Список вопросов и задач к экзамену по аналитической геометрии (В.В. Колыбасова)

МГУ им. М.В. Ломоносова, физический факультет, кафедра математикиСписок вопросов и задач к экзамену по аналитической геометрии1 курс, 1 поток, лектор В.В. Колыбасова2014–2015 г.ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА1. Определения1.1. Сформулируйте определение вектора. Что такое начало и конец вектора?Сформулируйте определение длины вектора.1.2. Сформулируйте определение нулевого вектора. Какую длину и направлениеимеет нулевой вектор?1.3. Сформулируйте определение коллинеарных векторов.

Каким векторамколлинеарен нулевой вектор?1.4. Сформулируйте определение равных векторов. Каким векторам равен нулевойвектор?1.5. Сформулируйте два определения суммы векторов (правило треугольника иправило параллелограмма). Для сложения каких векторов применимо каждое изних?1.6. Сформулируйте определение разности векторов.1.7. Сформулируйте определение произведения вектора на число.1.8. Сформулируйте определение линейной комбинации векторов. Что такоекоэффициенты линейной комбинации?1.9.

Сформулируйте определение линейно зависимых векторов.1.10. Сформулируйте определение линейно независимых векторов.1.11. Сформулируйте определение компланарных векторов.1.12. Сформулируйте определение упорядоченной пары векторов. Сформулируйтеопределение базиса на плоскости. Что такое координаты вектора относительноданного базиса?1.13. Сформулируйте определение упорядоченной тройки векторов. Сформулируйтеопределение базиса в пространстве. Что такое координаты вектора относительноданного базиса?1.14.

Сформулируйте определение оси. Сформулируйте определение проекциивектора на ось.1.15. Сформулируйте определение декартовой системы координат на плоскости. Чтотакое начало отсчёта, координатные оси, радиус-вектор и координаты точки?1.16. Сформулируйте определение аффинной системы координат на плоскости. Чтотакое начало отсчёта, координатные оси, радиус-вектор и координаты точки?11.17.

Сформулируйте определение декартовой системы координат в пространстве.Что такое начало отсчёта, координатные оси, радиус-вектор и координаты точки?1.18. Сформулируйте определение аффинной системы координат в пространстве.Что такое начало отсчёта, координатные оси, радиус-вектор и координаты точки?1.19. Сформулируйте определение направляющих косинусов вектора впространстве.1.20. Сформулируйте определение полярной системы координат.1.21.

Сформулируйте определение цилиндрической системы координат.1.22. Сформулируйте определение сферической системы координат.1.23. Сформулируйте определение угла между векторами.1.24. Сформулируйте определение скалярного произведения векторов. Чему равноскалярное произведение векторов, один из которых нулевой? Чему равноскалярное произведение вектора самого на себя? Как выражается угол междувекторами через их скалярное произведение?1.25. Сформулируйте определение ортогональных векторов. Каким векторамортогонален нулевой вектор?1.26. Сформулируйте определение правой тройки векторов. Приведите пример.1.27.

Сформулируйте определение левой тройки векторов. Приведите пример.1.28. Сформулируйте определение векторного произведения векторов. Чему равновекторное произведение векторов, один из которых нулевой? Чему равновекторное произведение вектора самого на себя?1.29. Сформулируйте определение левой аффинной системы координат впространстве.1.30. Сформулируйте определение левой декартовой системы координат впространстве.1.31. Сформулируйте определение правой аффинной системы координат впространстве.1.32.

Сформулируйте определение правой декартовой системы координат впространстве.1.33. Сформулируйте определение смешанного произведения векторов.1.34. Сформулируйте определение двойного векторного произведения векторов.1.35. Сформулируйте определение левой аффинной системы координат наплоскости.1.36. Сформулируйте определение правой аффинной системы координат наплоскости.1.37. Сформулируйте определение левой декартовой системы координат наплоскости.1.38. Сформулируйте определение правой декартовой системы координат наплоскости.1.39. Сформулируйте определение упорядоченной пары вещественных чисел.Сформулируйте определение комплексного числа. Что такое вещественная и2мнимая части комплексного числа? Какие комплексные числа называются чистомнимыми?1.40.

Сформулируйте определение равных комплексных чисел.1.41. Сформулируйте определение суммы комплексных чисел.1.42. Сформулируйте определение разности комплексных чисел.1.43. Сформулируйте определение произведения комплексных чисел.1.44. Сформулируйте определение мнимой единицы.1.45. Сформулируйте определение алгебраической формы комплексного числа.1.46.

Сформулируйте определение комплексно сопряжённого комплексного числа.1.47. Сформулируйте определение частного комплексных чисел. При каком условиичастное комплексных чисел существует?1.48. Сформулируйте определение операции возведения комплексного числа вцелую степень.1.49. Что такое комплексная плоскость? Что такое вещественная ось, мнимая ось?Как на комплексной плоскости расположены комплексно сопряжённые числа?1.50. Сформулируйте определение модуля и аргумента комплексного числа. Чтотакое главное значение аргумента?1.51. Сформулируйте определение тригонометрической формы комплексного числа.Какие комплексные числа можно представить в тригонометрической форме?1.52.

Запишите формулу Эйлера.1.53. Сформулируйте определение показательной формы комплексного числа. Какиекомплексные числа можно представить в показательной форме?1.54. Сформулируйте определение корня -й степени из комплексного числа.1.55. Сформулируйте определение вектора нормали к прямой.1.56.

Сформулируйте определение направляющего вектора прямой.1.57. Сформулируйте определение угла между прямыми на плоскости. Чему равенугол между параллельными прямыми?1.58. Сформулируйте определение вектора нормали к плоскости.1.59. Сформулируйте определение направляющих векторов плоскости.1.60. Сформулируйте определение угла между плоскостями. Чему равен угол междупараллельными плоскостями?1.61.

Сформулируйте определение эллипса. Что такое каноническое уравнение,каноническая система координат, полуоси, вершины, центр, фокусы, директрисы,эксцентриситет эллипса? Какие значения может принимать эксцентриситетэллипса? Изобразите эллипс в канонической системе координат. В каком случаеэллипс является окружностью? Что можно сказать об эксцентриситете, фокусах,директрисах окружности?1.62.

Сформулируйте инвариантное определение эллипса, вытекающее из егофокального свойства. Как построить эллипс с помощью карандаша и нитки?1.63. Сформулируйте инвариантное определение эллипса, вытекающее из егодиректориального свойства.31.64. Сформулируйте определение гиперболы. Что такое каноническое уравнение,каноническая система координат, полуоси, вершины, центр, фокусы, директрисы,эксцентриситет гиперболы? Какие значения может принимать эксцентриситетгиперболы? Изобразите гиперболу в канонической системе координат. Какаягипербола называется равносторонней? Чему равен её эксцентриситет? Что такоесопряжённая гипербола, каким уравнением она описывается?1.65. Сформулируйте инвариантное определение гиперболы, вытекающее из еёфокального свойства.1.66.

Сформулируйте инвариантное определение гиперболы, вытекающее из еёдиректориального свойства.1.67. Сформулируйте определение параболы. Что такое каноническое уравнение,каноническая система координат, фокальный параметр, ось, вершина, фокус,директриса параболы? Изобразите параболу в канонической системе координат.1.68. Сформулируйте инвариантное определение параболы.1.69. Сформулируйте определение кривой второго порядка.1.70. Сформулируйте определение инварианта уравнения кривой второго порядка.1.71.

Сформулируйте определение эллиптического цилиндра. Что такоеканоническое уравнение, каноническая система координат эллиптическогоцилиндра? Изобразите эллиптический цилиндр в канонической системекоординат.1.72. Сформулируйте определение гиперболического цилиндра. Что такоеканоническое уравнение, каноническая система координат гиперболическогоцилиндра? Изобразите гиперболический цилиндр в канонической системекоординат.1.73. Сформулируйте определение параболического цилиндра. Что такоеканоническое уравнение, каноническая система координат параболическогоцилиндра? Изобразите параболический цилиндр в канонической системекоординат.1.74. Сформулируйте определение эллипсоида.

Что такое каноническое уравнение,каноническая система координат, полуоси эллипсоида? Изобразите эллипсоид вканонической системе координат. Какой эллипсоид называется эллипсоидомвращения; сферой?1.75. Сформулируйте определение однополостного гиперболоида. Что такоеканоническое уравнение, каноническая система координат однополостногогиперболоида? Изобразите однополостный гиперболоид в канонической системекоординат.1.76.

Сформулируйте определение двуполостного гиперболоида. Что такоеканоническое уравнение, каноническая система координат двуполостногогиперболоида? Изобразите двуполостный гиперболоид в канонической системекоординат.41.77. Сформулируйте определение конуса второго порядка. Что такое каноническоеуравнение, каноническая система координат, вершина конуса второго порядка?Изобразите конус второго порядка в канонической системе координат.1.78.

Сформулируйте определение эллиптического параболоида. Что такоеканоническое уравнение, каноническая система координат эллиптическогопараболоида? Изобразите эллиптическии параболоид в канонической системекоординат.1.79. Сформулируйте определение гиперболического параболоида. Что такоеканоническое уравнение, каноническая система координат гиперболическогопараболоида? Изобразите гиперболическии параболоид в канонической системекоординат.1.80. Сформулируйте определение поверхности второго порядка.1.81. Сформулируйте определение матрицы. Что такое размер матрицы, элементыматрицы? Приведите пример. Какая матрица называется нулевой?1.82. Сформулируйте определение квадратной матрицы.