Погрешность (1) (Погрешность)

-1-Погрешности измеренийНикакие измерения не могут быть абсолютно точными. Измеряякакую-либо величину, мы всегда получаем результат с некоторой погрешностью (ошибкой). Другими словами, измеренное значение величины всегда отличается от истинного ее значения. Задачей экспериментатора является не только нахождение самой величины, но и оценка допущенной при измерении погрешности. В зависимости отсвойств и причин возникновения различают систематические и случайные погрешности и промахи.Систематическими называются погрешности, которые при многократных измерениях, проводящихся одним и тем же методом с помощью одних и тех же измерительных приборов, остаются постоянными.Систематические погрешности вызываются факторами, действующими одинаковым образом при многократном повторении одних итех же измерений.

Они соответствуют отклонению измеренного значения от истинного всегда в одну сторону - либо в большую, либо вменьшую.Систематические погрешности могут быть обусловлены, вопервых, неисправностью или неправильной работе на используемыхприборах (например, неправильной установкой “нуля”). Во-вторых, ихпричиной может быть несовершенство используемой методики измерения или неучет постоянных факторов, влияющих на исследуемоеявление. Например, можно получать завышенные значения температуры плавления кристалла, если проводить измерения при повышенном внешнем давлении.Помимо погрешностей, возникающих в процессе измерений,систематическими являются погрешности, связанные с применениемприближенных (“упрощенных”) формул, и ошибки, обусловленныеотличием реального объекта от принятой модели.

Так, например, приопределении плотности может возникнуть большая систематическаяошибка, если исследуемый образец не является однородным и содержит внутри пустоты.После выявления причин систематическую погрешность можноустранить, вводя соответствующую поправку. Обнаружить же систематическую погрешность и установить ее причину бывает не всегдапросто, и экспериментатору часто приходится проводить дополнительные исследования. Предполагается, что в задачах физического-2-практикума систематические погрешности сведены к минимуму припостановке задачи, и их можно не учитывать.Случайными называются погрешности, которые при многократных измерениях в одинаковых условиях изменяются непредсказуемымобразом.Случайные ошибки обусловлены множеством неконтролируемых причин, действие которых неодинаково в каждом опыте.

В результате этого при измерении одной и той же величины несколько разподряд в одинаковых условиях получается целый ряд значений этойвеличины, отличающихся от истинного значения случайным образомкак в сторону увеличения, так и уменьшения.Природа случайных погрешностей может быть различной: флуктуации нулевого положения указателя измерительного прибора; несовершенство органов чувств экспериментатора (например, невозможность включить секундомер точно в нужный момент); случайные неконтролируемые изменения внешних воздействий - температуры,влажности, давления; наводки в электрической цепи и т.д., которыепрактически невозможно учесть.Случайные ошибки всегда присутствуют в эксперименте.Поведение случайных величин описывают статистические закономерности, которые являются предметом теории вероятностей.

Статистическим определением вероятности wi события i является отношениеwini,nгде n - общее число опытов, ni - число опытов, в которых событие iпроизошло. При этом общее число опытов должно быть очень велико(n). При большом числе измерений случайные ошибки подчиняются нормальному распределению (распределение Гаусса), основными признаками которого являются следующие:1. Чем больше отклонение значения измеренной величины отистинного, тем меньше вероятность такого результата.2. Отклонения в обе стороны от истинного значения равновероятны.Приводимые ниже рецепты расчетов случайных ошибок базируются на математическом аппарате теории вероятностей с распределением Гаусса для случайных величин. Следует отдавать себе отчет,-3-что в условиях практикума при небольшом (n = 310) числе измерений эти расчеты всегда носят оценочный характер.*Приборной погрешностью называется разность между показаниями любого прибора и истинным значением измеряемой величины.Она может содержать случайную и систематическую составляющие.Промахи (или грубые погрешности) проявляются обычно в резком отклонении результата отдельного измерения от остальных.

Промахи обусловлены главным образом недостаточным вниманием экспериментатора или неисправностями средств измерения. Результатытаких измерений отбрасываются.Оценка погрешностей величин, измеряемых непосредственно(при прямых измерениях)а) Случайные погрешности. Основные понятия.Пусть некоторая случайная величина a измеряется n раз в одинаковых условиях. Результаты измерений дали набор n различных чиселa1, a2 ,....., an .За наиболее вероятное значение величины а обычно принимаютсреднее арифметическое значение результатов измеренийа a1  a2 ... nan1 na .n i 1 iЧем больше число измерений, тем ближе среднее значение к истинному.Абсолютной погрешностью i-го измерения называется величинаai  ai  a .Абсолютная погрешность - величина размерная. Среди n значений абсолютных погрешностей обязательно встречаются как положительные, так и отрицательные.Элементы строгой теории погрешностей приведены в последнем параграфе.*-4-Относительной погрешностью i-го измерения называется величинаi ai.aОтносительная погрешность - величина безразмерная.

Обычно относительная погрешность выражается в процентах, для этого i домножают на 100%. Величина относительной погрешности характеризуетточность измерения.Средняя абсолютная погрешность определяется так:1 nа   ain i 1.Подчеркнем необходимость суммирования абсолютных значений(модулей) величинаi. В противном случае получится тождественныйнулевой результат.Средней относительной погрешностью называется величина 1 n .n i 1 iПри большом числе измерений a.aб) Доверительный интервал и доверительная вероятность.Задача обработки результатов измерений заключается в том,чтобы определить границы интервала, в котором заключено истинноезначение измеряемой величины. Этот интервал определяется относительно ее среднего арифметического значения, принимаемого за наилучшую оценку истинного.Принята следующая форма записи результата измерений какойлибо величины а:а = (а±а) ед.

измерения (где a - определяемая тем или иным способом граница этого интервала.Теория вероятностей позволяет определить величину интервала,в котором с известной вероятностью w находятся результаты отдельных измерений. Эта вероятность называется доверительной вероятно--5-стью, а соответствующий интервал называется доверительным интервалом.Если число измерений n достаточно велико, то доверительнаявероятность выражает долю из общего числа n тех измерений, в которых измеренная величина оказалась в пределах доверительного интервала.

Каждой доверительной вероятности w соответствует свой доверительный интервал.Для примера обозначим на числовой оси точками результаты n =10 условных измерений. Они группируются вокруг средней величиныаaаКруглыми скобками обозначим доверительный интервал, внутрикоторого находятся 5 экспериментальных значений из 10, т.е. доверительная вероятность w1  50%.

Квадратным скобкам соответствует доверительный интервал для вероятности w2  80%. Чем шире доверительный интервал, тем больше вероятность получить результат внутриэтого интервала. В теории вероятностей устанавливается количественная связь между величиной доверительного интервала, доверительнойвероятностью и числом измерений.Если в качестве доверительного интервала выбрать интервал,соответствующий средней погрешности, то есть a = ато при достаточно большом числе измерений он соответствует доверительнойвероятности w  60%. При уменьшении числа измерений доверительная вероятность, соответствующая такому доверительному интервалу(а±а уменьшается.Таким образом, для оценки доверительного интервала случайной величины можно пользоваться величиной средней погрешностиа Строгая теория доверительных интервалов дана в последнемпараграфе.в) Приборная погрешность.Приборная погрешность является паспортной характеристикойприбора.

Она определяется для всей совокупности приборов данноговида путем сравнения показаний приборов исследуемой партии с показаниями эталонного прибора (путем градуировки). За значение приборной погрешности принимается наибольшее из полученных значений.-6-При работе с отдельным прибором конкретная величина приборной погрешности неизвестна, но заключена в известных пределах,которые указываются в паспортных данных прибора.Для стрелочных электроизмерительных приборов погрешностьопределяется классом точности.

Класс точности большинства приборов равен максимально возможной относительной погрешности прибора, выраженной в процентах от величины верхнего предела шкалы.Значение класса точности такого прибора маркируется рядом с егошкалой в виде числа (не обведенного в кружок или звездочку!).Обозначим класс точности max . Исходя из определения,x приб max  i 100% ,xmaxгде xiприб. - максимально возможная абсолютная приборная погрешность i-го измерения, xmax - величина верхнего предела шкалы измерительного прибора.Отсюда следует, что xxiприб  max max ,100а максимальная относительная приборная погрешность i-го измерениявычисляется по формуле iп риб  max  x max(%) .x iп рибТак, например, у вольтметра класса точности 0,2, предназначенного для измерения напряжения до Vmax = 300 В, максимальная относительная приборная погрешность у верхнего предела измерений равна 0,2%.

А при измерении напряжения V = 50 В максимальная относительная погрешность возрастает до величины 1,2%. Следовательно,при измерении вблизи нуля (в первой половине шкалы) значительноуменьшается точность измерения. Измерения в начальной части шкалы нежелательны.Приборные погрешности, определяемые по приведенным формулам, представляют максимально возможную ошибку прибора.Ошибка конкретного измерения может быть меньше.-7-Если класс точности не указан, то за приборную погрешностьможно принять половину цены наименьшего деления на шкале.Обычно эта величина находится в согласии с классом точности. *)Погрешность цифровых электроизмерительных приборов обычно указывается в паспорте прибора.г) Доверительный интервал с учетом случайной и приборнойпогрешностей.При однократном измерении некоторой величины случайнуюошибку определить невозможно, и граница доверительного интервалаопределяется величиной приборной погрешностиa  a п риб .В таком случае погрешность называют погрешностью метода.При многократных измерениях граница доверительного интервала определяется путем учета случайной погрешности и погрешности, вносимой приборами.