1-Погрешности измерений (Методические разработки к лабораторным работам), страница 3

Остальные цифры называются значащими. Например, в числе 0,0123 значащие цифры 1,2,3; в числе 508000, полученном округлением числа 507893, три нуля - незначащие(незначащие нули подчеркнуты). В конце числа могут быть и значащие нули. Так, например, во втором числе выражения 5 км = 5000 м нули не заменяют отброшенные при округлении цифры, а выражают точное соотношение между единицами длины.Для того, чтобы числа не содержали незначащих нулей, их принято записывать в показательной (экспоненциальной) форме с запятой после первой значащей цифры.

В этом случае числа предыдущих примеров имеютвид: 0,00123 = 1,23 10-2; 508000 = 5,08 105. Значащие нули при такой записине отбрасываются: 5 км = 5,000 103 м.В числах, выражающих значения, для которых указана погрешность,последняя цифра (сомнительная) стоит в том же разряде, что и перваязначащая цифра погрешности. Цифры, находящиеся в следующих разрядахкак самого числа, так и его погрешности, должны быть отброшены как неверные по правилам округления, причем погрешность округляют всегда всторону увеличения. Таким образом, сама погрешность содержит толькоодну значащую цифру. Однако, если первая цифра погрешности единица,то в погрешности оставляют две цифры, а в самом числе сохраняют лишний разряд.

Наконец, если данное число не является окончательным результатом, а будет участвовать в каких-либо вычислениях, то в нем, как и вего погрешности сохраняют лишний разряд.Запись окончательного результата измерения. В записиокончательного результата измерения должны содержаться:1) название измеряемой величины и ее буквенное обозначение;2) наиболее вероятное значение измеряемой величины, т.е. значение,получающееся в результате отсчета по прибору, если измерение проводилось однократно, или среднее арифметическое этих отсчетов, если измерение проводилось несколько раз.123) полная абсолютная погрешность измеряемой величины;4) единица измерения, в которой выражена измеряемая величина и ееполная абсолютная погрешность;5) доверительная вероятность результата;6) относительная погрешность, выраженная в виде десятичной дробиили в процентах.При записи результата измерения следует соблюдать приведенныевыше правила записи приближенных чисел.ПРИМЕР.

Пусть при измерении пять раз длины L предмета с помощью формул (1), (2) и (4) получены среднее арифметическое значениедлины L = 64,945 мм и стандартное отклонение среднего арифметического SL = 0,057879186 мм. Измерения проводились с помощью штангенциркуля с допустимой приборной погрешностью Lпр = 0,05 мм. Задавшисьдоверительной вероятностью = 0,95, находим по таблице 1 коэффициентСтьюдента для пяти измерений t n = 2,8. Умножив на него SL , получимслучайную погрешность Lсл = 0,16206172 мм. Полагая, что доверительнаявероятность приборной погрешности не менее 0,95, по формуле (6) найдемполную абсолютную погрешность измерения L = 0,16959953 мм и его относительную погрешность L / L 0,0026114332 .

Здесь предполагалось,что расчет проводился на калькуляторе с восемью значащими цифрами.Перед окончательной записью результата полученные при расчетечисла следует округлить. При этом в абсолютной погрешности L, перваязначащая цифра которой 1, следует оставить две значащих цифры, а в относительной погрешности L / L - одну, т.е. записать L = 0,17 мм иL / L = 0,003. Так как последняя значащая цифра абсолютной погрешности 7 находится в разряде сотых, то результат измерения длины также следует округлить до сотых, т.е. записать L = 64,95 мм.Таким образом, запись окончательного результата измерения должнаиметь следующий видL = (64,95 0,17) мм,L / L = 0,003 = 0,3%(доверительная вероятность 0,95).(7)Если результат желательно представить в метрах, то первая строкапримет видL = (6,4950,017) 10-2 м.137.

ПОГРЕШНОСТИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙОценка погрешностей, возникающих при косвенных измерениях, основывается на следующих предположениях.1. Относительные погрешности величин, полученных прямыми измерениями и участвующих в расчете искомой величины, должны быть малыпо сравнению с единицей (на практике они не должны превышать 10%).2. Для погрешностей всех величин, участвующих в расчете, принятаодна и та же доверительная вероятность. Эту же доверительную вероятность будет иметь и погрешность искомой величины.3.

Наиболее вероятное значение искомой величины получается, еслидля ее расчета используются наиболее вероятные значения исходных величин, т.е. их средние арифметические значения.Погрешность в случае одной исходной величины. Как будетвидно из дальнейшего, в одних случаях нахождение погрешности величины, при ее косвенном измерении удобно начинать с абсолютной погрешности, в других - с относительной.Абсолютная погрешность. Пусть искомая величина y, измеряемаякосвенно зависит только от одной величины a, полученной прямым измерением. Границы интервала, в котором с заданной вероятностью лежит величина a, определяются средним арифметическим значением a и полнойабсолютной погрешностью a величины a.

Это значит, что значение a моa.жет лежать внутри интервала с границами aПри косвенном измерении для величины y(a) такие границы будут определяться ее наиболее вероятным значением y y(a ) и погрешностьюy . Верхнейy, т.е. значения y лежат внутри интервала с границами yграницей для y (при монотонном возрастании) будет значение, соответстa ) . Таким обраy = y (aвующее верхней границе a, т.е. значение yзом, абсолютная погрешность y величины y имеет вид приращения функции y(a), вызванного приращением ее аргумента a на величину a его абсолютной погрешности.

Следовательно, можно воспользоваться правиламидифференциального исчисления, согласно которому при малых значенияхa приращение y можно приближенно выразить в видеyЗдесьdya.da(8)dy- производная по a функции y(a) при a a. Таким образом, абсоdaлютная погрешность окончательного результата может быть вычислена с14помощью формулы (8), причем доверительная вероятность соответствуеттой доверительной вероятности, которую имеет a.Относительная погрешность. Чтобы найти относительную по1 dyгрешность значения y, поделим (8) на y и примем во внимание, что y daпредставляет собой производную по a натурального логарифма y.

В результате получитсяyy1 dyay dad (ln y )a.daЕсли в это выражение подставить a a и yносительной погрешностью величины y.(9)y, то его значение и будет от-Погрешность в случае нескольких исходных величин. Вобщем случае в формулу, по которой вычисляется величина y, измеряемаякосвенно, может входить несколько исходных величин a, b, c, ... , для которых прямыми измерениями получены средние значения a , b , c, ... и полные абсолютные погрешности a, b, c, ...

. Нахождение погрешностиy величины y в этом случае основывается на следующих предположениях.1. Наличие погрешности одной из исходных величин не влечет за собой обязательного появления погрешностей других исходных величин, т.е.погрешности различных величин, найденных прямыми измерениями, представляют собой независимые случайные числа. Поэтому частную погрешность (вклад в общую погрешность одной из исходных величин) можно находить, полагая погрешности всех других исходных величин равными нулю.2.

При нахождении общей погрешности искомой величины складываться должны квадраты ее частных погрешностей так, как это делается длянахождения полной абсолютной погрешности прямого измерения, обусловленной независимыми между собой случайной и приборной погрешностями.Абсолютная погрешность. Из пункта 1 следует, что правило длянахождения любой частной погрешности величины y такое же, как и в томслучае, когда y зависит только от одной исходной величины. Но при дифференцировании в формуле (8) следует брать частную производную y поданной исходной величине, так как предположение об отсутствии погрешностей у других исходных величин соответствует постоянству этих величин. Таким образом, частные погрешностиya ,yb ,yc, ...

величиныy(a,b,c,...) вычисляются по формулам15yyaaa,yybbb,yyccc,...(10)Здесь в выражения (10), полученные в результате дифференцирования, следует подставить средние арифметические значения исходных величинa , b , c, ...Абсолютная погрешность величины y, обусловленная всеми частнымипогрешностями, как это следует из пункта 2, равнаyy2ya2yb2...c(11)илиyay2yba22ycbc... .(12)Так как выражения (10) для частных погрешностей могут быть довольно громоздкими, то легче сначала по формулам (10) найти их численные значения, а затем воспользоваться формулой (11). Формулу же (12) вообще при этом писать не требуется.Относительная погрешность.

Вычисление относительной погрешностиyвеличины y, измеряемой косвенно, в случае ее зависимостиyот несколько исходных величин a, b, c, ... аналогично вычислению абсолютной погрешности с тем лишь отличием, что для нахождения частныхотносительных погрешностей берутся частные производные от натурального логарифма y(a,b,c,...):yyaln yayya,yyln yccln ybbc,...b,(13)После дифференцирования сюда следует подставить на место величинa, b, c, ...