Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу, страница 4

(здесь символами НыНг,... обозначены некоторые различные последовательности из нулей и единиц). Возьмем последовательность, составленную из "диагональных" элементов: (Лы, Лгг, Лзз,,), и поменяем все разряды на противоположные, т.е. единицы заменим на нули, а нули — на единицы. Получим Н вЂ” (Ьы Ьгъ Ьзз ). Этот элемент не совпадает ни с одним из Нм, т.е. он не занумерован. Имеет место противоречие. Определение 4. Мощность множеств, эквивалентных множеству всех последовательное гей, составленных из нулей и единиц, называется моягностью континуума. Утверисдение 4.

Множество 1 точек отрезка [О, 1) имеет мощность континуума. Д о к а з а ~п е л ь с т в о. В двоичной записи каждая точка единичного отрезка [0,1) может быть записана в виде О,Ь16263,..., ль = [, /с = 1,2,3,. Такая запись единственна, эа исключением чисел вида и/2", к, и Е г1. А числам такого вида соответствуют в точности две записи [у одной, начиная с некоторого номера, все цифры равны О, а у другой все единицы).

Для всех точек, за исключением точек вида п/2", установим соответствие так: х = [хыхю, ..) ++ О,ям хм А так как множество точек вида и/2" счетно, то счетным множеством является также множество Последовательностей, им соответствующих. Следовательно, между ними можно установить взаимно однозначное соответствие и тем самым будет установлено взаимно однозначное соответствие между точками отрезка [0,1) и множеством последовательностей, составленных из нулей и единиц, т.е. множество точек отрезка имеет мощность континуума. Лекция 3 > 3.

ВЕЩЕСТВЕННЪ|Е ЧИСЛА В этом семестре и далее мы преимущественно будем иметь дело с числовыми функциями, областью определения и множеством значений которых являются числовая ось, отрезки, интервалы, промежутки на этой оси или какие-нибудь другие ее подмножества. При этом потребуется более глубокое представление о вещественных числах, чем то, с которым имеет дело школьная программа по математике. Подчеркнем, однако, что мы будем целиком на нее опираться и уточним только то. что действительно требует большей ясности. В отношении рациональных чисел мы ничего уточнять не будем. Рациональные числа — это обыкновенные дроби. Вещественные числа, которые рациональными не являются, как известно, называются иррациональными.

Следует отметить, что вещественные числа — как рациональные, так и иррациональные — в природе не существуют. Они — абстракция и придуманы для практических нужд, о чем говорит здравый смысл. Можно сказать, что они породили саму математику, а в дальнейшем она предъявила к числам свои требования. И оказалось, в частности, что одни только рациональные числа этим требованиям не отвечают.

Самое простое и естественное назначение чисел в математике— измерение длин отрезков. Это означает, что длина каждого отрезка должна измеряться вещественным числом. С другой стороны, заме. тим, например, что диагональ единичного квадрата иа коордииатиоп плоскости ие мозкет измеряться рациональным числом а.

Действительно, если это число рациональное, то а = "— „', |т, и) = 1, и по теореме Пифагора имеем тз аз 2 пз Следовательно, тз = 2пз. Рассмотрим возможные случаи: 1) т нечетно; 2) гп четно. 1. Если т нечетно, то гп = 2к+ 1, тз = 4/се+ 4/с+ 1 нечетно и потому равенство тз = 2пз невозможно. 2. Если гп четно, то т = 2к, тз = 4кз и 2!ез = пз. Но тогда, рассуждая аналогично, получим, что и тоже четно.

А это значит, что оба числа гп и и делятся на 2, откуда (т,п) > 2, что противоречит условию. Значит, а — не рациональное число, что и требовалось доказать. Задача измерения длины отрезка (относительно заранее заданного "эталонного" единичного отрезка) решается полностью с помощью бесконечных десятичных дробей. Их-то мы и будем называть вещественными (действительными) числами. Итак, вепхествеиное число — эязо бесконечная десявзичная дробь, ваязвая со знаком "плюс" или "минус". Замечания.

1. Знак "плюс" в записи можно опустить. 2. Десятично-рациональные числа, т.е, числа вида 5/10" имеют при этом два представления, которые нами отождествляются, и мы можем считать, что нет десятичных дробей, имеющих цифру 9 на всех местах, начиная с некоторого, 3. Мы отождествляем вещественные числа и точки вещественной числовой оси, служащей иэображением множества вещественных чисел. 4. Множество всех вещественных чисел обозначается буквой Ж. Основные свойства вещественных чисел.

1о. Ча,Ь имеем: или а= Ь, Ь = а, или а > Ь, Ь ( а, илн а < 6, Ь > а. 2о. Если а>6, 6>с, то а>с. Если а=6,6=с, то а=с. Зо. Уа,6 б 2 3! число с б 51, такое, что а+6 = с. 4о. 'га, Ь, с б 51 имеем (а + 6) + с = а + (6 + с) . 5о, Уа, Ь б )к имеем а + 6 = 6+ а. бо. Л! число 0 б 34 такое, что а + О = 0 + а = а. 7~. 7а б % 3! ( — а) б 51 такое, что а + ( — а) = О. 8~, Ча, 6 б 51 3! с б И такое, что а6 = с. 9~. Уа, Ь, с б Ж имеем (а6) с = а(Ьс).

10 . 7а, Ь б Ж имеем аЬ = Ьа. 11о. 3! число 1 ф 0 такое, что а 1 = 1. а = а. 12о. Ча ф 0 3! а ' такое, что аа ' = 1. 13о. (а+ Ь)с = ас+ Ьс. 14о. Если а > 6, то а+ с > Ь+ с. 15~. Если а > 6, с > О, то ас > 6с. Указанные свойства вещественных чисел призваны отражать количественные характеристики простейших математических объектов, таких, например. как длины отрезков, площади прямоугольников и объемы прямоугольных параллелепипедов, а также изменения этих величин при различных преобразованиях.

Запись числа в виде бесконечной дроби, которую мы отождествили с самим числом, можно было бы рассматривать как одно иэ подобных свойств. С другой сторояы, свойствам 1о — 15о обязаны отвечать рекуррентные процедуры определения последовательности десятичных го знаков для результатов арифметических операций над двумя вещественными числамн, заданными бесконечными десятичными дробями.

Эти процедуры могут быть заданы на основе правила сравнения величин бесконечных десятичных дробей, которое будет рассмотрено далее при доказательстве полноты множества вещественных чисел. Априорность свойств вещественных чисел, т.е. тот факт, что они рассматриваются в качестве исходных для построения дальнейшей теории, наводят на мысль считать их аксиомами, которые определяют (вместе с двумя другими свойствами) само множество вещественных чисел. Однако подобный подход нас не вполне устраивает, поскольку понятие натурального числа неявно присутствует в законах логики, на которые мы опираемся в своих рассуждениях ([19], с. ЗТ2-378), Подчеркнем однако исключительную плодотворность аксиоматического метода для обоснования исходных принципов в других областях математики.

Прекрасным примером этого является идущая от Евклида аксиоматика элементарной геометрии. Есть еще несколько важных свойств вещественных чисел. К ним прежде всего относится аксиома Архимеда (287-212 гг. до н.э.), он сформулировал ее для отрезков: 16 е, тобй, о>0 Э пб)4 такое, что оп>1. Д о к а з а ш е л ь с ш в о. Если о > 1, то можно взять и = 1 и доказывать больше нечего. Если же 0 < о < 1, то о= 0,0...око»+~..., о~ = '= ок 1 = О, бк ~ О, Тогда имеем 10»о = ок,ок+1 > ок > 1, т.е. свойство 16е имеет место при и = 10», что и требовалось доказать. Свойство 1Те сформулируем и докажем позже, Рассмотрим теперь только неотрицательные числа.

Договоримся, что для десятично-рациональных чисел рассматривается только запись, заканчивающаяся нулями. Число, стоящее перед запятой в десятичной записи числа э, будет целым, и оно называется целой чаемый э или анп»ье ош х. Пишется так: [*]. Число, стоящее после запятой, называется дробной частью х. Пишется так: (х). Очевидно, [я]+(э) = э.

Имеем, что [я] есть наибольшее целое, не превосходящее х. Это свойство берется в качестве определения значения символа [х] при отрицательных я. Примеры: [1,5] = 1; [0,3]= 0; [ — 0,7] = — 1; [-3,5] = -4. Далее, при х < 0 символу (я) дробной части числа я мы приписываем значение; «я) = э — [э]. Таким образом, при всех я значение символа (х) удовлетворяет условию 0 < (я) < 1. Определим модуль, или абсолютную величину, числа х: е сли х>0, [х[= если х<0 ([х[ выражает расстояние от нуля до точки х на вещественной оси).

Имеет место следующее неравенство (неравенство тиреугольниха): [а+ Ь[ < [а[+ [Ь[. Докажем это неравенство. Имеем: 1) если аЬ > О, то [а+ Ь[ = [а[+ [Ь[; 2) если аЬ < О, то [а+ Ь[ < [а[+ [Ь[. Множество М точек х, удовлетворяющих неравенствам: а < х < 6, называется интервалом (пишут: М = (а, 6)); а < х < Ь или а < х < Ь вЂ” полуинтервалом (М = (а, Ь] или М = [а, Ь)); а < х < 6 — отрезком или сегментом (М = [а, 6]); каждое из них называется промежутком. Множество Ь точек х, определяемое соответствующим условием, называется: х < а или х > а — открытый луч (обозначения: Л = (-со, а) или Ь = (а,+со)); х < а или х > а — замкнутый луч (обозначения: Ь = ( — со, а] илн Е = [а,+оо)); а — вершина луча.

Здесь символ +со читается плюс бесконечность, а символ — ос— минус бесконечность. Лепнин 4 э 4. ПОЛНОТА МНОЖЕСТВА ВЕЩЕСТВЕННЪ|Х ЧИСЕЛ Определение 1. Непустое множество А на вещественной оси К называется ограниченным сверху, если существует число 6 б % такое, что для всех а б А выполнено неравенство а < Ь. Другими словами, ЧабА яь а<6. Число Ь называется верхней гранью множества А.

У ограниченного сверху множества существует бесконечно много верхних граней, например 6+ 1, Ь+ 2, 5 и т.д. Аналогично определяем нижнюю грань Ы непустого множества А: Ча б А аь Ы< а. Непустое множество А называется ограниченным, если существует Ь > О, такое, что для всех а б А имеем )а) < Ь, Множество В всех верхних граней Ь непустого ограниченного сверху множества А является ограниченным снизу.

Действительно, каждая верхняя грань Ь б В удовлетворяет неравенству а < 6 при любом фиксированном а из множества А. Это и означает, что а есть нижняя грань для В. Сформулируем теперь свойство полноты множества вещественных чисел % (свойство, упомянутое в лекпии 3.) 17э. Для всякого непустого ограниченного сверху множества А множество В его верхних граней 6 содержит минимальный элемент 6', т.е. существует единственный элемент Ь' б В такой, что: Ц Ь' - — верхняя грань множества А, т.е. длн всех а б А имеем 6' > а; 2) Ь' — наименьший элемент множества В, т.е. для всех 6 б В справедливо неравенство 6' < Ь.