изображении нескольких кривых на одном поле графикакаждая из них нумеруется или выделяется каким-то другим способом.В свободной части поля даются соответствующие пояснения.Рекомендации по оформлению отчетак лабораторной работеОтчет по лабораторной работе должен иметь следующее содержание:1.

Название работы.2. Краткое изложение цели работы.3. Перечень приборов и оборудования.4. Схема установки.5. Краткое изложение теории метода с выводами рабочих формул.6. Запись экспериментальных результатов с указанием единицизмерения и приборной погрешности. Запись параметров установки,необходимых для последующих расчетов (также с указанием единиц ипогрешностей).7. Обработанные результаты измерений, представленные в видетаблиц, чисел, графиков - в соответствии с заданием, определенном вметодической разработке к лабораторной работе.8. Вычисление погрешностей.9. Анализ результатов: сравнение с табличными данными, с теорией, с данными других экспериментов - также с учетом погрешностей.10. Выводы.- 17 -Элементы теории ошибок.

Средние квадратические погрешностиа) Функция распределения. Распределение Гаусса и его характеристики.Допустим, что произведено n измерений некоторой случайнойвеличины x: x1, x2, ... xn - одним и тем же методом и с одинаковойтщательностью. Можно ожидать, что число dn полученных результатов, которые лежат в некотором достаточно узком интервале от x до x+ dx, должно быть пропорционально:- величине взятого интервала dx;- общему числу измерений n.Таким образом, можно записать, чтоdn = f (x) n dx,где f (x) - функция, характеризующая распределение значений случайных величин по разным интервалам.Вероятность dw(x) того, что некоторое значение x лежит в интервале от x до x + dx, определяется следующим образом:dw( x ) dn f ( x ) dxn(при числе измерений n.Функция f (х) называется функцией распределения или плотностьювероятности.В качестве постулата теории ошибок принимается, что результаты прямых измерений и их случайные погрешности при большом ихколичестве подчиняются закону нормального распределения.Найденная Гауссом функция распределения непрерывной случайной величины x имеет следующий вид:f( x) 1e2 ( x  ) 22 2, где ипараметры распределе-ния.Параметрнормального распределения равен среднему значению x случайной величины, которое при произвольной известнойфункции распределения определяется интегралом- 18 x   xf ( x ) dx   .0Таким образом величина является наиболее вероятным значениемизмеряемой величины x, т.е.

ее наилучшей оценкой.Параметр нормального распределения равен дисперсии Dслучайной величины, которая в общем случае определяется следующим интеграломD   ( x   ) 2 f ( x ) dx   2 .0Квадратный корень из дисперсии   2 называется среднимквадратическим отклонением случайной величины.Среднее отклонение (погрешность) случайной величины определяется с помощью функции распределения следующим образом   x   f  x dx0Средняя погрешность измерений вычисленная по функциираспределения Гаусса, соотносится с величиной среднего квадратического отклонения  следующим образом:<> = 0,8 .Параметры исвязаны между собой следующим образом:1.2 f ( )Это выражение позволяет находить среднее квадратическое отклонение , если имеется кривая нормального распределения.График функции Гаусса представлен на рисунках. Функция f (x)симметрична относительно ординаты, проведенной в точке x = ; проходит через максимум в точке x =  и имеет перегиб в точках .Таким образом, дисперсия характеризует ширину функции распределения, или показывает, насколько широко разбросаны значения случайной величины относительно ее истинного значения.

Чем точнееизмерения, тем ближе к истинному значению результаты отдельныхизмерений, т.е. величина  - меньше. На рисунке A изображена функция f (x) для трех значений - 19 -А2f(x)   00xБf(x)1,51,00,50,0X1X2XПлощадь фигуры, ограниченной кривой f (x) и вертикальнымипрямыми, проведенными из точек x1 и x2 (рис.Б), численно равна вероятности попадания результата измерения в интервал x = x1 - x2, которая называется доверительной вероятностью.

Площадь под всейкривой f (x) равна вероятности попадания случайной величины в интервал от 0 до, т.е. f ( x )dx  1 ,0- 20 -так как вероятность достоверного события равна единице.Используя нормальное распределение, теория ошибок ставит ирешает две основные задачи. Первая - оценка точности проведенныхизмерений. Вторая - оценка точности среднего арифметического значения результатов измерений.б) Точность результатов измерений.Точность измерений в теории ошибок характеризуется доверительным интервалом xxw , таким что с доверительной вероятностью, равной w результат отдельного измерения находится внутриинтервала. Эта вероятность также равна относительной доле результатов, оказавшихся внутри доверительного интервала (см.

стр. 4-5).Таким образом, для характеристики величины случайной погрешности необходимо задать два числа, а именно, величину доверительного интервала и величину доверительной вероятности. Указаниеодной только величины погрешности без соответствующей ей доверительной вероятности в значительной мере лишено смысла. Если известна средняя погрешность измерения , доверительный интервал, записанный в виде (<x> )w, определен с доверительной вероятностьюw = 0,57.Еслиизвестносреднееквадратическоеотклонение распределения результатов измерений, указанный интервал имеетвид xtww, где tw - коэффициент, зависящий от величины доверительной вероятности и рассчитывающийся по распределению Гаусса.Наиболее часто используемые величины x = tw приведены втаблице 2.Исторически сложилось так, что в разных областях знанийиспользуют различные значения доверительной вероятности,равные 0,5; 0,8; 0,9; 0,95. Так, в высокоответственной области расчета артиллерийской стрельбы общепринятой являетсятак называемая срединная ошибка, т.е.