Deformation (Лекции в PDF), страница 3

Его объем dV0 = ds01 ds02 ds03 . В момент t ему соответствует параллелепипед с объемомqqqdV = ds1 ds2 ds3 = 1 + 2ε01 ds01 1 + 2ε02 ds02 1 + 2ε03 ds03Коэффициентом кубического расширения называется величинаqqdV − dV0= (1 + 2ε01 )(1 + 2ε02 )(1 + 2ε03 ) − 1 = 1 + 2I10 + 4I20 + 8I30 − 1θ=dV0Коэффициент кубического расширения определен как инвариантная геометрическая характеристика. Последнее выражение для θ пригодно при использовании любой системы координат.В случае бесконечно малых деформацийXXθ ≈ I1 =εi ≈ε0iiiТаким образом, первый инвариант тензора деформаций в случае бесконечно малых деформаций можно рассматривать как коэффициент кубического расширения.1.10. Выражение компонент тензора деформаций через компоненты вектораперемещенийНапомним, что в случае, когда начальное состояние может реально осуществляться и его метрика0 как и метрика актуального пространства является евклидовой можно ввести вектор перемешенияgijw~~r = ~r0 + w~где ~r, ~r0 – радиусы–векторы относительно некоторой точки одной и той же точки сплошной средыв начальный момент времени и в данный момент времени.Выражение компонент тензора деформаций через компоненты вектора перемещенийем∂w~∂~r∂~r0= i − i = ~ei − ~e0ii∂ξ∂ξ∂ξИме-Откуда~ei = ~e0i +∂w~,∂ξ i~e0i = ~ei −∂w~,∂ξ iПоэтомуgij = ~ei · ~ej = ~e0i · ~e0j + ~e0i ·∂w~∂w~ ∂w~∂w~+ ~e0j · i + i · jj∂ξ∂ξ∂ξ ∂ξ0gij= ~e0i · ~e0j = ~ei · ~ej − ~ei ·∂w~∂w~∂w~ ∂w~− ~ej · i + i · jj∂ξ∂ξ∂ξ ∂ξиСледовательно11 00εij = (gij − gij)=~e ·22 i1∂w~~ei · j + ~ej2∂ξ∂w~∂w~∂w~ ∂w~+ ~e0j · i + i · j∂ξ j∂ξ∂ξ ∂ξ∂w~∂w~ ∂w~· i− i· j∂ξ∂ξ ∂ξ=Эти формулы верны при любом выборе вообще криволинейных лагранжевых координат ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 .Заметим, что в выражения для компонент тензора деформаций входят лишь первые производныевектора перемещений по координатам ξ i , которые характеризуют относительные перемещения точексплошной среды.91.11.

Выражение тензора деформаций через ковариантные производныекомпонент вектора перемещения .Для компонент тензора деформаций используя эти обозначения можно получитьε0ij =1 0 0[∇ w + ∇0j wi0 + ∇0i wk0 ∇0j w0k ]2 i jили1εij = [∇i wj + ∇j wi − ∇i wk ∇j wk ]2В случае бесконечно малых относительных перемещений после отбрасывания квадратичных по |w|~членов получим11εij = [∇0i wj0 + ∇0j wi0 ] = [∇i wj + ∇j wi ]22Очевидно, что εij в этом случае совпадает с компонентами симметризованного тензора∇i wj ~ei~ej1.12. О существовании уравнений совместности деформаций.Тензор деформаций имеет девять компонент, из которых в силу симметрии εij различных толькошесть.

При наличии вектора перемещений эти шесть компонент выражаются в каждой точке черездевять производных ∇j wi и, следовательно, могут быть в данной точке пространства произвольнымичислами. Однако, εij не могут быть произвольными функциями точек пространства, так как шестьфункций εij выражаются через производные только трех функций wi (ξ 1 , ξ 2 , ξ 2 ). Поэтому εij должныудовлетворять определенным уравнениям, которые называтся уравнениями совместности деформаций.В общем случае уравнения совместности деформаций следуют из условия существования вектораперемещений и сводятся к условиям евклидовости начального и актуального пространств. При этом,0 и g , должны обратензоры Римана–Кристофеля, составленные для фундаментальных тензоров gijijщаться в нуль.В случае бесконечно малых деформаций уравнения совместности имеют вид∂ 2 εµj∂ 2 εµi∂ 2 ενj∂ 2 ενi+−−= 0.∂ξ j ∂ξ µ ∂ξ i ∂ξ ν∂ξ j ∂ξ ν∂ξ i ∂ξ µи называются уравнениями совместности Сен–Венана.Уравнения совместности в случае бесконечно малых деформаций представляют собой шесть независимых линейных дифференциальных уравнений с частнами производными второго порядка относительно εijНаборы комбинаций индексов для независимых уравнений следующие : (1212), (1313), (2323), (1213),(2123), (3132)1.13.

Геометрическая картина преобразования малой частицы сплошной средыпри деформации.Всякая выделенная в сплошной среде бесконечно малая сфера преобразуется при деформации вэллипсоид. Если при этом главные направления не меняют своей ориентации в пространстве, то имеемчистую деформацию. Она сводится к растяжению или сжатию по трем главным взаимно перпендикулярным главным осям. Заметим, что во время чистой деформации любые отрезки в частице, ненаправленные по главным осям, меняют вообще говоря, свое направление в пространстве.Если сфера преобразуется в эллипсоид, так что главные направления меняют свою ориентацию впространстве, то говорят, что имеет место общий случай аффинного преобразования, которыйсводится к чистой деформации и повороту в пространстве.10Итак, произвольное перемещение бесконечно малой частицы сплошной среды сводитсяк поступательному перемещению в пространстве, повороту и чистой деформации (сжатиюили растяжению по трем взаимно перпендикулярным главным осямПри движении частицы как абсолютно твердого тела сфера переходит в сферу того же радиуса,причем все взаимно перпендикулярные триэдры можно рассматривать как главные, все они поворачиваются около одной и той же оси и на один и тот же угол.

В этом случае говорят, что произошелчистый поворот.Замечание 1. Матрица аффинного преобразования |cki | определяется девятью производными от компонент вектора перемещения w~ по координатам ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 .В общем случае в данной точке эта матрица образована из произвольных девяти чисел. Чистаядеформация характеризуется тремя главными компонентами тензора деформаций и тремя параметрами характеризующими направления главных осей в пространстве (или шестью компонентами тензорадеформаций); поворот в пространстве характеризуется тремя оставшимися параметрами.Замечание 2.

Тензор деформаций играет основную и определяющую роль в теории деформирования твердых тел. В теории движения жидкости и газа играет большую роль другая характеристикатензор скоростей деформаций. (Сами деформации несущественны, а существенно насколько быстроони происходят).2. Приложения2.1. Векторы базиса. Контрвариантный и ковариантный законы преобразованияЧерез каждую точку пространства проходят три координатные линии, и в каждой точке пространства M (x1 , x2 , x3 ) можно рассмотреть элементарные прмолинейные направления ∆~r1 , ∆~r2 , ∆~r3 , выходящие из точки M и соединяющие его с точками M1 (x1 +∆x1 , x2 , x3 ), M2 (x1 , x2 +∆x2 , x3 ), M3 (x1 , x2 , x3 +∆x3 ) соответственно.

В каждой точке пространства можно ввести векторы~ei =∆~rilimii∆x∆x −→0ˆ~ei =∆~rilimii∆ξ∆ξ −→0илиВекторы ~ei и ˆ~ei направлены по касательным к соответствующим координатным линиям в точке M.В евклидовом пространстве эти пределы будут частными производными от ~r по соответствующимкоординатам.∂~r~ei =∂xiили∂~rˆ~ei = i∂ξЕсли под ∆xi или под ∆ξ i понимать длины дуг вдоль соответствующих координатных линий, то∂~r ∂~rпроизводные ∂xi , ∂ξ i по величине будут равны единице.Так введенные векторы ~ei и ˆ~ei называются векторами базиса для системы отсчета и для сопутствующей системы соответственно.Если система координат xi или ξ i криволинейная, то векторы ~ei и ˆ~ei меняются от точки к точкепространства и образуют, вообще говоря, в каждой точке пространства неортогональный триэдр.Обратите внимание, что здесь индексы в обозначениях координат стоят вверху, а индексы в обозначениях векторов базиса внизу.

Базис ~ei называется ковариантным базисом.Взаимным базису ~ei называется базис ~ek удовлетворяющий соотношениям~ek · ~ej = δik11Он существует и единственен. Базис ~ek называется также контрваринтным базисом.Если gij = ~ei · ~ej , а gij набор элементов матрицы ||gij ||, обратной матрице ||gij ||, то справедливыутверждения~ei = gik ~ek , ~ej = gik ~ek , gij = ~ei · ~ejЕсли выбрана система координат xi , то векторное поле представляют используя локальные базисы ~eiили ~ej , в виде~ = Ai~ei , A~ = Aj ~ej ,AгдеAi = gik Ak ,Aj = gjk Ak~ в системеВеличины Ai называются контрвариантными компонентами векторного поля Aiкоординат x , а величины Ai его ковариантными компонентами.Если наряду с системой координат xi рассматривается система координат ξ k , то ее базис, взаимный~ в системе координат ξ связаны с базисами ~ei , ~ej и компонентамибазис и компоненты векторного поля A~векторного поля A законами преобразования :∂xkˆ~ei =~ek ,∂ξ iA′i =∂xkAk∂ξ iковариантный закон∂ξ i k∂ξ i~e , A′i =Akконтрвариантный законˆ~ei =k∂x∂xkЕсли выбрана система координат, то тензорное поле представляется например в случае тензороввторого ранга в видеT = T ij ~ei~ej = Tkj ~ek~ej = Tki~ei~ek = Tki~ek ~eiСоответсвующие компоненты тензора называются контрвариантными (T ij ), ковариантными (Tij ) исмешанными (Tij ).Компоненты тензора в системе координат ξ k связаны с его компонентами в системе координат xiтензорным законом преобразования: для каждого нижнего индекса используется ковариантный, длякаждого верхнего индекса используется контрвариантный закон преобразованияT̂kij =∂ξ i ∂ξ j ∂xr pqT∂xp ∂xq ∂ξ k r2.2.