Погрешность (1) (Погрешность), страница 2

Такая погрешность называется погрешностью эксперимента.Для оценки погрешности эксперимента можно пользоватьсяформулойa  a  a п риб(см. также стр. 22).Естественно, если одно из слагаемых значительно больше другого, то оно и будет определяющим в оценке. Если при большом количестве измерений приборная погрешность много больше случайнойпогрешности измерений, необходимо заменить используемый приборна более точный.

Если же приборная ошибка много меньше случайнойошибки, можно увеличить число измерений для повышения точностирезультата. Если приборная погрешность сравнима со случайной погрешностью измерений, то, очевидно, не имеет смысла увеличивать*)Как правило, точность прибора ниже точности отсчета, который можно сделать по шкале прибора. Например, если мы измеряем длину миллиметровым масштабом, то легко отсчитатьна глаз десятые доли миллиметра, но обычная линейка может ине обеспечивать такой точности.

Сколько бы раз мы ни повторяли измерения, точность полученного нами результата не превысит точности, обеспеченной при изготовлении линейки.-8-число измерений. Следовательно, целесообразно оценивать приборную погрешность перед проведением измерений.Оценка погрешности при косвенных измеренияхВ большинстве случаев величина, интересующая экспериментатора, не может быть измерена непосредственно, а получается путемвычислений с использованием нескольких непосредственно измеряемых величин. Такие измерения называются косвенными.Пусть интересующая нас величина а вычисляется по некоторойформуле, требующей знания ряда непосредственно измеряемых величин x, y, z, ....:a = f (x, y, z, ....).Здесь f (x, y, z, ....) - некоторая (пока не конкретизируемая) функция,определяемая расчетной формулой.В измерениях могут встретиться две ситуации.а) Косвенные измерения с постоянными параметрами.В большинстве задач физического практикума многократно измеряются величины x, y, z, ...., истинные значения которых в процессеизмерений остаются постоянными (постоянными параметрами).

Например, плотность вещества определяется через многократные измерения массы и линейных размеров одного и того же образца.В этом случае среднее значение величины а получается подстановкой в формулу средних значений x,y,z, .... измеренных величин:a  f x , y , z ,.... ,а при расчете погрешностей величины а начинают с вычисленияабсолютной или относительной погрешностей в зависимости отвида функции f (x, y, z, ....).В общем виде задача ставится так. Пусть известен набор величин xx, yy, zz... , гдеx, y, z - погрешности непосредственных измерений, определенные так, как это описано в предыдущем параграфе. Как определить абсолютную погрешность величины a? Учтем, что чаще всего погрешности непосредственных измерений значительно меньше измеряемых величин, составляя несколько процентов именее от них.

Т.е. x«x, y«y, z«z ... Тогда формальноможно погрешность считать малым приращением измеряемой величины, заменить символы: x  dx, y  dy, z  dz, ... a  da - и для-9-нахождения величиныa использовать математический аппарат дифференциального исчисленияa Здесьfffx y z ...

xyzf- частная производная, которая вычисляется по обычнымxправилам дифференцирования. При ее определении все остальные аргументы функции f (кроме x) следует считать постоянными и равнымиих средним значениям. Слагаемое ax fx соответствует поxгрешности, вносимой в полную погрешность a неточностью измерения только величины x (в предположении, что все остальные величины: y, z, .... - измерены без ошибок). Аналогичный смысл имеют всеостальные слагаемые. Таким образом, оценить абсолютную погрешность величины а при косвенных измерениях можно по формулеa  ax  ay  az ....гдеax fx ,xay fy ,yaz fz , ....zДля того чтобы сразу определить относительную погрешностьвеличины а, разделим a на а и примем во внимание, что выражение ln f1 fудобно преобразовать в.xf xТогдаa 1 f1 f ln f ln f   x    y  ... x y  ...af yf yxyЕсли в расчетную формулу входят, наряду с измеренными величинами, еще и табличные данные или справочные константы, то при- 10 -вычислении погрешности величины а следует учитывать и их погрешности.

Если их погрешность не указана специально, то обычно считается, что она не превышает пяти единиц в первом отсутствующем разряде. Например, для ускорения свободного паденияg = 9,8 м/c2g = 0,05 м/c2,а дляg = 9,81 м/c2g = 0,005 м/c2.После вычисления абсолютной погрешности определяется относительная погрешность результата.Приведем таблицу для оценки погрешности некоторых частовстречающихся при вычислениях комбинаций измеряемых величин.Таблица 1.a  f ( x , y)a  ax  ay1xyx  yx  yxy2xyx  yx  yxy3xyx  y  y  xx yxy4xyx  y  y  xy2x yxy5xnnx n1 x6nx11 n 1x xnnaaxx1 xn x- 11 -Обратим внимание читателя на некоторые важные моменты втаблице.1.

Учтем, что случайные погрешности измерений могут равновероятно быть положительными и отрицательными. Поэтому и присложении, и при вычитании измеренных величин абсолютные погрешности складываются.2. При вычитании двух величин относительная погрешность содержит в знаменателе разность двух величин. Если эти величиныблизки, то относительная погрешность разности может значительнопревышать относительную погрешность каждой величины в отдельности. Во избежание потери точности следует избегать таких измеренийи вычислений, когда приходится вычитать близкие по значению величины.3.

При умножении и делении величин складываются относительные погрешности.То есть когда расчетная формула является одночленом, а суммыи разности если и присутствуют, то в виде отдельных множителей,проще сначала вычислить не абсолютную, а относительную погрешность величины а. Если же расчетная формула имеет вид многочлена,целесообразно начинать с расчета абсолютной погрешности.4. При возведении в степень n, такую чтоn 1, относительнаяпогрешность увеличивается вnраз.Для примера рассмотрим вычисление погрешности при расчетепо формулеat 2s  v 0t .2Удобнее всего провести его по следующей схеме.Обозначимs1  v 0tиat 2s2 ,2где s1, s2, v0, t, a - средние значения измеренных величин.Тогда1 s1 v 0 t;s1v0t2 s2 a 2t;s2at- 12 - vt s1   1 s1  v 0t  0 vt 0;at 2  a 2t s2   2 s2 2  at и, наконец,s  s1  s2s s1  s2.ss1  s2б) Косвенные измерения с переменными параметрами.В некоторых задачах при определении одной и той же величиныa = f (x, y, z, ....) вместо того, чтобы измерять n раз одни и те же параметры x, y, z, ....

, проводят n измерений принципиально различныхзначений (переменных параметров) x1, x2, ... , xn величины x, и, соответствующих им значений величин y, z, ... . Например, плотность вещества определяется через однократные измерения массы и линейныхразмеров нескольких образцов.В таком случае расчеты проводятся следующим образом. Величина а вычисляется для каждого опыта в отдельности: а1 = а (x1, y1,z1...), a2 = (x2, y2, z2 ...) ... an = a (xn, yn, zn ...), - и обрабатывается как припрямых измерениях. В результате определяется среднее значение а:а a1  a2  ...  annи соответствующая ему средняя случайная погрешность а.Приборная погрешность aприб рассчитывается дополнительно.Для ее определения рассмотренным в пункте а) способом выводятформулу для абсолютной или относительной погрешности величиныa. В эту формулу в качестве x, y, z, ....

подставляют приборныепогрешности xприб, yприб, zприб, ... , а в качестве x, y, z, .... подставляют значения xi, yi, zi, .... какого-либо одного из опытов. Для того,чтобы не получить сильно завышенное или заниженное значение приборной погрешности, выбирается опыт с промежуточными (не минимальными и не максимальными) значениями параметров xi, yi, zi, ....- 13 -Полная погрешность эксперимента определяется как при непосредственных измерениях:a  a  a п риб .Окончательная запись результата.Точность вычислений при обработке измеренийВ результате обработки измерений всегда получается приближенное значение измеряемой величины, точность которого определяется только погрешностью, допущенной в процессе измерения, и никакими расчетами нельзя повысить эту точность.