Методичка (5) (Методические указания), страница 11

tAK KAK a k a0 , a0 2 , TO a k . sU]ESTWOWANIEPLOSKOSTI, PROHODQ]EJ ^EREZ PRQMU@ b, PARALLELXNO PRQMOJ a, DOKAZANO.dOKAVEM EE EDINSTWENNOSTX. pREDPOLOVIM, ^TO ^EREZ PRQMU@ b PROHODITE]E ODNA PLOSKOSTX 0 6 , PARALLELXNAQ PRQMOJ a. s ODNOJ STORONY, \TAPLOSKOSTX PROHODIT ^EREZ TO^KU C , S DRUGOJ STORONY, ONA NE SODERVIT PRQMU@ a0 (INA^E ONA SOWPADALA BY S PLOSKOSTX@ ).

sLEDOWATELXNO, PLOSKOSTX 0 PERESEKAET PRQMU@ a0 , TAK KAK a0 k a, TO PLOSKOSTX 0 PERESEKAET PRQMU@a, PRI[LI K PROTIWORE^I@ S TEM, ^TO a k 0 . pOLU^ENNOE PROTIWORE^IE DOKAZYWAET EDINSTWENNOSTX PLOSKOSTI k a TAKOJ, ^TO b 2 I PRQMYE a I bSKRE]IWA@TSQ. aNALOGI^NYM OBRAZOM, PROWODQ ^EREZ TO^KU A 2 a PRQMU@b0 k b I ZATEM ^EREZ PRQMYE a I b0 | PLOSKOSTX , MY POLU^IM, ^TO b k (SM. RIS. 3.26 W). eDINSTWENNOSTX \TOJ PLOSKOSTI DOKAZYWAETSQ TO^NO TAKVE, KAK DOKAZYWAETSQ EDINSTWENNOSTX PLOSKOSTI . dALEE, POLU^IW, ^TO WPLOSKOSTI IME@TSQ DWE PERESEKA@]IESQ PRQMYE b I a0 SOOTWETSTWENNO PARALLELXNYE PRQMYM b0 I a, LEVA]IM W PLOSKOSTI , A POTOMU BUDEM IMETX,^TO k .

tEOREMA 2 POLNOSTX@ DOKAZANA.RIS. 3.27 ARIS. 3.27 BRIS. 3.27 WoTMETIM TRI WOZMOVNYH WZAIMNYH RASPOLOVENIQ DWUH PRQMYH W PROSTRANSTWE:A) PRQMYE PERESEKA@TSQ (IME@T EDINSTWENNU@ OB]U@ TO^KU), ^EREZ NIHPROHODIT EDINSTWENNAQ PLOSKOSTX (SM. RIS. 3.27 A);142B) PRQMYE PARALLELXNY (ONI LEVAT W ODNOJ PLOSKOSTI I NE IME@T OB]IHTO^EK), PLOSKOSTX, W KOTOROJ ONI LEVAT, EDINSTWENNAQ (SM. RIS.

3.27 B);W) PRQMYE SKRE]IWA@TSQ (ONI NE LEVAT W ODNOJ PLOSKOSTI I NE IME@TOB]IH TO^EK, SM. RIS. 3.27 W).zAME^ANIE. eDINSTWENNOSTX PLOSKOSTI, W KOTOROJ LEVAT PARALLELXNYEPRQMYE, OBOSNOWYWAETSQ TAK. pUSTX a I b | PARALLELXNYE PRQMYE. wYBEREM PROIZWOLXNYE DWE TO^KI NA PRQMOJ a I ODNU TO^KU NA PRQMOJ b.~EREZ \TI TRI TO^KI PROHODIT EDINSTWENNAQ PLOSKOSTX. pRQMAQ a LEVITW \TOJ PLOSKOSTI. w SILU EDINSTWENNOSTI PRQMOJ W PROSTRANSTWE, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU, NE LEVA]U@ NA DRUGOJ PRQMOJ, KOTORAQ PARALLELXNA\TOJ DRUGOJ PRQMOJ, WSQKAQ PRQMAQ, PARALLELXNAQ PRQMOJ a I PROHODQ]AQ^EREZ TRETX@ TO^KU, MOVET TOLXKO SOWPADATX S PRQMOJ b, PO\TOMU PRQMAQ bLEVIT W POSTROENNOJ PLOSKOSTI. pREDPOLAGAQ, ^TO ^EREZ \TI PRQMYE PROJDET E]E ODNA PLOSKOSTX, MY POLU^IM, ^TO ONA PROJDET I ^EREZ WYBRANNYEWY[E TRI TO^KI, TEM SAMYM, POLU^IM PROTIWORE^IE S TEM, ^TO ^EREZ TRITO^KI, NE LEVA]IE NA ODNOJ PRQMOJ, PROHODIT TOLXKO ODNA PLOSKOSTX.

|TOPROTIWORE^IE DOKAZYWAET EDINSTWENNOSTX PLOSKOSTI, PROHODQ]EJ ^EREZ PARALLELXNYE PRQMYE.pRI PERESE^ENII DWUH PRQMYH a I b OBRAZU@TSQ ^ETYRE UGLA, IME@]IEOB]U@ WER[INU W TO^KE PERESE^ENIQ \TIH PRQMYH. iZ NIH DWE PARY WERTIKALXNYH UGLOW, A TAKVE ^ETYRE PARY SMEVNYH UGLOW. w SILU RAWENSTWAWERTIKALXNYH UGLOW NERAWNYMI MOGUT BYTX TOLXKO SMEVNYE UGLY, PRIUSLOWII, ^TO ODIN IZ NIH OSTRYJ, DRUGOJ | TUPOJ. oSTRYJ UGOL QWLQETSQMENX[IM IZ \TIH UGLOW, TUPOJ | BOLX[IM IZ NIx.sOOTWETSTWU@]IE OPREDELENIQ I UTWERVDENIQ SM. PODROBNEE W KNIGE [1].dOGOWORIMSQ WS@DU W DALXNEJ[EM UGLOM MEVDU PERESEKA@]IMISQ NEPERPENDIKULQRNYMI PRQMYMI S^ITATX MENX[IJ IZ UGLOW, OBRAZU@]IHSQPRI IH PERESE^ENII. eSLI \TI PRQMYE WZAIMNO PERPENDIKULQRNY, TO UGOLMEVDU NIMI PRQMOJ.uGOL MEVDU PARALLELXNYMI ILI SOWPADA@]IMI PRQMYMI BUDEM S^ITATX NULEWYM.oPREDELENIE 2.

uGLOM MEVDU SKRE]IWA@]IMISQ PRQMYMI NAZYWAETSQ UGOL MEVDU PERESEKA@]IMISQ PRQMYMI, KOTORYE SOOTWETSTWENNO PARALLELXNY DANNYM SKRE]IWA@]IMSQ PRQMYM.pRI \TOM MEROJ TAKOGO UGLA ESTESTWENNO S^ITATX MERU UGLA MEVDUSOOTWETSTWENNO PARALLELXNYMI IM PERESEKA@]IMISQ PRQMYMI (SM. RIS.3.27 W).w U^EBNIKAH GEOMETRII DOKAZYWAETSQ, ^TO \TOT UGOL NE ZAWISIT OT TOGO,KAKIE BERUTSQ PERESEKA@]IESQ PRQMYE I GDE RASPOLOVENA IH TO^KA PERESE^ENIQ.143oPREDELENIE3.dWE PRQMYE W PROSTRANSTWE NAZYWA@TSQ PERPENDI-KULQRNYMI, ESLI UGOL MEVDU NIMI PRQMOJ.RIS. 3.28 ARIS. 3.28 BtEOREMA 3.

eSLI ODNA IZ DWUH PARALLELXNYH PRQMYH PERPENDIKULQRNATRETXEJ PRQMOJ, TO I DRUGAQ IZ NIH PERPENDIKULQRNA \TOJ PRQMOJ.dOKAZATELXSTWOpUSTX a, b I c | PRQMYE W PROSTRANSTWE, a k b, a ? c. tREBUETSQ DOKAZATX, ^TO b ? c. sM. RIS. 3.28 A. dLQ \TOGO ^EREZ PROIZWOLXNU@ TO^KU MPROSTRANSTWA, NE PRINADLEVA]U@ NI ODNOJ IZ PRQMYH a, b I c, PROWEDEMPRQMYE (MA) k a, (MC ) k c. pO OPREDELENI@ PERPENDIKULQRNOSTI PRQMYHW PROSTRANSTWE \AMC | PRQMOJ. tAK KAK (MA) k a, a k b, TO (MA) k b,SOGLASNO OPREDELENIQM 2 I 3 b ? c.

tEOREMA 3 DOKAZANA.zAME^ANIE. sU]ESTWOWANIE TO^KI M W DOKAZATELXSTWE TEOREMY 3 SLEDUET IZ SLEDU@]IH RASSUVDENIJ. eSLI PRQMYE a, b I c LEVAT W ODNOJ PLOSKOSTI, TO W KA^ESTWE TO^KI M MOVNO WZQTX PROIZWOLXNU@ TO^KU, NE LEVA]U@W \TOJ PLOSKOSTI. eSLI PRQMAQ c NE LEVIT W PLOSKOSTI PARALLELXNYHPRQMYH a I b, TO c IMEET NE BOLEE ODNOJ OB]EJ TO^KI S PLOSKOSTX@ .

wYBEREM, NAPRIMER, TO^KU A NA PRQMOJ a, KOTORAQ NE LEVIT NA PRQMOJ c ITO^KU C NA PRQMOJ c TAKU@, ^TO C NE LEVIT W PLOSKOSTI (O^EWIDNO, ^TOA 6 C ). w KA^ESTWE TO^KI M MOVNO WZQTX, NAPRIMER, SEREDINU OTREZKAAC , M 6 A, M 6 C . tO^KA M 62 (W PROTIWNOM SLU^AE WSQ PRQMAQ (AM ),W TOM ^ISLE I TO^KA C BUDET W PLOSKOSTI , ^TO NEWERNO), SLEDOWATELXNOM 62 a I M 62 b, TO^KA M TAKVE NE LEVIT NA PRQMOJ c (W PROTIWNOM SLU^AEPRQMAQ (CM ) c, A POTOMU A 2 c, ^TO NEWERNO).oPREDELENIE 4. pRQMAQ, PERESEKA@]AQ PLOSKOSTX, NAZYWAETSQ PERPENDIKULQRNOJ \TOJ PLOSKOSTI, ESLI ONA PERPENDIKULQRNA L@BOJ PRQMOJ, KOTORAQ LEVIT W DANNOJ PLOSKOSTI. pRI \TOM TAKVE PLOSKOSTXNAZYWAETSQ PERPENDIKULQRNOJ UKAZANNOJ PRQMOJ.144RIS. 3.28 WRIS. 3.28 GtEOREMA 4.

eSLI ODNA IZ DWUH PARALLELXNYH PRQMYH PERPENDIKULQRNAPLOSKOSTI, TO I DRUGAQ IZ NIH PERPENDIKULQRNA \TOJ PLOSKOSTI.dOKAZATELXSTWOpUSTX a, b | PRQMYE W PROSTRANSTWE, a k b, | PLOSKOSTX, a ? .tREBUETSQ DOKAZATX, ^TO b ? . sM. RIS. 3.28 B. pROWEDEM W PLOSKOSTI PROIZWOLXNU@ PRQMU@ m. w SILU PROIZWOLXNOSTI PRQMOJ m I OPREDELENIQ 4 SLEDUET a ? m, A W SILU TEOREMY 3 WYTEKAET, ^TO b ? m. w SILUPROIZWOLXNOSTI PRQMOJ m I OPREDELENIQ 4 SLEDUET, ^TO b ? . tEOREMA 4DOKAZANA.iMEET MESTO I OBRATNAQ TEOREMA.tEOREMA 5. eSLI DWE PRQMYE PERPENDIKULQRNY PLOSKOSTI, TO ONI PARALLELXNY.dOKAZATELXSTWOsM.

RIS. 3.28 W I G. pUSTX PRQMYE a I b PERPENDIKULQRNY PLOSKOSTI ,TREBUETSQ DOKAZATX, ^TO ONI PARALLELXNY. pROWEDEM ^EREZ NEKOTORU@ TO^KU M 2 b PRQMU@ b1, PARALLELXNU@ PRQMOJ a. w SILU TEOREMY 4: b1 ? .dOKAVEM, ^TO PRQMYE b1 I b SOWPADA@T, TOGDA BUDET SLEDOWATX a k b. pREDPOLOVIM, ^TO PRQMYE b I b1 NE SOWPADA@T, TOGDA ONI PERESEKA@TSQ W TO^KEM I ^EREZ NIH MOVNO PROWESTI EDINSTWENNU@ PLOSKOSTX . pOSKOLXKU SOGLASNO OPREDELENI@ 4: PRQMAQ b I PLOSKOSTX PERESEKA@TSQ, TO ONI IME@TOB]U@ TO^KU.

sLEDOWATELXNO, PLOSKOSTI I IME@T OB]U@ TO^KU I POTOMU ONI IME@T OB]U@ PRQMU@ c, PO KOTOROJ ONI PERESEKA@TSQ. tAK KAKb ? I b1 ? , TO W SILU OPREDELENIQ 4 b ? c I b1 ? c, POLU^ILI, ^TOIZ TO^KI M K PRQMOJ c W PLOSKOSTI PROWEDENO DWA PERPENDIKULQRA, ^TONEWOZMOVNO. sLEDOWATELXNO, b1 b ) a k b. tEOREMA 5 DOKAZANA.tEOREMA 6 (PRIZNAK PERPENDIKULQRNOSTI PRQMOJ I PLOSKOSTI). eSLIPRQMAQ PERPENDIKULQRNA DWUM PERESEKA@]IMSQ PRQMYM, LEVA]IM W PLOSKOSTI, TO ONA PERPENDIKULQRNA DANNOJ PLOSKOSTI.145RIS.

3.29 ARIS. 3.29 BdOKAZATELXSTWOsM. RIS. 3.29 B. rASSMOTRIM PRQMU@ a, TAKU@, ^TO a ? m, a ? n,m; n 2 ; m \ n O (m I n | UKAZANNYE W USLOWII TEOREMY PRQMYE, O |TO^KA IH PERESE^ENIQ). tREBUETSQ DOKAZATX, ^TO PRQMAQ a PERPENDIKULQRNA PLOSKOSTI (a ? ). dLQ \TOGO (SOGLASNO OPREDELENI@ 4) DOSTATO^NODOKAZATX, ^TO PRQMAQ a PERPENDIKULQRNA PROIZWOLXNOJ PRQMOJ q, LEVA]EJW PLOSKOSTI .rASSMOTRIM SLU^AJ, KOGDA PRQMAQ a PROHODIT ^EREZ TO^KU O, PRI^EMq 6 m I q 6 n. * 10 ~EREZ TO^KU O W PLOSKOSTI PROWEDEM PRQMU@ l k q(ESLI OKAZALOSX, ^TO q PROHODIT ^EREZ TO^KU O, TO W KA^ESTWE PRQMOJ lMOVNO WZQTX PRQMU@ q). wYBEREM NA PRQMOJ a TO^KU A, OTLI^NU@ OT TO^KI O I NA DOPOLNITELXNOM PO OTNO[ENI@ K LU^U OA LU^E OB WYBEREMTO^KU B TAKU@, ^TO OB = OA TEM SAMYM, TO^KA O BUDET SEREDINOJ OTREZKA AB .

pROWEDEM W PLOSKOSTI PRQMU@ p, PERESEKA@]U@ PRQMYE l, mI n SOOTWETSTWENNO W TO^KAH L, M I N . pODROBNEE OB \TOM SM. W KNIGE[1]. dLQ OPREDELENNOSTI BUDEM S^ITATX, ^TO TO^KA N NA PRQMOJ p LEVITMEVDU TO^KAMI L I M . pRQMYE m I n QWLQ@TSQ SEREDINNYMI PERPENDIKULQRAMI, PROWEDENNYMI SOOTWETSTWENNO W PLOSKOSTQH (AMB ) I (ANB ),K OTREZKU AB . w SILU SWOJSTWA SEREDINNOGO PERPENDIKULQRA K OTREZKUAM = BM I AN = BN . w 4AMN I 4BMN TAKVE STORONA MN |OB]AQ.

sLEDOWATELXNO, 4AMN = 4BMN (PO TREM STORONAM), A POTOMU\AML = \BML. dALEE, RASSMOTRIM 4AML I 4BML, U NIH STORONA ML| OB]AQ, AM = BM , \AML = \BML, SLEDOWATELXNO, 4AML = 4BML(PO DWUM STORONAM I UGLU MEVDU NIMI), A POTOMU AL = BL. pOSLEDNEE RAWENSTWO OZNA^AET, ^TO 4ALB | RAWNOBEDRENNYJ, OL | EGO MEDIANA, PROWEDENNAQ K OSNOWANI@ AB , KOTORAQ (SOGLASNO SWOJSTWAM RAWNOBEDRENNOGOTREUGOLXNIKA) QWLQETSQ WYSOTOJ. tAKIM OBRAZOM, a (AB ) ? (OL) l. w10 * sU]ESTWOWANIE TAKOJ PRQMOJ q MOVNO POLU^ITX, NAPRIMER, WYBIRAQ NA KAVDOJIZ PRQMYH m I n TO^KI M I N , OTLI^NYE OT TO^KI O IH PERESE^ENIQ, SOEDINQQ IHPRQMOJ, ZATEM, WYBIRAQ NA PRQMOJ (MN ) OTLI^NU@ OT M I N TO^KU L I PROWODQ PRQMU@q (OL).146SLU^AE l q SRAZU SLEDUET, ^TO a ? q.

w SLU^AE l k q TAK KAK PO DOKAZANNOMU l ? a, TO W SILU TEOREMY 3: a ? q. w SILU PROIZWOLXNOSTI WYBRANNOJPRQMOJ q 2 I OPREDELENIQ 4 SLEDUET, ^TO PRQMAQ a ? .rASSMOTRIM TEPERX SLU^AJ, KOGDA PRQMAQ a NE PROHODIT ^EREZ TO^KU O.pROWEDEM ^EREZ TO^KU O PRQMU@ a1 k a, W SILU TEOREMY 3 a1 ? m I a1 ? n,PO DOKAZANNOMU W PREDYDU]EM SLU^AE a1 ? , TEPERX W SILU TEOREMY 4POLU^AEM, ^TO a ? . tEOREMA 6 POLNOSTX@ DOKAZANA.zAME^ANIE. uTWERVDENIE, OBRATNOE TEOREME, 6 NEPOSREDSTWENNO WYTEKAET IZ OPREDELENIQ 4.oPREDELENIE 5. oB]IM PERPENDIKULQROM DWUH SKRE]IWA@]IHSQ PRQMYH NAZYWAETSQ OTREZOK S KONCAMI NA \TIH PRQMYH, QWLQ@]IJSQ PERPENDIKULQROM K KAVDOJ IZ NIH (TO ESTX \TOT OTREZOK LEVIT NA PRQMOJ,PERPENDIKULQRNOJ KAVDOJ IZ \TIH SKRE]IWA@]IHSQ PRQMYH).RIS.