Deformation (Лекции в PDF), страница 4

Растояние между частицами.Существенным моментом при деформации является изменение расстояний между частицами. Поэтому необходимо указать способ определения длин в пространстве.Длина любого вектора выражается через его компоненты и скалярные произведения векторов базиса. Для определения длины вектора достаточно определить скалярные произведения векторов базиса~ei · ~ej = gij ,которые, вообще говоря в данной точке могут быть произвольными числами.Квадрат длины вектора d~r по определению будет равен|d~r|2 = ds2 = d~r · d~r = d ξ i d ξ j ~ei · ~ej = gij d ξ i d ξ j ,а квадрат длины любого вектора~ 2 = gij Ai Aj|A|Из yсловия инвариантности длины вектора d~r относительно выбора системы координат следуют тензорные формулы преобразования gij .

Действительно,′|d~r|2 = gpq d η p d η q = gij d ξ i d ξ j = gij12∂ξ i ∂ξ j p qd η d η = gij aip ajq d η p d η q∂η p ∂η qгдеaip =∂ξ i∂η p–коэффициенты, которые задают связь приращений координат dξ i и dη p .Таким образом, величины gij следует рассматривать как ковариантные компоненты тензора g,который называется фундаментальным метрическим тензором.Согласно определению скалярного произведения метрический тензор является симметричнымтензором:gij = gjiКвадратичная относительно приращений координат dξ i форма gij d ξ i d ξ j называется фундаментальной квадратичной формой, задающей метрику – растояние между близкими точками пространства.Из алгебры известно, что всякую симметричную квадратичную форму с постоянными коэффициентами можно привести к каноническому виду, т.е.

в каждой выбранной точке можно найтитакие координаты x1 , x2 , x3 , что квадратичная форма запишется в виде суммы квадратов:ds2 = (dx1 )2 + (dx2 )2 + (dx3 )2Заметим, что выполнить такого рода преобразование сразу во всем пространстве, вообще говоря нельзя, т.е. нельзя найти такую систему координат x1 , x2 , x3 , чтобы во всем пространствефундаментальная квадратичная форма могла быть записана в виде суммы квадратов.Если такая система координат существует, то пространство называется евклидовым, еслинет то неевклидовым. Пространство называется псевдоевклидовым еслиds2 = αi dx2iгдеαi = ∓12.3. Ковариантные производные.Величины∂wk∂η iне являюся компонентами тензора, так как при переходе к другой системе координатwk = w′jи дифференцировать нужно будет и∂η i.∂ξ iПоэтому тензорного закона преобразования∂wk∂η iне получается.13∂η i∂ξ iCимволы Кристофеля1) симметричны по нижним индексам:Γikj = Γijkтак как∂ 2~r∂ 2~r∂~ek∂~ej=== jkkjjk∂η∂η η∂η η∂ηилиΓijk~ei = Γikj ~ej2) Выражаются через компоненты метрического тензора следующим образом:∂gjs ∂gks ∂gjk1Γijk = gis+−2∂η k∂η j∂η s3)Заметим, что символы Кристофеля не являются компонентами какого либо тензора,так как в криволинейной системе координат они не равны нулю, а в декартовой равны нулю.Ковариантные производные контрвариантных компонент тензора Рассмотрим тензорT = T jk~ej ~ek .Тогдаej∂T∂T jkek∂T jkjk ∂~jk ∂~=~e~e+T~e+T~e=+ T jk Γlji~el~ek + T jk Γlki~ej ~el =j kjk∂η i∂η j∂η i∂η i∂η i jk∂T∂T jklk jjl klk jjl k~ei~ej + T Γli~ej ~ek + T Γli~ej ~ek =+ T Γli + T Γli ~ej ~ek = (▽i T jk )~ej ~ek∂η i∂η iВ связи с тензором второго ранга можно ввести следующие тензоры третьего рангаT1 = ▽i T jk~ei~ej ~ek , T2 = ▽i T jk~ej ~ek~ei , T3 = ▽i T jk~ej ~ei~ekСвойства дифференцирования ковариантных производных те же, что и у обычных производных:▽i (v k + ▽i wk ) = ▽i v k + ▽i wk , ▽i (v j wk ) = wk ▽i v j + v j ▽i wk .Ковариантные производные ковариантных компонент вектора.Пусть вектор представлен через свои ковариантные производныеw~ = wj ~ej .Тогда∂w~∂wj∂~ej=~ej + wk iii∂η∂η∂ηПокажем, что∂~ej= −Γjki~ek∂η iДействительно, дифференцируя~ej · ~ek = δkjполучим∂~ej∂~ej~ek + ~ej (Γlki~el ) = 0 =⇒~ek + δlj Γlki = 0∂η i∂η i=⇒∂~ej∂~ej~ek + Γjki = 0 =⇒~ek = −Γlki∂η i∂η iОткуда и следует требуемое утверждение.14Таким образом,∂w~∂wj=~ej + wj Γjki~ek =∂η i∂η i∂wjk− wk Γjl ~ek = (▽i wj )~ek∂η iЗаметим, что ▽i wj являются ковариантными, а ▽i wj смешанными компонентами одного и того жетензора∂w~T = i ~ei = ▽i wj ~ej ~ei = ▽i wj ~ej ~ei∂ηОтсюда следует, что компоненты метрического тензора gjk и gjk несмотря на то, что онизависят от координат должны вести себя по отношению к ковариантному дифференцированию как постоянные величины: их можно вносить и выносить за знак ковариантнойпроизводной.Действительно, для различных компонент одного и того же тензора существует связь:▽i wj = gjk ▽i wk ,ноwj = gjk wk ,поэтому▽i (gjk wk ) = gjk ▽i wkт.е▽i gjk = 0Аналогично▽i gjk = 0и▽i (gjk wk ) = gjk ▽i wk15.