Pressure (1106130)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 3Напряженное состояние.План:1. Масса, плотность. Массовые и поверхностные силы.Внутренние поверхностные напряжения.2. Тензор напряжений.3. Условия равновесия.4. Главные нормальные напряжения и главные касательные напряжения.5. Поверхности напряжений Коши.1. Масса, плотность. Массовые и поверхностные силы.Внутренние поверхностные напряжения.Свойство инерции характеризуется массой m. Массу можно ввести как для всего тела, так и дляего частей. В механике Ньютона масса аддитивна: масса всего тела равна сумме масс mi его частейXm=miiСогласно гипотезе сплошности в механика сплошных сред рассматривает равновесие и движениегазов, жидкостей и деформируемых тел, масса которых считается распределенной непрерывно.Определение 1.Плотность ρ в произвольной точке P непрерывной среды определяется с помощью предельногоперехода∆mρ = lim∆V−→0 ∆ VЭто определение эквивалентно утверждению: элемент объема ∆ V , содержащий точку P , имеетмассу ∆ m = ρ ∆ V .Для конечного объема верно равенствоZm = ρ dτVгде интеграл берется по подвижному индивидуальному объему.Cилы, распределенные по объему V , называются объемными или массовыми силами.

Заметим,что массовые силы это силы дальнодействия. Они действуют без соприкосновения. Примерами~ = −~g , сила инерции F~ = −~a, пондеромоторные силы или силымассовых сил являются сила тяжести FЛоренца:~ = zi E~ + ~vi × B~FВместе с массой в пространстве непрерывно распределены и силы, обусловленные наличием массы.~ – главный вектор массовых сил действующий на элемент массы ∆m.

ТогдаОпределение 2. Если ´Fплотность F~ массовой силы в данной точке есть~ =F´vecFlim∆m−→0 ∆m1Для малой частицы~ ∆m~≈FF~ приходящуюся не на единицу массы, а на единицу объема. Определение 3.Иногда рассматривают силы Ф,~ =Ф~Flim∆V −→0 ∆VОчевидно,~ = ρF~ФКроме пространственно распределенных массовых сил на частицу сплошной среды действуют также поверхностные распределенные силы. В механике сплошной среды они играют основную роль.Поверхностные силы сводятся к передаче импульса при столкновениях. Они действуют на любойэлемент поверхности объема и на его границе Σ.Определение 4. Пусть ∆P~ –главный вектор поверхностных сил, действующих на элемент ∆σ поверхности S, тогда плотность поверхностных сил, определяется следующим образом:~∆Pp~ = lim∆σ−→0 ∆σОпределение 5. Силы называются внутренними, если они вызваны объектами принадлежащими системе и внешними, если они вызваны внешними по отношению к рассматриваемой системеобъектами.Понятие внешнних и внутренних сил относительно.Мысленно выделим в сплошной среде некоторый произвольный объем V и разобъем его сечениемS на две части V1 и V2 .

Если мы будем рассматривать движение одной из частей, например, V1 , то приэтом действие на нее второй части необходимо заменить распределенными по V1 массовыми силамии распределенными по S поверхностными силами. Так введенные силы взаимодействия будут внешними для V1 . Если же мы будем рассматривать движение объема V как целого, то эти силы будутвнутренними.Определение 6. Плотность внутренних поверхностных сил называется внутренним поверхностным напряжением.2. Тензор напряженийВыделим объем V сплошной среды, ограниченный регулярной поверхностью S.

Пусть dS элементповерхности, содержащий точку P . Положение элемента поверхности задается единичным вектором ~νвнешней нормали к поверхности.Предположим, что на элемент dS действует внешняя сила, равная T~(ν) d S, а момент отсутствует.Примем, что напряжение зависит только от положения точки P и направления вектора нормали к ней~ν , но не зависит от формы элемента поверхности d S и вида поверхности S.Таким образом, для рассматриваемой точки P мы имеем соответствие между векторами T~ (ν) инаправлениями ~ν пространства.

Покажем, что это соответствие выражается линейной и однороднойзависимостью напряжений от направляющих косинусов.Будем исходить из постулируемого в механике принципа равновесия. Он формулируется следующим образом.Если часть сплошной среды V , ограниченная замкнутой поверхностью S покоится илидвижется, то массовые силы, действующие в данный момент на эту часть среды, находятсяв равновесии с поверхностными силами, действующими в данный момент на поверхностьS.

Кроме того, должны быть уравновешены и моменты создаваемые массовыми и поверхностными силами.При движении среды в массовые силы должны включаться и силы инерции.2Применим принцип равновесия к бесконечно малому тетраэдру, три ребра P Q1 , P Q2 , P Q3 которогоимеют направления координатных осей (Рис. ). Пусть грань Q1 , Q2 , Q3 имеет площадь dS и внешнююнормаль ~ν . Тогда площади граней P Q2 Q3 , P Q3 Q1 , P Q1 Q2 можно записать в видеdS1 = dS cos(ν, x1 ), dS2 = dS cos(ν, x2 ), dS3 = dS cos(ν, x3 )Внешние нормали к этим граням направлены по отрицательным направлениям координатных осей.Действующее на площадки dS1 , dS2 , dS3 напряжения обозначим через T~1 , T~2 , T~3 , T~ (ν) соответственно.Тогда результирующая сила поверхностных сил, действующих на грани тетраэдра, выразится ввидеT~ (ν) dS − T~1 dS1 − T~2 dS2 − T~3 dS3 = [T~ (ν) − T~1 cos(ν, x1 ) − T~2 , cos(ν, x2 ) − T~3 , cos(ν, x3 )]dSОна пропорциональна площади рассматриваемой площадки.~ d V пропорциональна объему тетраэдра d V .Результирующая же массовых сил ρFЕсли мы уменьшим все линейные размеры тетраэдра в одинаковом отношении, то равнодействующая массовых сил будет стремится к нулю быстрее, чем равнодействующая поверхностных сил.В пределе в точке P необходимо выполнение следующего соотношения:T~ (ν) = T~1 cos(ν, x1 ) + T~2 cos(ν, x2 ) + T~3 cos(ν, x3 )Таким образом, напряженное состояние в точке определяется тензором напряжений T,который любому направлению ~ν пространства ставит в соответствие напряжение T~ (ν) , действующий на элемент поверхности, перпендикулярный вектору ~ν .Определение.Компоненты векторов T~1 , T~2 , T~3 обозначим через T11 , T12 , T13 ; T21 , T22 , T23 ; T31 , T32 , T33 и будем ихназывать компонентами тензора напряжений.Механическое значение компонент тензора напряжений.В силу приведенного выше определения компонент тензора составляющие Tii представляют собой нормальные напряжения , а Tij – касательные напряжения или напряжения сдвига дляэлементов поверхности перпендикулярных осям xi .Напряжение, направленное по нормали к элементу поверхности с вектором нормали ~ν ( нормальное напряжение)определяется выражениемT (ν ν) = T~ (ν) · ~ν = Tij νi νjМодуль касательного напряжения TS , действующего параллельно элементу площади определяется из соотношенияTS2 = T~ (ν) · T~ (ν) − TN2Замечание.

Применив принцип равновесия к трем объемам V1 , V2 и V можно показать, что длянепрерывных движений выполняется еще одно свойство внутренних напряжений:T~ (ν) = −T~ (−ν)Доказательство:Влияние объема V2 на V1 будем заменять распределенными поверхностными силам T~ (ν) d S и мас′совыми силами, плотность которых F~ , а влияние объема V1 на V2 будем заменять распределенными′′поверхностными силам T~ (−ν) d S и массовыми силами, плотность которых F~Из принципа равновесия следуетZZZZ~ ′ + T~ (ν) dσ + T~ (ν) dσρ~a = ρFV1V1Σ13SZZρ~a =V2~ ′′ +ρFρ~a =VT~ (ν) dσ +Σ2V2ZZZZT~ (−ν) dσS~+ρFZT~ (ν) dσΣVПосле сложения двух первых равенств и вычитания из их суммы третьего при условии, что длявнутренних массовых сил всегда выполняется закон действия и противодействия, т.е.ZZZ~ ′ + ρF~ ′′ = ρF~ρFV1будем иметьZV2V(T~(ν) + T~ (−ν) )d σ = 0SОтсюда в силу произвольности объемов V1 , V2 и V и сечения S вытекает, чтоT~ (ν) = −T~ (−ν)3.

Условия равновесия.Симметричность тензора напряжений в классическом случае.Пусть удельные массовые силы заданы полем F~ (x), напряжения – полем Tij (x).Массовая сила ρF d V , действующая на произвольный элемент объема, радиус вектор которого равен~r, создает момент относительно центра координат, равный~ d V = {εijk xj ρFk d V }~r × ρFПоверхностная сила T~ (ν) = {Tlk νl d S}, действующая на элемент S создает относительно началакоординат момент, равный~r × T~ (ν) d S = {εijk xj Tlk νl d S}где xj означает компоненты радиус-вектора, Fk –компоненты вектора плотности массовых сил.Принцип равновесия требует чтобы были уравновешены силы и моменты действующие на объем,т.е. выполнения условийZZTlk νl d S + ρFk d V = 0SZVεijk xj Tlk νl d S +SZεijk xj ρFk d V = 0VИспользуя формулу Гаусса, интегралы по поверхности преобразуемZZTlk νl d S = ∂l Tlk d VSZSεijk xj Tlk d S =ZV∂l (εijk xj Tlk νl )d V =VZVεijk Tjk dV +Zεijk xj ∂l Tjk dVVПри этом использовалось, что компоненты εijk не зависят от координат, и что ∂l xj = δlj .Условия равновесия, тогда запишутся в видеZ(∂l Tlk + ρFk )d V = 0V4Zεijk [Tjk + xj (∂l Tlk + ρFk )]d V = 0VТак как эти интегралы по объему с непрерывными подинтегральными выражениями обращаютсяв нуль при произвольном выборе объема V , то подинтегральные выражения должны тождественноравняться нулю.

Следовательно∂l Tlk + ρFk = 0~t = εijk Tjk = 0Левая часть последнего равенства представляет собой вектор, двойственный тензору напряжений~t = {T23 − T32 , T31 − T13 , T12 − T21 }. Равенство нулю этого вектора означает, что что тензор напряжений симметриченTij = TjiВследствие этой симметрии поле напряжений определяется только шестью функциями координат.Первых трех уравнений недостаточно для определения шести функций координат, задающих поленапряжений. Обычно, в таких случаях напряженное состояние сплошной среды называется статически неопределимым.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций