Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу, страница 9

По формуле бинома Ньютона получим м=1+ ()+ — ()~ .~ — ()=2+г — ()= ч 1п и — 1 и †5 а=2+~ к1п и ' и ькг Но тогда 1 1 оп(2+ г =3 — — <3. ~-~ 2" ' 2" к=г Кроме того, в выражении а при 5 > 2 с ростом и возрастает к-й член суммы и число членов всякий раз увеличивается на единицу, т.е. о„не убывает и го„) ограничена. По теореме Вейерштрасса последовательность 1о„) сходится. ТеоРема 3 доказана.

Следуя Эйлеру, предел этой последовательности обозначают через е Известно, что е = 2,718281828459045... Постоянную е называют непероеим числом или чпслом,Т Непера (1550-1617). Логарифм числа о по основанию е называется ноягурольнмм логарифмом числа о и обозначается символом 1по. 1 п+1 РаССМОтрИМ даЛЕЕ ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтЬ 6» со 1+ 1), ИМЕЕМ 6» сс 1ип 6» = (ип 1+ — ) !ип ~1+ — ) = е. »-+со и-ссс 1 П и-ссо О Последовательность (6») убывает.

Действительно, из неравенства Бернулли при и > 1 имеем 6» ( +») »+1 (! + 1 ) ~ ~ 2 ~ ~ ~ | | ~ ~ ~ | 1 Г и+1 ( и+2 с) и+1 п2+ 2п,с и+2 ~, п(п+ 1)1 и+ 2 (и+ 1)3+ и(п+ 1) п(п+ 2)2 Следовательно, 6» > е. Так как 6» > е > аи, то 11" 1 3 О < ги = е — аи < 6» — аи = 1+ -) - — < -. П1) и и Величина ги характеризует скорость сходимости последовательности (аи), Поскольку число е играет важную роль в анализе, дадим для него другое выражение. Теорема4. Пусть 1 1 1 си: 1+ + +'''+ 1! 2! и!' Тогда 1ип си = е.

п-с со Д о к а з а пс е л ь с пс е о. Имеем, что последовательность (си) является монотонно возрастающей и ограниченной. Действительно, 1 1 1 1 си < ! + 1+ - + — + . + — = З вЂ” — < З. 22 2»-1 2»-1 Следовательно, существует предел !ипи.„си = е1. Далее, так как с 1! 1+ — ) = ~7 < си, 48 то е<ег. Тогда при фиксированном е < и имеем =2' ~ ( ) — „)»( )=2-';г —,(1 — -)..(1- ) ь=г ь=г Отсюда е = 1пп а» > 1пп Ы,(п) = с,, »»С»»-+00 т,е, е — верхняя грань для (с,). Но так как 1пп с, = зпр(с,) = еы г -Ф»» то е > ег. Следовательно, е = ег.

Теорема 4 доказана. Заметим еще, что если и = с»+ г», то М ( -.'-~)!~ .',2 ( .~» ''') ь»»+1 1 1 и+2 1 (и+ 1)! 1 — 1/(и+ 2) (и+ 1)(п+ 1)! и. п1 Т е о р е м а 5. Число е — иррационалыюе. Д о к а з а яг е л ь с пг е о. Допустим противное. Тогда е = р/д, (р,д) = 1, и с учетом сделанного выше замечания имеем 1 0<е — ст< —. ~.Ф Домножая обе части неравенства на е1, получим, что А = е1(е — с ) есть целое число и в то же время О < А < 1/д, что невозможно. Доказательство закончено. Дадим определение еще одной известной константы, играющей важную роль в математическом анализе. Т е о р е м а 6. Пусть 1 ! 7» = 1+ -+ + — — !пп.

2 и Тогда сущ яует пр д ° 7 = 11щ 7». »»О0 Д о к а з а ю е л ь с пг и о. Последовательность (7») монотонно убывает. Действительно, 1 1 / 11 7»+г 7» = — 1п(п+ 1)+1пп = — 1п ~1+ — ) < О, и+! .+! ~ ) так как и+1 и+1 1 < 1п 1+ — ), поскольку е < ~ 1+ — ) = 5„, и н что было уже доказано выше. Далее покажем, что последовательность (7„1 ограничена снизу числом О.

Из доказательства теоремы 3 имеем 11" в+1 1 1и 1+ — ) < 1, т.е. 1и — < —. и н и Поэтому 1 1 2 3 н+1 7„=1+ — + + — — 1пн) 1п — +1пг+.. +1п — 1пп= 2 и 1 2 н в+1 1 =10» О, н в+1 Следовательно, по теореме Вейерштрасса последовательность (7„) имеет предел, что и требовалось доказать. Данный предел называется постоянной Л. Эйлера и обычно обозначается буквой 7 или буквой С.

Для этой константы Эйлер вычислил 15 десятичных знаков после запятой, а именно: 7 = 0,5 7721 5664 9015 32 .. Отметим, что с арифметической природой постоянной Эйлера связан ряд старых математических проблем. В частности, до сих пор неизвестно, является ли константа 7 алгебраическим или трансцендентным числом. Попытки выразить эту константу через известные величины, например, через я, е или логарифмы алгебраических чисел„пока тоже не имели успеха. Поясним, что число называется алгебраическим, если оно является корнем алгебраического много- члена с целыми коэффициентами. Заметим также, что если у этого многочлена коэффициент при старшей степени неизвестной равен едивице, то данное число называется целым алгебраическим числом.

Очевидно, что к алгебраическим числам относятся все рациональные числа, Коли же число не является алгебраическим, то оно называется трансценцентным. В качестве еще одного приложения теоремы Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности приведем пример последовательности, задаваемой с помощью простой формулы и принимающей только значения простых чисел. 50 Т е о р е м а 7[теорема В!иллера). Существует такое вещественное число а > 1, что если а = ао 2"' = а1,...,2"" = а„+1, то [а„] — простое число при всех и > 1. Другими словами, существует вещественное число а > 1 такое, что при всех и > 1 натуральные числа Є— ~л являются простыми числами при всех и > 1. Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 7 опирается на знаменитую теорему П.

Л. Чебышева, известную так же как "постулат Бертрана" [см., например, [18]): для любого х > 1 существует простое число р такое, что х < Р < 2х. Построим последовательность р„= [а„] по индукции. Положим р1 — — 3. По теореме П. Л. Чебышева существует простое число р„г1, удовлетворяющее условиям 2"" < Ри+1 < Ро+1 + 1 < 2г" +1. Если р„+1+ 1 = 2""+1, то Р„+1 — — 2""+1 — 1 не может быть простым, 1 так как оно имеет делитель 2г1г" т11 — 1.

Следовательно, 2"" < Рв+1 < Ро+1+1 < 2г" Положям пв = !обе !оба рп,ов = 1о61 .!о81 [Р +1). п в Очевидно, из неравенств Рп < !остро+1 < !оЯг [Рвт1 + 1) < Ри + 1 имеем и„< и„+1 < и„+1 < о„, так что и„, о„— монотонные последовательности. Следовательно, по теореме Вейерштрасса существует предел !пп и„= а и ао < а < о„. и — >со а = !обт... !оба а„, о то в силУ монотонности фУнкции У = !о81 х полУчим Р„< а„< Р„+ 1, т.е, р„= [а„].

Доказательство теоремы 7 закончено. 51 Лекпия 8 1 6. ТЕОРЕМА БОЛЬПАНΠ— ВЕЙЕРШТРАССА О СУЩЕСТВОВАНИИ ЧАСТИЧНОГО ПРЕДЕЛА У ОГРАНИЧЕННОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Определение 1. Пусть (ао) — некоторая последовательность я пусть (6„) — некоторая строго возрастающая последовательность, состоящая нз натуральных чисел. Тогда последовательность 6„= а»„ называется подпоследовательностью послсдовательностн а„. Определение 2.

Если существует !пп 6„= 1, то ! называется о.~ оо частичным пределом нлн предельной точкой последовательности (.) Т е о р е м а 1 (теорема Больцано — Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности (а„) можно выбрать сходящуюся подпоследов атель ность. ,У о х а з а га с л ь с га е о. По условию имеем, что найдется с ) О такое, что [а„~ < с для всех и. Разделим отрезок 1» = [ — с,с] пополам.

Один из получившихся отрезков содержит бесконечное число членов последовательности, Назовем его 1~ и в качестве первого члена в искомой подпоследовательности возьмем какой-либо элемент а„, б 1», т.е. положим 6~ — — а„,. Затем отрезок 1» снова разобьем на два и обозначим через 1» ту его половину, которая содержит бесконечно много членов последовательности (а„). Среди них выберем такой член а„„номер которого ио превосходит число пы и положим Ьт = а„,. Повторяя описанную процедуру применительно к отрезку 1п получим отрезок 1з С 1о и член Ьз = а„, с условием пз > пт. Далее таким же образом найдем 6» = ао, б 1» С 1з, 6» = ао, б 1» С 14 и т,д.

В результате мы получим числовую последовательность (6») и последовательность вложенных отрезков (1»), причем Ь» б 1», Ь» = а„„п» < п»+~ при всех Ь б г!. Другими словами, (6») будет подпоследовательностью для (а»). Осталось показать, что (6») сходится, Для этого заметим, что длина б» отрезка 1» равна с 2»+', откуда Ỡ— » О при 6 — » со. Это значит, что последовательность вложенных отрезков (1») стягивается и все отрезки 1» имеют единственную общую точку !. Именно это число ! и будет пределом для (6»).

Действительно, если 1» = [а»,!»), то»»<!<!», !» — в»=б», а»=! — а»<б», !У»=!» — !<б». Но так как б» -+ О при /с -+ со, то а» -+ О и !у» -+ О, откуда з» = ! + а» -+ 1, !» =! + д» вЂ” + !. И так как Ь» = а„„, з» < а„„< !», то Ь» = а„„-+ ! при 6-» оо, что и требовалось доказать. 1 7. КРИТЕРИЙ КОШИ ДЛЯ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Очевидно, что из теоремы 1 зб прямо вытекает следующее необходимое и достаточное условие сходимости последовательности. Определение 1. Последовательность (а„) называется фундаментальной или последовательностью Коши, если выполнено условяес У в > О 3 ио = ио(е), такое, что У т, и > ио имеем ~а — а„( < в.

Т е о р е м а 1 (критерий Коши). Для того чтобы последовательность (а„) сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной. ,П о к а з а си е л ь с си в о. Необходимость. Если 1пп„а„= 1, то для любого в > О существует ио = ио(в), такое, что для всякого и > ио имеем (໠— 1~ < в/2. Следовательно, для любых т, и > ио в е ~໠— ат! = ((໠— !) — (а»1 — !)( < ~໠— !(+ ~ат — !) < — + — = в.

Поэтому (а„) — фундаментальная последовательность. ,Поссааточивссиь. По условию последовательность (а„) является фундаментальной. 1. Докажем, что (а„) ограничена. В самом деле, возьмем 1. Тогда найдется ио = ио(1) такое, что для всех и > ио имеем ~໠— а„,~ < 1. Но тогда )а»( < )໠— а»,(+ (а»,! < 1+ (а„,! = !с. Отсюда )а») < гаах()ас (,..., )а„,), А) = с. 2.

В силу теоремы Больцано — Вейерштрасса существует сходящаяся подпоследовательность а„,,...,а„„, ~ а при й ~ оо. Условие ее сходимостн можно записать так: 'й > О Э !сс — — !сс(в) такое, что У !с > !сс имеем ~а„, — а~ < в/2. Пусть А!с — — иь, н Ас = снах ио е/2,Асс . Тогда для всех и > Ас и иь > А! имеем (а„ вЂ” а! = (а„ вЂ” а„„ + а„, — а) < (а„ вЂ” а„,) + (а„, — а( < — + — = ж е 2 2 т.е. последовательность (а„) сходится. Теорема 1 доказана полностью.