Deformation (Лекции в PDF)

1. Лекция 4 (3). ДеформацииПлан Лекции1. Конфигурация сплошной среды. Деформация и течение. 2. Сопутствующая система координат3. Векторы базиса4. Лемма.5.Замечание– Длина вектора.6.Тензор деформаций.7.Коэффициент относительного удлинения.8.Геометрический смысл ковариантных компонент тензоров деформаций.9.Главные оси и главные компоненты тензоров деформаций.10.Коэффициент кубического расширения.11.Вектор перемещения.12.Выражение тензора деформаций через компоненты вектора перемещения.13.О существовании уравнений совместности деформаций.14.Преобразование при перемещении бесконечно малой частицы сплошной среды.1.1. Конфигурация сплошной среды. Деформация и течение.Определения 1. Для обозначения фиксированной точки пространства будем пользоваться терминомточка, а для материальной точки – точки сплошной среды будем пользоваться термином частица.При описании геометрических объектов, например элементов линий или поверхностей будем использовать соответственно прилагательные пространственный и материальный.В любой момент времени t объем V сплошной среды, ограниченной поверхностью S, занимаетнекоторую область R физического пространства.Определение 2.

Если в определенной системе координат указано соответствие частиц некоторогообъема сплошной среды и точек пространства, которые они занимают в данный момент времени, тоговорят , что в этот момент времени указана конфигурация сплошной среды.Определения 3. Термин деформация относится к изменению формы континуума от некоторойначальной (недеформированной) конфигурации до последующей (деформированной) конфигурации.Если начальное и мгновенное положение окрестности частицы P соответствуют двум положениямтвердого тела, то мы будем говорить, что эту окрестность можно перевести из ее начальной конфигурации в мгновенную конфигурацию без деформации.При изучении деформации учитываются только начальная и конечная конфигурация; промежуточным состояниям, или частной последовательности конфигураций, по которым происходит деформация,внимание не уделяется.Определения 4.

В противоположность этому термин течение используется для обозначения непрерывного состояния движения континуума. Изучение истории конфигурации является неотъемлемойчастью исследования течения, для которого задано переменное по времени поле скоростей.1.2. Сопутствующая система координатВсегда, когда мы говорим о движении сплошной среды, необходимо индивидуализировать точки,и следовательно пользоваться лагранжевыми координатами. Поэтому всегда при рассмотрении движения сплошной среды подразумевается наличие системы отсчета x1 , x2 , x3 , относительно которойрассматривается движение, и сопутствующей системы координат.1Она вводится следующим образом.

Наряду с координатами x1 , x2 , x3 системы координат наблюдателя лагранжевы координаты индивидуальных точек ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 рассматриватся как другиекоординаты тех же точек пространства в области D.Соответствующая система координат ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 в том же пространстве образует подвижную деформируемую криволинейную систему координат, которая называется сопутствующей системой координат.Так, если в начальный момент t0 выбрать в сплошной среде некоторые координатные линии ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ,состоящие из точек сплошной среды (начальную лагранжеву систему координат), то в следующий момент времени они вместе вместе с точками континиума вновь перейдут в координатные линии сопутствующей системы.

Однако, если в начальный момент они были выбраны прямыми, то в следующиймомент времени они будут, вообще говоря, искривленными.Таким образом, если рассматривать систему координат, связанную с частицами сплошной среды,то она с течением времени меняется. Выбор такой системы координат в любой момент времени в нашейвласти, но в следующие моменты времени она уже не подвласна нам, так как она "вморожена" в средуи деформируется вместе с ней.

Такая вмороженная в среду система координат и определяетсякак сопутствующая система координат.Все точки сплошной среды всегда покоятся относительно подвижной сопутствующей системы координат.Понятие сопутствующей системы координат является обобщением на случай сплошной среды собственной системы координат твердого тела в теоретической механике.1.3. Лемма о преобразовании бесконечно малого отрезка сплошной среды всопутствующей системе координат.В сопутствующей системе координат любой бесконечно малый материальный отрезок прямой, выходящий из частицы P , в процессе движения сплошной среды переходит в бесконечно малый материальный отрезок прямой, выходящий из этой же частицы.Действительно, наряду с бесконечно малым элементом сплошной среды d~r в момент времени t,можно ввести элемент сплошной среды kd~r, где k –некоторое число.В пространстве ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 в момент t = 0 этому элементу соответствовал элемент k d~r0 , так как в этомпространстве в силу сохранения лагранжевых координат всех точек сплошной среды должно иметьразложение по векторам базисаkdξ i~e0i = kd~r0При разных конечных k и данном d~r элементы k d~r определяют в момент t малый отрезок прямой,которому в пространстве ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 в момент t = 0 соответствовал малый отрезок прямой kd~r0 .1.4.

Преобразование при перемещении бесконечно малой частицы сплошнойсреды.Замечание 1. Ясно, что в интересующий нас момент времени t величины деформации зависятне только от рассматриваемого состояния тела, но и от того, по отношению к какомусостоянию эти деформации вычисляются.Как выбрать это состояние ? Отметим, что его можно определить по разному.

Это начальное состояние не обязательно должно реально существовать.Например, за начальное состояние можно принять такое мысленно введенное состояние, в которомструктура каждого элемента сплошной среды упорядочена и элемент предоставлен самому себе, т.е.на него не действуют никакие силы.Однако, если ввести метрику в таком начальном состоянии, то она может оказаться неевклидовой.Например, в случае дижения пленки в плоскости если за начальное состояние выбрать такое, когда кпленке не приложены никакие силы, то в этом состоянии пленка оставаясь двумерной будет покоробленной, морщинистой. Установить взаимно однозначное соответствие между точками плоской пленки2в данный момент и покоробленной (в случае снятия всех нагрузок) можно, но для этого, вообще говоря, нужно выйти в трехмерное пространство; оставаясь в двумерном пространстве, с сохранениемевклидова типа метрики, этого сделать нельзя.Вектор перемещений. В случае, когда начальное состояние может реально осуществляться и его0 как и метрика актуального пространства является евклидовой можно ввести вектор пеметрика gijремешения w~~r = ~r0 + w~где ~r, ~r0 – радиусы–векторы относительно некоторой точки одной и той же точки сплошной средыв начальный момент времени и в данный момент времени.Связь между базисными векторами начального, актуального состояний и компонент вектора перемещений Имеем∂w~∂~r∂~r0= i − i = ~ei − ~e0i∂ξ i∂ξ∂ξОткуда∂w~∂w~~ei = ~e0i + i , ~e0i = ~ei − i ,∂ξ∂ξБесконечно малая частица сплошной среды.

Под бесконечно малой частицей сплошной средыбудем понимать совокупность точек среды с координатами ξ i + dξ = ξ i + ρi , удаленных от данной точкиO с координатами ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 , называемой центром частицы на бесконечно малое расстояние ρ.Пусть в момент времени t = 0 положение всех точек бесконечно малой окрестности точки Mсплошной среды задается вектором d~r0 , причемd~r0 = dξ i~e0i′Положение всех точек окрестности M , в которую в рассмтриваемый момент времени t перейдет точкаM , определяется вектором d~rd~r = dξ i~ei′Совместим точки M и M и разложим d~r по векторам базиса ~e0id~r = dη i~e0iСвязь между dη i и dξ i определяет преобразование малой частицы сплошной среды.Для бесконечно малой частицы сплошной среды dξ i и dη i можно рассматривать как декартовыкоординаты в одной и той же косоугольной системе координат с базисом ~e0i .Возникающее при деформации тела преобразование имеет самый общий вид.

Мы предполагаемлишь, что оно удовлетворяет свойствам взаимнооднозначности, непрерывности и дифференцируемостипо координатам.Однако, если рассмотреть бесконечно малую окрестность точки M сплошной среды, тоэто преобразование с точностью до малых первого порядка можно считать аффинным.Действительно. Это преобразование следует из равенстваd~r = dξ i~ei = dη i~e0iТак как~ei = ~e0i +∂w~= ~e0i + ∇0i w0k ~e0k = (δik + ∇0i w0k )~e0k = cki~e0k∂ξ iГдеcki = (δik + ∇0i w0k )тоd~r = dξ i~ei = dξ i cki~e0k = dη k ~e0k3Откуда получимdη k = cki dξ iПреобразование от dξ i к dη i однородное линейное преобразование, с матрицей ||cki ||, компонентыкоторой могут зависеть только от координат точки M и не зависят от дифференциалов dξ i , т.е.