Список вопросов и задач к экзамену по аналитической геометрии (В.В. Колыбасова), страница 7

Известно, что = , где — матрица размера × , — матрица размера ×. Каковы размеры матрицы ?4.100. Известно, что = , где — матрица размера × , — матрица размера × . Каковы размеры матрицы ?4.101. Для матриц и известно, что = . Что можно сказать о размерахматриц и ?4.102. Что получится, если произвольную матрицу размера × умножить нанулевую матрицу размера × ?4.103. Что получится, если нулевую матрицу размера × умножить напроизвольную матрицу размера × ?1 1 4.104.

Вычислите () для всех натуральных . (Возведение матрицы в0 1натуральную степень означает произведение матрицы самой на себя раз.)1 1 4.105. Вычислите () для всех натуральных . (Возведение матрицы в1 1натуральную степень означает произведение матрицы самой на себя раз.)1 1 1 4.106. Вычислите (0 0 0) для всех натуральных . (Возведение матрицы в0 0 0натуральную степень означает произведение матрицы самой на себя раз.)4.107.

На какую матрицу нужно умножить матрицу , чтобы в результате получитьпервый столбец матрицы ?4.108. Какую матрицу нужно умножить на матрицу , чтобы в результате получитьпервую строку матрицы ?4.109. Пусть и — матрицы, для которых определено произведение = .Докажите, что -й столбец матрицы представляет собой линейную комбинациюстолбцов матрицы с коэффициентами, равными элементам -го столбцаматрицы .4.110. Пусть и — матрицы, для которых определено произведение = .Докажите, что ⅈ-я строка матрицы представляет собой линейную комбинациюстрок матрицы с коэффициентами, равными элементам ⅈ-й строки матрицы .4.111.

Пусть и — матрицы, для которых определено произведение = .Докажите, что -й столбец матрицы представляет собой произведениематрицы на -й столбец матрицы .4.112. Пусть и — матрицы, для которых определено произведение = .Докажите, что ⅈ-я строка матрицы представляет собой произведение ⅈ-й строкиматрицы на матрицу .254.113. Докажите, что если квадратные матрицы и коммутируют, то выполняетсяравенство ( + )2 = 2 + 2 + 2 . (Квадрат матрицы означает произведениематрицы самой на себя.)4.114.

Докажите, что если для квадратных матриц выполняется равенство ( + )2 =2 + 2 + 2 , то матрицы и коммутируют. (Квадрат матрицы означаетпроизведение матрицы самой на себя.)4.115. Докажите, что если квадратные матрицы и коммутируют, то выполняетсяравенство 2 − 2 = ( − )( + ). (Квадрат матрицы означает произведениематрицы самой на себя.)4.116. Докажите, что если для квадратных матриц и выполняется равенство 2 −2 = ( − )( + ), то матрицы и коммутируют. (Квадрат матрицы означаетпроизведение матрицы самой на себя.)4.117. Докажите, что если квадратные матрицы и коммутируют, то выполняетсяравенство ( + )( − ) = ( − )( + ).4.118.

Докажите, что если для квадратных матриц и выполняется равенство( + )( − ) = ( − )( + ), то матрицы и коммутируют.4.119. Докажите, что если — квадратная матрица порядка , а — единичнаяматрица порядка , то выполняется ( + )2 = 2 + 2 + . (Квадрат матрицыозначает произведение матрицы самой на себя.)4.120. Докажите, что если — квадратная матрица порядка , а — единичнаяматрица порядка , то выполняется ( + )3 = 3 + 32 + 3 + .

(Возведениематрицы в натуральную степень означает произведение матрицы самой насебя раз.)4.121. Коммутатором квадратных матриц и одинакового порядка называетсяматрица [, ] ≝ − . Докажите, что [, ] = −[, ].4.122. Коммутатором квадратных матриц и одинакового порядка называетсяматрица [, ] ≝ − .

Докажите, что [, ] = , где — нулевая матрица.4.123. Коммутатором квадратных матриц и одинакового порядка называетсяматрица [, ] ≝ − . Докажите, что [, ] = [, ] = , где — нулеваяматрица, — единичная матрица.4.124. Коммутатором квадратных матриц и одинакового порядка называетсяматрица [, ] ≝ − . Докажите, что [, + ] = [, ] + [, ].4.125. Коммутатором квадратных матриц и одинакового порядка называетсяматрица [, ] ≝ − . Докажите, что [, ] = [, ], где — произвольноечисло.4.126. Коммутатором квадратных матриц и одинакового порядка называетсяматрица [, ] ≝ − . Докажите, что [, ] = [, ] + [, ].4.127.

Коммутатором квадратных матриц и одинакового порядка называетсяматрица [, ] ≝ − . Докажите, что [, ] = −[ , ].4.128. Определите количество беспорядков в перестановке (3; 2; 5; 4; 1).264.129. Верно ли, что для любых квадратных матриц и одного порядкавыполняется равенство det() = det()? Если да, докажите это; если нет,приведите пример, опровергающий это равенство.4.130.

Пусть — квадратная матрица порядка , — число. Выразите det() черезdet .4.131. Пусть — невырожденная квадратная матрица порядка . Выразите det(−1 )через det .4.132. Пусть (), (), (), () — дифференцируемые функции. Докажите, что′ () ′ ()() ()ⅆ () ()=|+| ′||||.ⅆ () ()() () () ′ ()1 2 34.133. Не раскрывая определитель, докажите, что |4 5 6| = 0.7 8 94.134. Пользуясь свойствами определителей, докажите следующее тождество:sin2 cos 2 cos 2|sin2 cos 2 cos 2 | = 0.sin2 cos 2 cos 24.135. Пользуясь свойствами определителей, докажите следующее тождество:sin2 cos 2 1|sin2 cos 2 1| = 0.sin2 cos 2 14.136.

Пользуясь свойствами определителей, докажите следующее тождество:+ 1| + 1| = 0.+ 14.137. Не вычисляя определители, докажите следующее тождество:1 1 1 + 1 + 11 1 1|2 2 2 + 2 + 2 | = |2 2 2 |.3 3 3 + 3 + 33 3 34.138. Не вычисляя определители, докажите следующее тождество:1 + 1 1 − 1 11 1 1|2 + 2 2 − 2 2 | = −2 |2 2 2 |.3 + 3 3 − 3 33 3 300 −1 0000 14.139. Вычислите ||.100 00 −10 0 4.140. Пусть = () — невырожденная матрица. Вычислите −1 . 4.141. Докажите, что любая линейная комбинация симметричных матриц одногопорядка является симметричной матрицей.4.142. Докажите, что любая линейная комбинация кососимметричных матрицодного порядка является кососимметричной матрицей.274.143. Докажите, что если — невырожденная симметричная матрица, то −1 —тоже симметричная матрица.4.144.

Докажите, что если — невырожденная кососимметричная матрица, то −1 —тоже кососимметричная матрица.4.145. Пусть и — симметричные квадратные матрицы одного порядка. Докажите,что матрица симметрична тогда и только тогда, когда матрицы и коммутируют.4.146. Пусть и — кососимметричные квадратные матрицы одного порядка.Докажите, что матрица симметрична тогда и только тогда, когда матрицы и коммутируют.4.147. Пусть и — кососимметричные квадратные матрицы одного порядка.Докажите, что матрица кососимметрична тогда и только тогда, когда =−.4.148. Докажите формулу (−1 ) = −1 , где и — квадратные матрицыодного порядка, матрица невырождена и ∈ ℕ.

(Возведение матрицы внатуральную степень означает произведение матрицы самой на себя раз.)4.149. Пусть — невырожденная квадратная матрица. Докажите, что (−1 ) =( )−1 для любых ∈ ℕ. (Возведение матрицы в натуральную степень означаетпроизведение матрицы самой на себя раз.)cos − sin 4.150. Пусть () = (). Докажите, что −1 () = (−).sin cos cos − sin 4.151. Пусть () = ().

Докажите, что −1 () = ().sin cos cos − sin 4.152. Пусть () = (). Докажите, что ()() = ( + ).sin cos 1 24 −64.153. Решите матричное уравнение () = ().2 5211 24 −64.154. Решите матричное уравнение ()=().2 5211 2−10−104.155. Решите матричное уравнение ()()=().1 −11 −13 400 04.156. Найдите ранг и укажите базисный минор матрицы (−10 0).0 −1 01 0 −14.157.

Найдите ранг и укажите базисный минор матрицы ( 0 10).−1 01−1214.158. Найдите ранг и укажите базисный минор матрицы ( 000).1 −2 −110−10104.159. К столбцам 0 , −1 и1 добавьте ещё один столбец так, чтобы все00−1( 0) ( 0) ( 0)четыре столбца были линейно зависимыми.28−114.160. К столбцам ( 0) и (1) добавьте ещё один столбец так, чтобы все три столбца00были линейно независимыми.4.161. Приведите пример квадратной матрицы порядка 3, имеющей ранг 0; 1; 2; 3.Что можно сказать об определителе квадратной матрицы порядка , имеющейранг ?4.162.

Докажите, что если столбцы квадратной матрицы линейно зависимы, тостолбцы матрицы тоже линейно зависимы.4.163. Докажите, что если строки квадратной матрицы линейно зависимы, тостроки матрицы тоже линейно зависимы.4.164. Докажите, что если столбцы квадратной матрицы линейно независимы, тостолбцы матрицы тоже линейно независимы.4.165. Докажите, что если строки квадратной матрицы линейно независимы, тостроки матрицы тоже линейно независимы.4.166. Докажите следующее утверждение: для того чтобы столбцы матрицы былилинейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы был меньшеколичества её столбцов.4.167.

Докажите следующее утверждение: для того чтобы строки матрицы былилинейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы был меньшеколичества её строк.4.168. Какие значения может принимать ранг матрицы размера × ? Ответобоснуйте.4.169. Пусть rang = . Найдите rang . Ответ обоснуйте.4.170. Пусть — матрица размера × , rang = . Являются ли столбцы матрицылинейно зависимыми, если < ?4.171. Пусть — матрица размера × , rang = .

Являются ли столбцы матрицылинейно зависимыми, если = ?4.172. Пусть — матрица размера × , rang = . Являются ли строки матрицылинейно зависимыми, если < ?4.173. Пусть — матрица размера × , rang = . Являются ли строки матрицылинейно зависимыми, если = ?4.174. Могут ли быть линейно независимыми строки с тремя элементами, есликоличество строк равно 2; 3; 4? Приведите примеры.4.175.

Может ли ранг матрицы равняться , если какие-то её столбцов линейнозависимы? Может ли ранг матрицы равняться , если любые её столбцов линейнозависимы? Ответ обоснуйте.4.176. Может ли ранг матрицы равняться , если какие-то + 1 столбцов матрицылинейно независимы? Ответ обоснуйте.4.177. Каким может быть ранг матрицы, полученной из матрицы ранга вычёркиванием строк?4.178. Каким может быть ранг матрицы, полученной из матрицы ранга вычёркиванием столбцов?294.179. Докажите, что ранг диагональной матрицы равен количеству отличных отнуля элементов её главной диагонали.4.180.

Докажите, что ранг треугольной матрицы равен количеству отличных от нуляэлементов её главной диагонали.4.181. Постройте ФСР и найдите общее решение системы уравнений 1 + 2 + 3 = 0.4.182. Постройте ФСР и найдите общее решение системы уравнений + 2 + 3 = 0,{ 11 − 2 − 3 = 0.4.183. Найдите общее решение системы уравнений 1 + 2 + 3 = 1. + 2 + 3 = 1,4.184. Найдите общее решение системы уравнений { 11 − 2 − 3 = 2.1 + 1 = 14.185. Докажите, что если система уравнений {2 + 2 = 2 совместна, то3 + 3 = 31 1 1|2 2 2 | = 0.3 3 31 + 1 + 1 = 1 + 2 + 2 = 24.186.

Докажите, что если система уравнений { 2совместна, то3 + 3 + 3 = 34 + 4 + 4 = 41 1 1 1 2 2 2| 2| = 0.3 3 3 34 4 4 44.187. Известно, что столбец свободных членов линейной системы уравнений равенсумме столбцов её основной матрицы. Укажите какое-либо частное решениесистемы.4.188. Известно, что столбец свободных членов линейной системы уравненийсовпадает с последним столбцом её основной матрицы. Укажите какое-либочастное решение системы.4.189. Пусть и — столбцы решений систем линейных алгебраических уравнений = и = соответственно, а и — некоторые числа. Какой системеуравнений удовлетворяет столбец = + ? Ответ обоснуйте.4.190. Докажите, что однородная система из линейных алгебраических уравненийс неизвестными имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда рангеё основной матрицы меньше .4.191.