Список вопросов и задач к экзамену по аналитической геометрии (В.В. Колыбасова), страница 6

Упростите выражение [⃗ + ⃗⃗, ⃗ − ⃗⃗].⃗⃗. Докажите, что [⃗, ⃗⃗] =4.27. Векторы ⃗, ⃗⃗ и ⃗ удовлетворяют условию ⃗ + ⃗⃗ + ⃗ = 0[⃗⃗, ⃗] = [⃗, ⃗].4.28. Даны произвольные векторы ⃗, ⃗⃗, ⃗, ⃗. Докажите, что векторы [⃗, ⃗], [⃗⃗, ⃗] и [⃗, ⃗]компланарны.4.29. Векторы ⃗, ⃗⃗, ⃗, ⃗ связаны соотношениями [⃗, ⃗⃗] = [⃗, ⃗], [⃗, ⃗] = [⃗⃗, ⃗]. Докажите,что векторы ⃗ − ⃗ и ⃗⃗ − ⃗ коллинеарны.⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗4.30. Дан треугольник . Пусть = ⃗⃗. Найдите длину высоты, опущеннойиз вершины .4.31. Вектор ⃗ ортогонален векторам ⃗ и ⃗⃗, угол между векторами ⃗ и ⃗⃗ равен 30°.Зная, что |⃗| = 6, |⃗⃗| = 3, |⃗| = 3, вычислите (⃗, ⃗⃗, ⃗).4.32. Докажите тождество (⃗ + ⃗⃗, ⃗⃗ + ⃗, ⃗ + ⃗) = 2(⃗, ⃗⃗, ⃗).4.33.

Даны векторы: ⃗ = {5; 5; 0}, ⃗⃗ = {−4; 0; −3} и ⃗ = {2; −3; 2}. Являются ливекторы ⃗, ⃗⃗, ⃗ компланарными? Образуют ли они правую или левую тройкувекторов?4.34. Даны четыре точки в пространстве: (1 , 1 , 1 ), (2 , 2 , 2 ), (3 , 3 , 3 ),(4 , 4 , 4 ). Получите необходимое и достаточное условие того, что онипринадлежат одной плоскости.4.35. Докажите тождество Якоби: [⃗, [⃗⃗, ⃗]] + [⃗⃗, [⃗, ⃗]] + [⃗, [⃗, ⃗⃗]] = ⃗0⃗.4.36.

Представьте в алгебраической форме частное комплексных чисел 1 = 1 + ⅈ2и 2 = 2 + ⅈ2 .4.37. Найдите модуль и аргумент комплексного числа −7 − 4ⅈ. Изобразите число накомплексной плоскости.4.38. Изобразите на комплексной плоскости множество точек , удовлетворяющихнеравенству | − 0 | < , где 0 — фиксированное комплексное число, > 0.4.39. Изобразите на комплексной плоскости множество точек , удовлетворяющихнеравенству | − 0 | > , где 0 — фиксированное комплексное число, > 0.4.40. Изобразите на комплексной плоскости множество точек , удовлетворяющихравенству | − 0 | = , где 0 — фиксированное комплексное число, > 0.4.41. Найдите все значения корня из комплексного числа: √−4.34.42.

Найдите все значения корня из комплексного числа: √−8.44.43. Найдите все значения корня из комплексного числа: √16.214.44. Найдите комплексные корни уравнения 2 + 2 + 2 = 0.4.45. Для прямой на плоскости = + найдите вектор нормали и направляющийвектор.4.46. Получите необходимое и достаточное условие параллельности прямых =1 + 1 и = 2 + 2 на плоскости.4.47. Получите необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых = 1 + 1 и = 2 + 2 на плоскости.4.48. Докажите, что тангенс угла между двумя прямыми = 1 + 1 и = 2 + 2на плоскости равен |1 −21+1 2|.4.49.

На плоскости даны две несовпадающие точки: 1 (1 , 1 ) и 2 (2 , 2 ). Запишитеуравнение прямой, проходящей через точку 1 перпендикулярно вектору ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 2 .4.50. Запишите уравнение прямой на плоскости, проходящей через точки 1 (1 , 1 ) и2 (2 , 2 ), где 1 ≠ 2 .4.51. Запишите уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку 0 (0 , 0 )параллельно прямой + + = 0.4.52. Запишите уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку 0 (0 , 0 )перпендикулярно прямой + + = 0.4.53. Получите необходимое и достаточное условие перпендикулярности двухпрямых на плоскости 1 + 1 + 1 = 0 и 2 + 2 + 2 = 0.4.54.

Известно, что прямые на плоскости 1 + 1 + 1 = 0 и 2 + 2 + 2 = 0пересекаются в единственной точке. Найдите координаты этой точки.4.55. В пространстве даны две несовпадающие точки: 1 (1 , 1 , 1 ) и 2 (2 , 2 , 2 ).Запишите уравнение плоскости, проходящей через точку 1 перпендикулярновектору ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 2 .4.56. Получите необходимое и достаточное условие перпендикулярности двухплоскостей 1 + 1 + 1 + 1 = 0 и 2 + 2 + 2 + 2 = 0.4.57.

Запишите уравнение плоскости, проходящей через точки 1 (1 , 1 , 1 ),2 (2 , 2 , 2 ) и 3 (3 , 3 , 3 ), не лежащие на одной прямой.4.58. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точку 0 (0 , 0 , 0 )перпендикулярно плоскостям 1 + 1 + 1 + 1 = 0 и 2 + 2 + 2 + 2 = 0при условии, что векторы нормали к данным плоскостям не коллинеарны.4.59.

Запишите уравнение плоскости, проходящей через точки 1 (1 , 1 , 1 ) и2 (2 , 2 , 2 ) перпендикулярно плоскости + + + = 0 при условии, чтовектор нормали к плоскости не коллинеарен вектору ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 2 .4.60. Получите необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух−1−1−1 −2−2−2прямых в пространстве:==и==.111224.61. Дана плоскость + + + = 0 и прямая−02=−0=−0. Получитенеобходимое и достаточное условие того, что прямая перпендикулярна плоскости.4.62. Запишите канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей черезточки 1 (1 , 1 , 1 ) и 2 (2 , 2 , 2 ), где 1 ≠ 2 .224.63.

Получите необходимое и достаточное условие того, что прямые−11и−22=−22=−22−1=1−1=1лежат в одной плоскости.4.64. Запишите канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через−1−1−1точку 0 (0 , 0 , 0 ) параллельно прямой==.4.65. Запишите уравнение плоскости, проходящей через прямую−1точку 0 (0 , 0 , 0 ), не лежащую на этой прямой.4.66.

Запишите уравнение плоскости, проходящей через прямую−1=−0==−0−1=и−0перпендикулярно плоскости + + + = 0 при условии, что данная прямаяне перпендикулярна данной плоскости.−1−1−14.67. Запишите уравнение плоскости, проходящей через прямую==параллельно прямой−22=−22=−22111при условии, что направляющие векторыпрямых не коллинеарны.4.68. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точки 1 (1 , 1 , 1 ) и−0−0−02 (2 , 2 , 2 ) параллельно прямой==при условии, чтонаправляющий вектор прямой не коллинеарен вектору ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 2 .4.69. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точку 0 (0 , 0 , 0 )−1−1−1−2−2−2параллельно прямым==и==при условии, что111222направляющие векторы прямых не коллинеарны.4.70.

Запишите уравнение плоскости, проходящей через точку 1 (1 , 1 , 1 )−0−0−0перпендикулярно прямой==.1114.71. Запишите канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей черезточку 0 (0 , 0 , 0 ) перпендикулярно плоскости + + + = 0.−1−1−1−2−2−24.72. Известно, что прямые==и==пересекаются в222единственной точке. Запишите уравнение плоскости, в которой лежат эти прямые.−1−1−1−2−2−24.73. Известно, что прямые==и==параллельны, но несовпадают.

Запишите уравнение плоскости, в которой лежат эти прямые.−1−1−1 −24.74. Найдите расстояние между параллельными прямыми==и=−2=−2.4.75. Известно, что прямая−0=−0=−0параллельна плоскости + + + = 0. Найдите расстояние между прямой и плоскостью.−0−0−04.76. Найдите угол между прямой==и плоскостью + + + =0.4.77. Что представляют собой сечения эллиптического цилиндраплоскостями = const, = const и = const?23222+2=14.78. Что представляют собой сечения гиперболического цилиндра222−2=1плоскостями = const, = const и = const?4.79.

Что представляют собой сечения параболического цилиндра 2 = 2плоскостями = const, = const и = const?4.80. Что представляют собой сечения эллипсоидаconst, = const и = const?2222+2+2= 1 плоскостями =4.81. Что представляют собой сечения однополостного гиперболоидаплоскостями = const, = const и = const?2222+24.82.

Что представляют собой сечения двуполостного гиперболоида −1 плоскостями = const, = const и = const?4.83. Что представляют собой сечения конуса = const и = const?2222+2−2−2=12222−2+2== 0 плоскостями = const,4.84. Что представляют собой сечения эллиптического параболоида 2 =плоскостями = const, = const и = const?4.85. Что представляют собой сечения гиперболического параболоида 2 =222+2222−2плоскостями = const, = const и = const?4.86. Поверхность задана уравнением 2 + 2 + 2 = 1, содержащим параметр .Определите тип поверхности для всех возможных значении .4.87.

Поверхность задана уравнением 2 + 2 + 2 = , содержащим параметр .Определите тип поверхности для всех возможных значении .4.88. Поверхность задана уравнением 2 + 2 − 2 = , содержащим параметр .Определите тип поверхности для всех возможных значении .4.89. Поверхность задана уравнением 2 + ( 2 + 2 ) = 1, содержащим параметр .Определите тип поверхности для всех возможных значении .4.90.

Поверхность задана уравнением 2 + ( 2 + 2 ) = , содержащим параметр .Определите тип поверхности для всех возможных значении .4.91. Поверхность задана уравнением 2 + 2 = , содержащим параметр .Определите тип поверхности для всех возможных значении .4.92. Поверхность задана уравнением ( 2 + 2 ) = , содержащим параметр .Определите тип поверхности для всех возможных значении .4.93.

Поверхность задана уравнением 2 + 2 = , содержащим параметр .Определите тип поверхности для всех возможных значении .4.94. Поверхность задана уравнением 2 − 2 = , содержащим параметр .Определите тип поверхности для всех возможных значении .4.95. Приведите пример матриц и , для которых произведение определено, апроизведение не определено.4.96. Приведите пример матриц и , для которых произведения и определены, но имеют разный размер.244.97. Приведите пример матриц и , для которых произведения и определены и имеют одинаковый размер, но ≠ .4.98. Можно ли умножить строку с элементами на столбец с элементами; столбецс элементами на строку с элементами? Что получится?4.99.