Список вопросов и задач к экзамену по аналитической геометрии (В.В. Колыбасова), страница 5

Докажите, что если элементы двух строк определителя второго порядкапропорциональны, то определитель равен нулю.3.142. Докажите, что если элементы двух столбцов определителя второго порядкапропорциональны, то определитель равен нулю.3.143. Докажите, что если элементы двух строк определителя третьего порядкапропорциональны, то определитель равен нулю.3.144. Докажите, что если элементы двух столбцов определителя третьего порядкапропорциональны, то определитель равен нулю.3.145. Докажите формулу разложения определителя второго порядка на сумму двухопределителей второго порядка.3.146.

Докажите формулу разложения определителя третьего порядка на сумму двухопределителей третьего порядка.3.147. Докажите, что если ко всем элементам некоторой строки определителявторого порядка прибавить соответствующие элементы другой его строки,умноженные на число , то величина определителя не изменится.3.148. Докажите, что если ко всем элементам некоторого столбца определителявторого порядка прибавить соответствующие элементы другого его столбца,умноженные на число , то величина определителя не изменится.3.149.

Докажите, что если ко всем элементам некоторой строки определителятретьего порядка прибавить соответствующие элементы другой его строки,умноженные на число , то величина определителя не изменится.3.150. Докажите, что если ко всем элементам некоторого столбца определителятретьего порядка прибавить соответствующие элементы другого его столбца,умноженные на число , то величина определителя не изменится.173.151. Сформулируйте и докажите переместительное свойство сложения матриц.3.152.

Сформулируйте и докажите сочетательное свойство сложения матриц.3.153. Докажите, что если и — матрицы одинакового размера, — число, товыполняется ( + ) = + .3.154. Докажите, что для любой матрицы и для любых чисел , выполняется( + ) = + .3.155. Докажите, что для любой матрицы и для любых чисел , выполняется() = ().3.156. Докажите, что если и — матрицы одинакового размера, то − = +(−1) ⋅ .3.157. Докажите, что если и — матрицы одинакового размера, то ( + ) = + .3.158.

Докажите, что для любой матрицы и для любого числа выполняется() = .3.159. Докажите, что для любой матрицы выполняется ( ) = .3.160. Докажите, что если — матрица размера × , — единичная матрицапорядка , то выполняется = .3.161. Докажите, что если — матрица размера × , — единичная матрицапорядка , то выполняется = .3.162. Докажите, что единичная матрица коммутирует с любои квадратнои матрицеитого же порядка.3.163. Из определения определителя -го порядка, использующего понятияперестановок и беспорядков, получите выражение для определителя второгопорядка через его элементы.3.164. Из определения определителя -го порядка, использующего понятияперестановок и беспорядков, получите выражение для определителя третьегопорядка через его элементы.3.165. Сформулируите и докажите теорему об определителе верхнеи треугольноиматрицы.3.166.

Сформулируите и докажите теорему об определителе нижнеи треугольноиматрицы.3.167. Выведите формулу для определителя диагональнои матрицы. Чему равенопределитель единичнои матрицы? Чему равен определитель матрицы , где —число, — единичная матрица?3.168. Докажите, что если существует −1 , то матрица — невырожденная.3.169. Докажите, что если и — невырожденные квадратные матрицыодинакового порядка, то выполняется ()−1 = −1 −1 .3.170. Докажите, что если — невырожденная квадратная матрица, то выполняется( )−1 = (−1 ) .3.171.

Пусть — невырожденная квадратная матрица. Докажите, что (−1 )−1 = .183.172. Докажите, что если хотя бы один из столбцов 1 , 2 , …, является нулевым, тоэти столбцы являются линейно зависимыми. (Предполагается, что все столбцыимеют одинаковый размер.)3.173. Докажите, что если хотя бы одна из строк 1 , 2 , …, является нулевой, то этистроки являются линейно зависимыми. (Предполагается, что все строки имеютодинаковый размер.)3.174. Докажите, что если среди столбцов какие-либо < столбцов являютсялинейно зависимыми, то и все столбцов линейно зависимы. (Предполагается, чтовсе столбцы имеют одинаковый размер.)3.175.

Докажите, что если среди строк какие-либо < строк являются линейнозависимыми, то и все строк линейно зависимы. (Предполагается, что все строкиимеют одинаковый размер.)3.176. Сформулируйте теорему о необходимом и достаточном условии линейнойзависимости столбцов. Докажите необходимость.3.177. Сформулируйте теорему о необходимом и достаточном условии линейнойзависимости столбцов. Докажите достаточность.3.178. Сформулируйте теорему о необходимом и достаточном условии линейнойзависимости строк. Докажите необходимость.3.179.

Сформулируйте теорему о необходимом и достаточном условии линейнойзависимости строк. Докажите достаточность.3.180. Сформулируйте теорему о необходимом и достаточном условиисуществования нетривиального решения однородной системы из линейныхалгебраических уравнений с неизвестными. Докажите необходимость.3.181. Сформулируйте теорему о необходимом и достаточном условиисуществования нетривиального решения однородной системы из линейныхалгебраических уравнений с неизвестными. Докажите достаточность.3.182. Докажите, что любая линейная комбинация решений однородной системыиз линейных алгебраических уравнений с неизвестными тоже являетсярешением этой системы.4. Образцы простых задач4.1. Докажите, что для любых векторов ⃗ и ⃗⃗ выполняется неравенство треугольника|⃗ + ⃗⃗| ≤ |⃗| + |⃗⃗|.

В каком случае достигается равенство?4.2. Какому условию должны удовлетворять векторы ⃗ и ⃗⃗, чтобы вектор ⃗ + ⃗⃗ делилпополам угол между векторами ⃗ и ⃗⃗? (Предполагается, что все векторы отложеныот единого начала.)4.3. Даны две точки в пространстве: (1 , 1 , 1 ), (2 , 2 , 2 ). Найдите координатыточки, симметричной точке относительно точки .4.4. Даны три различные точки в пространстве: (1 , 1 , 1 ), (2 , 2 , 2 ), (3 , 3 , 3 ).Получите необходимое и достаточное условие того, что они лежат на однойпрямой.194.5. Известно, что — параллелограмм. Даны координаты трёх его вершин:(1 , 1 , 1 ), (2 , 2 , 2 ), (3 , 3 , 3 ).

Найдите координаты его четвёртой вершины.4.6. Точки и являются серединами сторон и четырехугольника 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗соответственно. Докажите, что ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ().24.7. Докажите, что если векторы ⃗1 , ⃗2 , …, ⃗ линейно независимы, а векторы ⃗1 , ⃗2 , …,⃗ , ⃗+1 линейно зависимы, то вектор ⃗+1 является линейной комбинациейвекторов ⃗1 , ⃗2 , …, ⃗ .4.8. Векторы ⃗, ⃗ являются линейными комбинациями векторов ⃗, ⃗⃗, ⃗.

Докажите илиопровергните утверждение: если векторы ⃗, ⃗⃗, ⃗ линейно независимы, то ивекторы ⃗, ⃗ линейно независимы.4.9. Векторы ⃗, ⃗, ⃗ являются линейными комбинациями векторов ⃗, ⃗⃗, ⃗. Докажитеили опровергните утверждение: если векторы ⃗, ⃗⃗, ⃗ линейно независимы, то ивекторы ⃗, ⃗, ⃗ линейно независимы.4.10. Векторы ⃗, ⃗ являются линейными комбинациями векторов ⃗, ⃗⃗, ⃗. Докажитеили опровергните утверждение: если векторы ⃗, ⃗⃗, ⃗ линейно зависимы, то ивекторы ⃗, ⃗ линейно зависимы.4.11.

Докажите, что все координаты нулевого вектора относительно любого базисаравны нулю.4.12. Докажите, что если все координаты вектора ⃗ относительно некоторого базисаравны нулю, то вектор ⃗ является нулевым.4.13. Дан правильныи шестиугольник . Пусть ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗. Разложите по⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, базису ⃗, ⃗⃗ векторы ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗. Разложите по базису ⃗, ⃗⃗ векторы,4.14. Дан треугольник . Пусть приложенные к вершинам треугольника и совпадающие с его медианами.4.15. Даны вершины треугольника: (1 , 1 , 1 ), (2 , 2 , 2 ), (3 , 3 , 3 ). Найдитекоординаты точки пересечения медиан треугольника.4.16. Точка является точкой пересечения медиан треугольника .

Докажите, что⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗.4.17. Может ли некоторый вектор составлять с координатными осями декартовойсистемы координат углы = 45°, = 135° и = 60°? Ответ обоснуйте.4.18. Вектор составляет с осями и углы = 120° и = 45° соответственно.Какой угол он составляет с осью ?4.19.

Какому условию должны удовлетворять векторы ⃗ и ⃗⃗, чтобы выполнялосьсоотношение |⃗ + ⃗⃗| = |⃗ − ⃗⃗|?4.20. Какому условию должны удовлетворять векторы ⃗ и ⃗⃗, чтобы выполнялосьсоотношение |⃗ + ⃗⃗| > |⃗ − ⃗⃗|?4.21. Какому условию должны удовлетворять векторы ⃗ и ⃗⃗, чтобы выполнялосьсоотношение |⃗ + ⃗⃗| < |⃗ − ⃗⃗|?204.22. Какому условию должны удовлетворять векторы ⃗ и ⃗⃗, чтобы векторы ⃗ + ⃗⃗ и⃗ − ⃗⃗ были ортогональны?4.23. Докажите, что вектор ⃗⃗(⃗, ⃗) − ⃗(⃗, ⃗⃗) ортогонален вектору ⃗.4.24. Докажите, что вектор ⃗⃗(⃗, ⃗) − ⃗(⃗, ⃗⃗) ортогонален вектору ⃗.4.25. Какому условию должны удовлетворять векторы ⃗ и ⃗⃗, чтобы векторы ⃗ + ⃗⃗ и⃗ − ⃗⃗ были коллинеарны?4.26.