Погрешность (1) (Погрешность), страница 4

погрешность с вероятностью w = 0,5. Доверительная вероятность w = 0,8 является общепринятой в теории и практике оценки надежностисредств автоматики, электронной и измерительной техники.В физическом практикуме обычно принято значение доверительной вероятности w = 0,9.- 21 -Таблица 2.wx0,680,91,70,952На практике при проведении ограниченного числа измерениймы не знаем точного значения дисперсии, а можем лишь оценитьее величину. Наилучшей оценкой среднего квадратического отклонения  является средняя квадратическая погрешность n измерений nS:n  nS  ( xi   x )2i 1n 1Эта величина статистически стремится к при n .Таким образом, мы неизбежно заменяем величину в доверительном интервале на ее приближенное значение nS.

При этом необходимо помнить, что чем меньше число измерений, тем хуже это приближение. Так, теория показывает, что для корректного определениядоверительного интервала с доверительной вероятностью w = 0,9 требуется не менее 40 измерений.*)в) Точность среднего арифметического результатов измерений.Выше рассматривалась вероятность отклонения результата отдельного измерения от истинного значения величины x. Не менееважно знать, насколько может отклоняться от истинного значениясреднее арифметическое результатов измерений. Это отклонение также характеризуется доверительным интервалом (<x> x)w но таким,в котором с доверительной вероятностью w находится среднеарифметическое значение измеренной величины.Строго говоря, если величина x имеет нормальное распределение с математическим ожиданием  и дисперсией , то и ее среднеезначение <x> имеет нормальное распределение с математическим*)При 10 измерениях 10S определяется с погрешностью около30%.

Именно отсюда следует принятое на практике правило:при небольшом числе измерений в погрешности следует оставлять одну значащую цифру, если она больше 2, и две значащиецифры, если первая из них - двойка или единица.- 22 -ожиданием  и дисперсией /n. Т.е. случайная погрешность среднегоарифметического меньше, чем погрешность единичного измерения.Если в качестве оценки  используется средняя квадратическаяпогрешность nS, то для оценки отклонения среднего значения применяется средняя квадратическая погрешность среднего арифметического nS<x> :nnnS x   ( x   x )Sn2ii 1n( n  1)Величина nS<x> статистически стремится к нулю при n.В теории ошибок доказывается, что при небольшом числе измерений (n < 30), которое реально имеет место в работах физическогопрактикума, в доверительный интервал необходимо ввести коэффициент tw,n, называемый коэффициентом Стьюдента.

Тогда доверительныйинтервал принимает вид (<x>  tw,n nS<x>)w.Чем меньше число n проведенных измерений, тем больше среднее значение может отклониться от истинного. Значит, при одной итой же доверительной вероятности w коэффициент Стьюдента долженрасти с уменьшением n, см. таблицу 3.Таблица 3.234567891015201000.96.32.92.42.12.01.91.91.91.81.81.71.71.60.9512.74.33.22.82.62.42.42.32.32.12.12.02.0nwг) Полная погрешность.

Погрешность косвенных измерений.Согласно теории при совершенно независимых случайной иприборной погрешностях полная погрешность эксперимента вычисляетсяследующим образом:x exp  ( x )2  ( x приб )2 .При этом обе погрешности должны задавать доверительные интервалы с одинаковой доверительной вероятностью.

Приборная погрешность задает свой интервал с доверительной вероятностью w = 0,9.Существуют и другие способы учета результирующей погрешностиэксперимента.- 23 -В косвенных измерениях вычисляют среднюю квадратическуюабсолютную ошибку по формуле222  f f  fa   x    y    z   .... x   y    z где x, y, z, .... - полные среднеквадратические ошибки эксперимента.Формула для вычисления относительной погрешности косвенной величины а включает в себя квадраты относительных погрешностей. Например, для величины а, которая задается расчетной формулойa1n mkx yzp,где k - численный коэффициент, относительная погрешность, определяемая теорией ошибок, равна:222 x   1 y   z    p  ,   n   xmy   z что следует из22   ln a  ln a   ln aа   x    y    z  x  y  z2Литература.1.

А.Н.Зайдель. Погрешности измерений физических величин.Л., Наука, 1985.2. Л.Г.Деденко. В.В.Керженцев. Математическая обработка иоформление результатов эксперимента. М., Изд-во МГУ, 1977.3. Физический практикум. Механика и молекулярная физика.Под редакцией В.И.Ивероновой. М., Наука, 1967.4. П.В.Новицкий, И.А.Зограф. Оценка погрешностей результатовизмерений. Л., Энергоатомиздат, 1991.5. Лабораторные работы по курсу физики для естественных факультетов МГУ. Механика. М., Моск. ун-т. 1997.6.

Методическая разработка по общему физическому практикуму. Погрешности измерений. Сост. Д.В.Белов. М., МГУ, 1993..