Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу, страница 7

Пример. Последовательности (у„= и), (х„= — и) — бесконечно большие последовательности. 1 Ион по ««ь««~чао «зно « зз Определение 4. Последовательность (х„) называется бесконечно малой, если для всякого г > 0 множество членов последовательности (х„), удовлетворяющих неравенству [х„[> с, конечно. Коротко зто определение записывается так: 'Ф г > 0 В по = ио(с) такое, что г и > ио =г [х„[ < г.

Примеры. 1. Длины отрезков из последовательности стягивающихся отрезков (см. определение 3 15) образуют бесконечно малую последовательность. 2. х„ = 1/и — бесконечно малая последовательность. Чтобы зто доказать, надо для всякого г > 0 найти хотя бы одно натуральное число по = по(с) такое, что У и > по имеем [х„[ < е. В качестве такого по = ио(г) возьмем число [1/г) + !. Тогда для каждого и с условием 111 1 и > ио(г) = 1-1+ ! >— имеем — ' < с, что и требуется.

и И вообще, если надо доказать, что (х„) .- бесконечно малая последовательность, то, по существу, надо найти хогпя бм одно по(г) с нужными свойствами, т.е. такое, что если и > ио(г), то выполняется неравенство [х„[ < г, или хотя бы каким-либо образом доказать его существование. Т е о р е м а 1. Бесконечно малая последовательность ограничена. Д о к а з а п1 е л ь с т а о. Пусть (х„) — бесконечно малая последовательность.

Тогда, например, неравенству [х„[ > 1 удовлетворяет лишь конечное множество ее членов. Сумму модулей таких членов обозначим через со, При атом считаем, что со —— О, если таких членов вообще нет. Очевидно, тогда для каждого члена х„ имеем неравенство [хо[< с= со+1. Следовательно, бесконечно малая последовательность (х„) ограничена, Теорема ! доказана.

Т е о р е м а 2. Если (х„) — бесконечно большая последовательность и х„ф О, то .(1/х„) — бесконечно малая последовательность, н наоборот, если (х„) — бесконечно малая последовательность и х„ф О, то (1/х„) — бесконечно большая последовательность, Д о к а з а ш е л ь с ш в о. Ограничимся рассмотрением только прямого утверждения. В этом случае при любом е > О неравенство )1/хь( > е равносильно неравенству 1х„) < с = 1/е, которому, в свою очередь, удовлетвориет лишь конечное множество членов, поскольку (х„) — бесконечно большая последовательность.

Это значит, что (1/х„) — бесконечно малая последовательность. Теорема 2 доказана. Т е о р е м и 3. 1. Если (х„) — бесконечно малая последовательность, то ()х„~) — бесконечно малая последовательность, и наоборот. 2. Сумма (разность) двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Д о и а з а ти е л ь с гл в о. Первое утверждение теоремы непосредственно следует из определения бесконечно малая последовательность. Докажем второе утверждение. Пусть (х„) и (у„) — бесконечно малая последовательность. Тогда для любого е > О суШествуют номера п,(е/2) и пэ(е/2) такие, что /Е 1 Е /Е 1 Уп>п~ -) .~ )х„)< — и 'Фп>из~-( ~ ~у ~<-. Тогда, полагая па — — птах(и1(е/2),из(е/2)), имеем Е уи > па =з )х„х у„) < )х„)+ (у„( < — + — = е.

2 2 Следовательно, (х„~ у„) — бесконечно малая последовательность. Теорема доказана. С л е д с т в и е. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Д а к а з а гл е л ь с п1 в о очевидно. Т е о р е м а 4. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность. Д а к а з а ш е л ь с гл в о, Пусть (хь) — бесконечно малая последовательность, а последовательность (уь) ограничена. Тогда при некотором с > О имеем )у„! < с для всех п б И. Далее, так как (хь) — бесконечно малая последовательность, то для всякого с > О найдется номер п~(с~) с условием, что ~х„~ < е~ — — с/с для всех и > п~(с~). Поэтому, полагая по(с) = п~(е/с), будем иметь Чп > по(с) ~ (х„у„( < )х„( с < †.

с = е. с Другими словами, (х„у„) есть бесконечно малая последовательность. Теорема 4 доказана. С л е д с т в и е 1. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Д о и а з а гп е л ь с га в о. Согласно теореме 1 одну из двух бесконечно малая последовательность мы можем рассматривать как ограниченную последовательность. Тогда их произведение будет бесконечно малой последовательностью в силу предыдущей теоремы. Следствие доказано. С л е д с т в и е 2.

Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Д о к а з а гп е л ь с га в о получается очевидным последовательным применением предыдущего утверждения. Следствие доказано. Т е о р е м а 5. Если (х„) — постоянная и бесконечно малая последовательность, го х„= О.

Действительно, если х„= с ф О, то в )с~/2-окрестности нуля нет ни одной точки нашей последовательности, и это значит, что (х„) не является бесконечно малой последовательностью. Теорема 5 доказана. Примеры. 1. (д") — бесконечно малая последовательность при И! <1. 1 Действительно, если О < 4 < 1, то 4 = —, где Ь > О. В силу 1+И' неравенства Бернулли (1+И)" > 1+ пИ при и > 2. Отсюда имеем 1 1 а < < —. 1+ лЬ пЬ' Зададим теперь с > О.

Нам надо выбрать по — — по(с) так, чтобы для каждого и > по выполнялось неравенство д" < с. Для этого достаточно, чтобы было справедливо такое неравенство: 1 1 1 — <е со пИ> — со и> —. пИ с Ьс зв Положим Покажем, что для всех и > пс имеем е" < е. Это следует из цепочки неравенств 1 1 1 д « — — < = е, пй+1 Л 1(Ы й следовательно, (е") есть бесконечно малая последовательность. 2. пд" — бесконечно малая последовательность при ~д) < 1.

1 Рассмотрим случай О < д < 1. Тогда д =, где и > О. Из 1+И' формулы бинома Ньютона имеем п(п — 1) (!+и)" > п~ при и > 2. 2 Отсюда получим и 2 2 2 (1+6)" ( — 1)У ' Ь ' Ь Положим па = — т +2. Тогда для всех и > пс будем иметь пд" < е. Лекция 6 з 3. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Определение 1. Последовательность 1а„) называется сходящейся, если существует число ! б !И такое, что последовательность о„= а„— ! является бесконечно малов последовательностью. В этом случае говорят, что 1а„) сходится или что 1а„) имеет предел и этот предел равен !. Записывают это так: 1пп а„= ! или а„-ч ! при п — ч оо. ч — ><ю Это определение на "е-языке" можно записать следующим образом: 'че > О Э по = по)е), такое, что Чп > по имеем ~а„— 1~ < г.

Будем говорить также, что последовательность )а„) расходится к "плюс бесконечности", если для любого с > О лишь дли конечного числа членов ее выполняется неравенство а„< с. Обозначается это так: 1пп а„=+со или а„-ч +со при и — ч оо. ч-~оо Последовательность 1а„) расходится к чминус бесконечности", если для любого Ь < О лишь для конечного числа членов ее выполняется неравенство а„> Ь. Обозначается это так: !пп а„= -оо или а„-+ — оо при и -+ оо.

и-чсо И, наконец, последовательность 1а„) расходится к "бесконечности", если для любого с > О лишь для конечного числа членов ее выполняется неравенство (а„! < с. Обозначается это так: 1пп а„ = оо или а„ -ч оо при и — ч оо. п-что зв Утверждение 1. Если (а„) сходится, то она имеет единственный предел. Д о к а з а т е л ь с пг в о.

Пусть зто не так. Тогда существуют числа 1г ф 1г такие, что последовательности а„= а„— 1г и 1г» = ໠— 1г обе являются бесконечно малыми последовательностями. Отсюда а»+1г = а„= А +1г, поэтому 1г — 1г — — !!» — а» есть бесконечно малая последовательность. Но тогда по теореме 5 г 2 имеем 1г — 1г = О, т.е. !г = 1г. Утверждение 2. Если (а„) — бесконечно малая последовательность, то 1пп а„= О. »-»с» Д о к а з а вг е л ь с вг в о. Действительно, при 1 = О имеем а„ вЂ” О = а„ есть бесконечно малая последовательность, т.е, предел 1а„) при и -+ оо равен О. Утверждение 3.

Если 1а») сходится, то она ограннчена. Д о к а з а вг е л ь с пг в о. Если (а») сходятся, то найдется число 1 такое, что а„= а„— 1 — бесконечно малая последовательность. Значит, существует с > О такое, что при всех натуральных и имеем ~а„~ < с.

Но а„=! + а„, откуда 1а„) = 11+ а„) < 1!1+ 1а„) < 111+ с = сд, т.е. (а») — ограниченная последовательность, что и требовалось доказать. Утверждение 4. Если !пп а„= 1 и а» ф О, 1 ф О, то существует »-~»о по б И, такое, что при всех п > по имеем 1а» ) > 111/2 1ялн, что то же самое, 1/1а») < 2/1!)). Это означает, что последовательность 11/а»), составленная из обратных величин, ограничена. Д о к а з а пг е л ь с и в о.

В силу условия имеем, что а„ = а„ вЂ 1.— бесконечно малая последовательность. Тогда вне ~11/2-окрестности нуля лежит только конечное число членов последовательности (а»). Пусть по — самое большое значение номера таких членов; тогда при всех п > по имеем ~а„) < 111/2. Отсюда при этих п получим (1 = а„— а») Щ = ~໠— а») < )а»(+ ) — а»( = 1а„)+ )а»). Следовательно, что и требовалось доказать.

Утверждение 5. Если ап — 4 1ы 6« -+ 1г при и -4 оо, то с« = а„х Ьп — 4 11 х1г при и -+ оо. Другими словами, для сходящихся последовательностей предел их суммы равен сумме их пределов. Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условия имеем о« = ૠ— 1ы 4, = 6« — 1г — бесконечно малые последовательности. Следовательно, с (11 ~ 1г) = (а~ х 6~) (11 х 1г) = о« ~ /3„= 7 бесконечно малая последовательность. Значит, яз определения преде- ла имеем 1(пг с =1г ~1г, « — >оп что и требовалось доказать. Утверждение б. Если ап — + !ы 6« -+ !г при п -+ оо, то с« = а«6« -+ 111г прн и -4 оо (предел произведения равен произведению пределов). Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем а« = 1г+ о«, 6« = 1г -7-!3«, с« = апЬ = 141г+ а«!г+ 41г + а«41 =1г(г+ 7«.

Но у« — бесконечно малая последовательность, так как она есть сумма трех последовательностей, каждая нз которых есть бесконечно малая последовательность. Отсюда 1(гп с« = 1г!г. и-+со Доказательство закончено. Утверждение 7.

Пусть !пп а« = 1ы 1пп 6« = 1г, 1г ф О. Тогда и >ж ~-~00 а«14 1пп — = —, т.е. если предел знаменателя не равен нулю, то предел и-к 6«!г ' отношения равен отношению пределов. Д о к а з а т в л ь с т в о. Рассмотрим последовательности ап сп = — н Ь„ а«1г ап!г — 6»1г 7«=сп — —, а«=1г+о«=ап 1г 4 =Ьп 1г. 6«!г 6«!г Из условия вытекает, что о«, 1!и есть бесконечно малая последовательность . Нам достаточно доказать, что тоже является бесконечно малая последовательность. Для этого запишем 7«в виде (1г + о )!г — (1г+ 4«)!г а»1г 4«11 Ь«!г 1г ' Ь.' а«1г — !У«11 Теперь заметим, что последовательность является бес1г конечно малой в силу утверждений 5 и б, а последовательность 1/6«ограничена в силу утверждения 4.