1-Погрешности измерений (Методические разработки к лабораторным работам), страница 2

Следовательно, погрешность среднего арифметического должна при этом уменьшаться. Согласно теории вероятностейсредняя квадратичная погрешность, или стандартное отклонение,среднего арифметического определяется формулойSaSainai2,n(n 1)т.е. S a с возрастанием числа измерений nнально(4)убывает обратно пропорцио-n.Стандартное отклонение среднего арифметического имеет следующийсмысл. Если проведено достаточно большое число серий измерения некоторой величины а и каждая из этих серий содержит одинаковое достаточнобольшое число отдельных измерений, то вероятность того, что среднееарифметическое a серии отличается от истинного значения a не более,чем на S a , составляет 0,67 = 67%.Доверительный интервал и доверительная вероятность.Вероятность того, что истинное значение измеряемой величины лежитвнутри некоторого интервала, называется доверительной вероятностью, или коэффициентом надежности, а сам интервал - доверительным интервалом.

Каждой доверительной вероятности соответствует свой доверительный интервал. В частности, доверительной вероятности0,67 соответствует доверительный интервал от a Sa до a Sa . Однакоэто утверждение справедливо только при достаточно большом числе измерений (более 10), да и вероятность 0,67 не представляется достаточно надежной - примерно, в каждой из трех серий измерений a может оказаться запределами доверительного интервала.

Для получения большей уверенности7в том, что значение измеряемой величины лежат внутри доверительногоинтервала, обычно задаются доверительной вероятностью 0,95 - 0,99. Доверительный интервал для заданной доверительной вероятности с учетомвлияния числа измерений n можно найти, умножив стандартное отклонениесреднего арифметического на так называемый коэффициент Стьюдента t n.Коэффициенты Стьюдента для ряда значений и n приведены в таблице 1.Таблица 1Коэффициенты Стьюдента t n.Число изме-Доверительная вероятностьрений n0,670,900,950,9922,06,312,763,72,94,3341,32,43,25,851,22,12,84,661,22,02,64,071,92,481,92,491,92,31,82,3151,82,1201,72,11,72,0101,11001,03,32,6Окончательно, для измеряемой величины а при заданной доверительной вероятности и числе измерений n получается условиеaВеличину aслстью величины а.t n Saaat n Sa .(5)t n Sa мы будем называть случайной погрешно-85.

ПРИБОРНЫЕ ПОГРЕШНОСТИПредполагая, что приборные погрешности, имеющие систематическийхарактер, устранены (весы выставлены по отвесу и уравновешены в отсутствие нагрузки, стрелка отключенного электроизмерительного прибора показывает на нуль, часы выверены по сигналам точного времени и т.д.), мывсе приборные погрешности будем относить к случайным. Такие погрешности могут возникать при изготовлении приборов или при их градуировке.Обычно довольствуются сведениями о допустимых приборных погрешностях, сообщаемых заводами-изготовителями в паспортах, прилагаемых кприборам. Завод ручается, что погрешности отсчета по прибору не выходятза пределы, указываемые в паспорте. При этом остаются неизвестными никонкретная величина, ни знак погрешности, получающейся в результатеотдельного измерения данным прибором. Поэтому такие погрешностиследует относить к случайным погрешностям с достаточно большой доверительной вероятностью (порядка 0,95 и выше).

Допустимые погрешностиобычно включают в себя и те, которые могут возникнуть при приведенииприборов в рабочее состояние (установке на нуль и т.п.) при условии выполнения заводской инструкции.Приведем допустимые погрешности некоторых приборов, используемых в лабораториях физического практикума.Допустимая погрешность:1. Приборы, снабженные нониусом (штангенциркукули, угломерные инструменты и пр.) как правило, имеютдопустимую погрешность, равную цене деления нониуса:а) штангенциркули с пределами измерения 0-125 мми ценой деления нониуса 0,1 мм . .

. . . . . . . .. . . . 0,1 ммб) штангенциркули с пределами измерения 0-150 мми ценой деления нониуса 0,05 мм . . . . . . . . . . . . 0,05 ммв) штангенциркули с пределами измерения 0-250 мми ценой деления нониуса 0,05 мм . . . . . . . . .. . . . . 0,1 мм2. Микрометры . . . . . . . . . . . .. . . . . . 0,004 мм3.

Индикаторы часового типа для измерения малыхразмеров с ценой деления 0,01 мм:а) с пределами измерения 0-2 мм. . . . . . . . . . . 0,012 мм9б) с пределами измерения 0-10 мм. . . . . .. . . 0,022 мм4. Технические весы с нагрузкой до 5 кг и наименьшимразновеском в 100 мг . . . . . . . . . . . . . . . . 0,1 г5.

Секундомеры механические с ценой деления 0,2 и0,1 с при измерении промежутка времени 120 с (погрешностьхода по сравнению с эталонными часами) . . . . . . . 0,1 с6. Лабораторные ртутные термометры ( без указаниякласса точности ) . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . 1оССтрелочные электроизмерительные приборы по величине допустимойпогрешности делятся на классы точности, которые обозначаются нашкалах приборов цифрами 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0 (цифры могутбыть помещены в кружок или ромбик). Класс точности показывает величину допустимой погрешности в процентах от значения измеряемой величины, соответствующего отклонению стрелки до последнего деления шкалы.Например, если у прибора последнее деление шкалы 300 В, а класс еготочности 0,5, то допустимая погрешность равна 0,5% от 300 В, или300 0,5/100 В = 1,5 В. Такая же допустимая погрешность 1,5 В будет и длялюбого другого значения, измеряемого по этой шкале.В случае многошкального прибора, имеющего разные пределы измерения и дающего возможность измерять различного рода величины (силутока, напряжение, сопротивление и т.д.) класс точности обычно не зависитот предела измерения, но может зависеть от рода тока (постоянный или переменный) и от рода измеряемой величины.

На шкале такого прибора указывается несколько классов точности с условными обозначениями у каждого из них ( ─ или ─ - постоянный ток, ~ или - переменный ток, ~ - ипостоянный и переменный ток, - сопротивление, F или Cx - емкость ит.д.).Цифровые электроизмерительные и прочие приборы имеют как правило допустимую погрешность, составляющую 1-2 единицы последнего индицируемого разряда.Если сведений о допустимой приборной погрешности не имеется, то вкачестве нее можно принять половину наименьшего деления шкалы прибора или половину наименьшего значения измеряемой величины, котороееще можно найти при помощи этого прибора. Например, при измерениидлины линейкой с миллиметровыми делениями за допустимую погрешность принимается 0,5 мм.Допустимые погрешности, приведенные здесь, относятся к точностиизготовления самого прибора.

При измерении же прибором в ряде случаевпогрешность может быть заметно больше. Например, из-за трудности от10счета на глаз десятых долей миллиметра погрешность при измерении металлической линейкой может составлять 0,2-0,3 мм, хотя сама линейка изготовлена с точностью до 0,1 мм. При измерении секундомером небольшихпромежутков времени (менее 5 минут) погрешность определяется не точностью хода секундомера, а запаздыванием при включении и выключении,и составляет обычно 0,2-0,4 с. Подобные погрешности рассматриваются некак приборные, а как случайные.6. ПОЛНАЯ ПОГРЕШНОСТЬСложение погрешностей. В теории вероятностей показывается,что в тех случаях, когда погрешности вызываются несколькими независимыми друг от друга случайными причинами, то складываются не сами погрешности, а их квадраты.

Поэтому полная абсолютная погрешность aизмеряемой величины выражается через ее случайную aсл и приборнуюaпр погрешности формулойa2aслaп2р .(6)Здесь предполагается, что погрешностям aсл и aпр соответствуют приблизительно одинаковые доверительные вероятности. Такую же доверительную вероятность будет иметь и a.Из формулы (6) следует, что в случае, когда одна из погрешностей aслили aпр даже в небольшое число раз меньше другой, то ее вклад в полнуюпогрешность оказывается незначительным. В частности, если одна из погрешностей составляет менее 1/5 другой, то ее квадрат будет уже менее1/25 квадрата другой, а вклад в полную погрешность - менее 1/50. Ясно, чтов таком случае меньшей погрешностью можно пренебречь.В некоторых случаях при многократных измерениях получается однои то же значение измеряемой величины.

Это означает, что случайная погрешность не превышает наименьшего значения, которое может быть измерено данным прибором. В таких случаях полная погрешность целикомопределяется допустимой приборной погрешностью.Относительная погрешность. Кроме абсолютной погрешностирезультат также характеризуется еще и относительной погрешностью,т.е. отношением a к среднему арифметическому значению a .

Относительная погрешность a / a выражается в виде десятичной дроби или впроцентах и показывает качество измерения. Если при измерениях получена относительная погрешность более 10%, то говорят, что произведено неизмерение, а лишь оценка измеряемой величины. В лабораториях физического практикума относительная погрешность обычно составляет 1-10%. В11научных же лабораториях измерения некоторых физических величин, таких, например, как длина световой волны, осуществляется с точностью порядка миллионной доли процента.Запись приближенных чисел.

Поскольку значения физических величин, полученные в результате измерений, имеют погрешности, они выражаются не точными, а приближенными числами. Незначащими цифрамиприближенного числа называются нули, стоящие слева в десятичных дробях до первой отличной от нуля цифры, и нули, поставленные в конце числа, вместо цифр, отброшенных при округлении.