Deformation (Лекции в PDF), страница 2

приближенных координат близких точек. Следовательно, коэффициенты cki для малой частицы постоянны иэто преобразование афинное.Свойства афинных преобразований.• При афинных преобразованиях прямые переходят в прямые, плоскости– в плоскости, причемпараллельные прямые и плоскости переходят в параллельные прямые и плоскости. (В частностипараллелограмм переходит в параллелограм).Отсюда следует, что все равные одинаково направленные отрезки растягиваются (или сжимаютсяодинаково).• Отношение длин любого отрезка до и после преобразования (в силу того, что оно является отношением однородных функций первого порядка) не зависит от первоначальной длины отрезка, азависит только от его направления.

Отсюда следует, что коэффициент относительного удлинениялюбого отрезка l = (ds − ds0 )/ds0 также не зависит от длины отрезка, а зависит от его направления. Отрезок переходит в отрезок, причем отношение, в котором точка делит отрезок остаетсянеизменным.• Алгебраическая кривая или поверхность переходит в алгебраическую кривую или поверхностьтого же порядка.

Например, поверхность второго порядка переходит в поверхность второго порядка: сфера переходит в эллипсоид или сферу, причем сопряженные диаметры переходят всопряженные. У сферы все сопряженные диаметры ортогональны, у эллипсоида в общем случаесуществует единственная тройка ортогональных сопряженных диаметров. Следовательно, всегдасуществует, по крайней мере, один ортогональный триэдр, который переходит в ортогональныйтриэдр, т.е. существуют главные оси тензора деформаций.• Объемы при аффинных преобразованиях меняются, но величина относительного изменения объемаθ=V − V0V0не зависит от первоначальной формы и размеров объема.1.5. Тензор деформаций.′Рассмотрим два произвольных положения деформируемого тела и, в частности, его точек P и P ,в моменты времени t = 0 и t.

Тогда будем иметьd~r0 = dξ i~e0i , d~r = dξ i~eiВведем метрики пространств сопутствующей системы координат в моменты времени t = 0 и t. Вмомент времени t = 0 метрика задается метрическим тензором0gij= ~e0i · ~e0jДлина вектора d~r0 будет0|d~r0 | = ds0 , ds20 = gijdξ i dξ j ,В момент времени t имеемgij = ~ei · ~ej4длина соответствующего ему вектора d ~r будет|d~r| = ds, ds2 = gij dξ i dξ j ,Подчеркнем, что координаты точек в разные моменты времени в сопутствующей системе координат одинаковые, а компоненты метрических тензоров разные из–за того, что при движении меняютсябазисные вектора сопутствующей системы координат.Введем обозначение10εij =gij − gij2Тогдаds2 − ds20 = 2εij dξ i dξ jКомпоненты εij можно рассматривать как компоненты тензора.

так как он образован разностьюметрических тензоров.Можно образовать два тензора ε0 и ε̂, имеющих одинаковые ковариантные компоненты, но отнесенные к разным базисам ~e0j и ~ei .Тензор ε0 = εij ~e0i~e0j , отнесенный к начальному пространству, называется тензором деформацийГрина, атензор ε̂ = εij ~ei~ej отнесенный к актуальному пространству, называется тензором деформацийАльманси.1.6. Физический смысл компонент тензора деформацийКоэффициент относительного удлинения. Назовем коэффициентом относительного удлиненияl отношениеdsds − ds0l==−10dsds0где ds и ds0 проходят в соответствующие моменты времени через одни и те же точки сплошной среды.Ниже покажем, что коэффициент относительного удлинения зависит от точки P и на~правления элемента для которого он вычисляется, но не завист от длины dr.Бесконечно малая деформация и конечная деформация.

Деформация называется бесконечно малой если коэффициент относительного удлинения l в каждой точке сплошной среды и длякаждого направления мал.Если коэффициент относительного удлинения имеет конечное значение, то деформация называетсяконечной.Для абсолютно твердого тела все коэффициенты относительного удлинения равны нулю.Выражение компонент тензора деформаций через относительные удлинения и углы между базисными векторами. Запишем компоненты метрических тензоров в следующем видеgij = ~ei · ~ej = |~ei | · |~ej |cosψij ,00gij= ~e0i · ~e0j = |~e0j | · |~e0j |cosψij0 –углы между векторами ~Где ψij , ψijei , ~ej и ~e0i , ~e0j соответственно.Отношение модулей соответствующих базисных векторов базисов актуального и начального пространства будет ∂~r ∂ξ i |d~ri ||~ei ||d~si |= === li + 10r0|d~ri0 ||d~si0 ||~ei | ∂~∂ξ iГде dsi и dsi0 – элементы дуг координатных линий ξ i , а li – коэффициенты относительных удлиненийв направлениях ξ i .5Теперь метрический тензор актуального пространства можно записать в следующем видеgij = |~e0i | · |~e0j |(1 + li )(1 + lj )cosψijТогда для ковариантных компонент тензора деформаций имеем02εij = [(1 + li )(1 + lj )cosψij − cosψij]|~e0i | · |~e0j |Это выражение удобно для геометрического истолкования εij .Истолкование компонент тензора деформаций.• Компоненты εii c одинаковыми индексами.

Из полученного выше соотношения имеем2εii = [(1 + li )2 − 1]gii0Откудаli =s1+2εii−1gii0Если деформации малы, то εij малы и разложив в ряд получимεiili ≈ 0giiКроме того, если сопутствующая система в начальном состоянии взята декартовой, тоli ≈ εiiТаким образом, ковариантные компоненты тензоров деформаций с одинаковыми индексами в случае бесконечно малых деформаций совпадают с коэффициентами относительных удлинений вдоль декартовых осей координат начального состояния.• Компоненты εij с различными индексами.В начальном состоянии выберем в данной точке такую систему координат, в которой ~e0i взаимноортогональны, т.е.π0ψij=2Пустьπψij = − χij2получим2εij = (1 + li )(1 + lj )||~e0i |~e0j | = |~ei | · |~ej |sinχijилиsinχij = √2εij√gii gjjОткуда видно, что ковариантные компоненты εij с разными индексами характеризуютскашивание первоначально прямого координатного угла.Если деформации бесконечно малы и система координат в начальном состоянии декартова, тоgii0 = 1,gii = 1 + O(ε)С помощью разложения в ряд получимsinχij = 2εijилиχij = 2εijОтсюда видно, что в общем случае углы, бывшие в начальном состоянии прямыми, после деформации перестают быть прямыми и ковариантные компоненты εij с разными индексами(i 6= j) характеризуют скашивание первоначально прямого координатного угла.61.7.

Главные оси и главные компоненты тензоров деформаций.Главные оси. Напомним, что тензор деформаций является симметричным тензором, так как онопределяется разностью метрических тензоров.С каждым симметричным тензором, в том числе и с тензором деформаций, можно связать квадратичную форму εij dξ i dξ j . При этом, можно найти такую ортогональную систему координат η 1 , η 2 , η 3 , вкоторой она приведется к видуεij dξ i dξ j = ε11 (dη 1 )2 + ε22 (dη 2 )2 + ε33 (dη 3 )2Преобразование от ξ i к η i зависит от компонет εij , поэтому соответствующий ортогональный триэдрη i будет разным в разные моменты времени.0 такие оси, то в результате движения они перейдут в пространствеЕсли взять в пространстве gijgij (для сопутствующей системы) в соответствующие направления осей η i , которые также будут ортогональны.

Действительно, для таких осей η i компоненты εij при i 6= j равны нулю, а следовательноχij = 0, т.е. оси остаются ортогональными.0 и g 0 совпадаютТаким образом для переменных η 1 , η 2 , η 3 кординатные триэдры в пространствах gijijс главными осями тензоров ε0 и ε̂. Подчеркнем, что главные оси тензоров ε0 и ε̂ проходят через однии те же точки сплошной среды.Образуемый главными осями тензора деформаций в начальном состоянии ортогональный триэдр при данном перемещении остается ортогональным. Углы между главнымиосями не скашиваются.

Однако, ортогональный триэдр главных осей может перемещаться как абсолютно твердое тело: смещаться поступательно и поворачиваться. Заметим, чтоэлементы d~r, взятые вдоль главных осей, во время движения могут сжиматься или растягиваться.Главные компоненты тензоров деформаций. Вдоль главных осей η 1 , η 2 , η 3 тензора деформацийв момент времени t квадрат длины произвольно направленного элемента d~r может быть представленв виде суммыds2 = ds21 + ds22 + ds23гдеds2i = gii (dη i )2 ,(dη i )2 =ds2i.gii(суммирование по i отсутствует).Аналогично в начальном состоянии имеемds20 = ds201 + ds202 + ds203 ,ds20i = gii0 (dη i )2 ,(dη i )2 =X ε′X εiids2i0gii0Для разности квадратов длин получимds2 − ds20 = 2Xε′ii (dη i )2 = 2iiiigiids2i = 2ids20i0giiШтрих у ε′ij указывает, что ковариантные компоненты тензора деформаций взяты в главных осях.

Так0 || в главных осях имеют диагональный вид, то обратные им матрицыкак матрицы ||εii ||, ||gij || и ||gijiiijij0||ε ||, ||g || и ||g || в главных осях также имеют диагональный вид иgii0 =1,gii0gii =1.giiПоэтомуε′ii0= εi0i = εi ,gii0ε′ii= εii = εi ,gii7iЗдесь суммирование по i отсутствует. Величины εi0i , εi являются смешанными компонентами в соответствующих тензоров в соответствующих главных осях. Поэтомуds2 − ds20 = 2(ε1 ds21 + ε2 ds22 + ε3 ds23 ) = 2(ε01 ds201 + ε02 ds202 + ε03 ds203 )Итак, с каждой точкой среды можно связать обычные ортогональные декартовы системы координат(s01 , s02 , s03 ) и (s1 , s2 , s3 ), оси которых в результате перемещения переходят друг в друга. Соответствующие компоненты тензоров деформаций εi и ε0i в этих системах являются главными компонентами.Cвязь между величинами главных компонент Грина и Альманси, относительными удлинениями вдоль главных осей и главными компонентами тензоров деформаций.• Связь главных компонент тензоров деформаций ε0 и ε̂.Для направления d~ri , взятого вдоль i − −ой главной оси имеемds2i − ds20i = 2εi ds2iОткуда2εi = 1 −Аналогично,2ε0i =Откуда2εi = 1 −ds20ids2idsi 2−1ds20i12ε0i=1 + 2ε0i1 + 2ε0i• Выражения коэффициента относительного удлинения через главные компонентыТак какli =dsi − dsi0,dsi0тоli =r1− 1,1 − 2εili =√1 + 2ε0i − 1Если деформации бесконечно малы, то после разложения в ряд получимli = ε0i = εiКоэффициенты относительных удлинений вдоль главных осей в случае бесконечномалых деформаций совпадают как с главными компонентами тензора деформаций ε̂,так и с главными компонентами тензора деформаций ε0 в начальном пространстве.1.8.

Способ определения главных компонент тензораГлавные компоненты являются корнями кубического уравненияλ3 − I1 λ2 + I2 λ − I3 = 0,которое следует из уравнения|λδij − εji | = 0инвариантного относительно выбора системы координат. ЗдесьI1 = ε1 + ε2 + ε3 = εαα ,1I2 = ε1 ε2 + ε2 ε3 + ε3 ε1 = [(εαα )2 − εβα εαβ ],28I3 = ε1 ε2 ε3 = Det||εji ||1.9. Коэффициент кубического расширенияВозьмем в главных осях тензора деформаций в начальном состоянии параллелепипед с ребрамиds01 , ds02 , ds03 .