Е.Б. Винберг - Теория к экзамену

Подготовка к экзамену по курсу”Линейная алгебра и геометрия”(весна 2003г., лектор - Э.Б. Винберг)13 июня 2003 г.1Базис и размерность векторного пространства.Def. Векторным пространством над полем K называется аддитивная абелева группа V , в которой определенаоперация умножения на элементы поля K так, что выполнены следующие условия:для всех λ ∈ K и a, b ∈ V ;1. λ(a + b) = λa + λb2.

(λ + µ)a = λa + µa3. (λµ)a = λ(µa)4. 1 · a = aдля всех λ, µ ∈ K и a ∈ V ;для всех λ, µ ∈ K и a ∈ V ;для любого a ∈ V.Элементы поля K называются скалярами (числами).Простейшие следствия из аксиом:1. λ · 0 = 0для всех λ ∈ K;2. λ(a − b) = λa − λb3. 0 · a = 0для всех λ ∈ K и a, b ∈ V ;для любого a ∈ V ;4. (λ − µ)a = λa − µaдля всех λ, µ ∈ K и a ∈ V.Def. Пусть есть система векторовP {ai }i∈I (не обязательно конечная). Линейной комбинацией этой системы векторов называется выражениеλi ai , где λi ∈ K, причем лишь конечное число λi отлично от нуля.i∈IDef.

Система векторов {ai }i∈I называется линейно зависимой, если существует их нетривиальная линейнаякомбинация, равная нулю.Def. Базисом векторного пространства называется максимальная линейно независимая система его векторов (⇔линейно независимая система векторов, через которую любой вектор линейно выражается ⇔ система векторов,через которую всякий вектор линейно выражаетсяединственным образом).Коэффициентыэтого выражения называются координатами вектора в базисе {ei }i∈I :Pесли x =xi ei , то xi - координаты вектора x.i∈IDef. Векторное пространство называется конечномерным, если в нём существует конечный базис.Теорема.

В конечномерном векторном пространстве все базисы равномощны.Доказательство. Первый семестр: доказывается, что конечные эквивалентные линейно независимые системыстрок равномощны, что следует из основной леммы о линейной зависимости. Q.E.D.Def. Число векторов базиса пространства V называется размерностью данного пространства и обозначаетсяdim V .Def. Отображение векторных пространств ϕ : V1 → V2 (над одним и тем же полем K) называется изоморфизмом,если:1.

ϕ биективно;2. ϕ сохраняет операции, то есть:• ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b)• ϕ(λa) = λϕ(a)для всех a, b ∈ V ;для всех λ ∈ K и a ∈ V.1Если ϕ - изоморфизм, то ϕ(0) = 0 и ϕPλi aii∈I=Pλi ϕ (ai ), и поэтому ϕ сохраняет линейную зависимостьi∈Iсистем векторов и переводит базис V1 в базис V2 .Def. Векторные пространства называются изоморфными, если между ними существует хотя бы один изоморфизм.Теорема.

Векторные пространства конечной размерности изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности равны.Доказательство. 1) Если ϕ : V1 → V2 - изоморфизм и (e1 , . . . , en ) - базис V1 , то (ϕ(e1 ), . . . , ϕ(en )) - базис V2 ;2)Пусть dim V1 = dim V2 , (e1 , . . . , en ) - базис V1 , (f1 , . . . , fn ) - базис V2 . Определим ϕ : V1 → V2 по формулеPPϕλi ei = λi fi . Очевидно, что ϕ - изоморфизм V1 и V2 .

Q.E.D.iiСледствие. Всякое n-мерное векторное пространство над K изоморфно K n (изоморфизм осуществляется сопоставлением каждому вектору строки из его координат в каком-либо фиксированном базисе).2Преобразования координат в векторном пространстве.Пусть есть (e1 , . . . , en ) - базис пространства V и (e′1 , . . . , e′n ) - система n векторов пространства V . Пусть этивектора выражаются через базисные следующим образом:e′j =nXcij ei(j = 1, 2, . . . , n)i=1Матрица, составленная из чисел cij называется матрицей перехода C = (cij ) от базиса (e1 , . .

. , en ) к системевекторов (e′1 , . . . , e′n ). Матричная запись: (e′1 , . . . , e′n ) = (e1 , . . . , en ) · C.Теорема. (e′1 , . . . , e′n ) - базис ⇔ матрица C невырождена.Доказательство. Установим изоморфизм между пространствами V и K n , поставив в соответствие каждомувектору столбец его координат в базисе (e1 , . . . , en ). При этом изоморфизме векторам e′1 , e′2 , .

. . , e′n будут соответствовать столбцы матрицы C. Система (e′1 , . . . , e′n ) линейно независима ⇔ столбцы матрицы C линейнонезависимы ⇔ C невырождена. Q.E.D.ЕслиPC невырождена,(e1 , . . . , en ) = (e′1 , . . . , e′n ) C −1 . Выведем формулы преобразования координат. ПустьP то′′ ′x = i xi ei ; x = j xj ej .!P ′ ′P ′P P′Тогда x = xj ej =xj cij ei =cij xj ei , значитji,jijxi =nXcij x′j(i = 1, 2, . . . , n)j=1⊤В матричной форме: пусть X = (x1 , . .

. , xn ) , X ′ = (x′1 , x′2 , . . . , x′n )⊤ . Тогда x = (e1 , . . . , en ) X = (e′1 , . . . , e′n ) X ′ ,значит (e1 , . . . , en ) X = (e1 , . . . , en ) CX ′ ⇒ X = CX ′ , таким образомX ′ = C −1 X.3Подпространства как множества решений систем однородных линейных уравнений.Def. Подмножество U векторного пространства V называется подпространством, если:1. a, b ∈ U ⇒ a + b ∈ U ;2. a ∈ U ⇒ λa ∈ U3. 0 ∈ U∀λ ∈ K;(непустота U ).Def. Пусть S ⊂ V . Линейной оболочкой S называется множество()XhSi =λi xi : xi ∈ S, λi ∈ K .i2Очевидно, что hSi - подпространство.Более того, это наименьшее подпространство, содержащее S (в том смысле, что любое подпространство, содержащее S, должно содержать и hSi), приём dim S = rk S, и любая максимальная линейно независимая подсистемав S является базисом hSi.Def.

Базис (e1 , . . . , en ) пространства V называется согласованным с подпространством U , если U натянуто накакие-то из базисных векторов.Теорема. Для любого подпространства U существует согласованный с ним базис пространства V .Доказательство. Пусть (e1 , . . . , ek ) - базис U . Дополним его до базиса (e1 , .

. . , en ) всего пространства. Это и будетискомый базис пространства V . Q.E.D.Следствие. dim U ≤ dim V , причём dim U = dim V ⇒ U = V .Теорема. Всякое подпространство U ⊂ K n есть множество решений некоторой системы однородных линейныхуравнений.Доказательство. Пусть (e1 , . . . , en ) - стандартный базис пространства K n , (e′1 , . . . , e′n ) - такой базис, что U =he′1 , . . . , e′k i.

Тогда в базисе (e′1 , . . . , e′n ) U задаётся так:XU = x=x′j e′j , x′k+1 = · · · = x′n = 0 .jx′1x1Пусть (e′1 , . . . , e′n ) = (e1 , . . . , en ) C, тогда  ...  = C −1  ...  . Подставляя в уравнения, задающие подпроx′nxn′′странство U в базисе (e1 , . . . , en ) выражения координат x′1 , x′2 , . . . , x′n через координатыx1 , x2 , . . . , xn , получим систему однородных линейных уравнений относительно x1 , x2 , . . . , xn ,задающую U в стандартном базисе (e1 , . . . , en ) пространства V . Q.E.D.4Связь между размерностями суммы и пересечениядвух подпространств.Теорема.

Для любых двух подпространств U, W ⊂ V существует базис пространства V , согласованный с нимиобоими.Доказательство. Рассмотрим U ∩ W - также подпространство в V . Пусть (e1 , . . . , ep ) - базис U ∩ W . Дополнимего до базиса (e1 , . . . , ep , ep+1 , . . . , ek ) подпространства U и его же - до базиса (e1 , . . . , ep ,ek+1 , .

. . , ek+l−p ) подпространства W (здесь dim U = k, dim W = l). Докажем, что система векторов e1 , . . . , ek+l−pлинейно независима (тогда дополним её до базиса пространства V , он и будет искомым).k+l−pk+l−pkPPPПредположим, чтоλi ei = 0. Тогдаλi ei = −λj ej . Правая часть равенства - это линейная комбиi=1i=1j=1нация базисных векторов подпространства U , левая - подпространства W . Значитpk+l−pkPPPx=λi ei ∈ U ∩ W , поэтому x =µi ei = −λj ej (разложение вектора ∈ U ∩ W по базису этого подпроi=1i=1j=k+1pPстранства).

Перенося всё в одну часть, получимµi ei +i=1k+l−pPλj ej = 0. Значит, µi = λj = 0 (i = 1, . . . , p ; j =j=k+1k + 1, . . . , k + l − p) ⇒ x = 0 ⇒ λi = 0 (i = 1, . . . , k). Поэтому векторы (e1 , . . . , ek+l−p ) линейно независимы.Q.E.D.Def. Суммой подпространств U и W ∈ V называется подпространство U + W = hU ∪ W i - наименьшее подпространство, содержащее U и W . Ясно, что U + W = {u + w : u ∈ U, w ∈ W } (такие векторы должны быть вU + W , но и сами они уже образуют подпространство).Следствие. dim(U + W ) = dim U + dim W − dim(U ∩ W ).Доказательство. dim(U + W ) = k + l − p = dim U + dim W − dim(U ∩ W ) - в обозначениях предыдущей теоремы:k + l − p линейно независимых векторов составляют базис U + W .

Q.E.D.Для трёх подпространств, вообще говоря, не существует согласованного с ними базиса(рассмотреть 3 одномерных подпространства в R2 ).35Линейная независимость подпространств.Базис и размерность прямой суммыDef. Подпространства U1 , . . . , Uk ⊂ V называются линейно независимыми, еслиu1 + · · · + uk = 0 (ui ∈ Ui ) ⇒ u1 = u2 = · · · = uk = 0.Теорема.

Два подпространства U и W линейно независимы ⇔ U ∩ W = 0.Доказательство. u + w = 0 ⇔ u = −w ∈ U ∩ W. Если U ∩ W = 0, то u = w = 0. Обратно, если существуетненулевой вектор z ∈ U ∩ W , то, сложив его с противоположным, получим z + (−z) = 0, где z ∈ U, −z ∈ W .Q.E.D.Для трёх подпространств если их попарные пересечения равны {0}, то это не означает их линейной независимости.Теорема. Если подпространства U1 , . . .

, Uk линейно независимы, то размерность их суммы равна сумме ихразмерностей: dim(U1 + · · · + Uk ) = dim U1 + · · · + dim Uk .Доказательство. Пусть (ei1 , . . . , eini ) - базис в Ui (i = 1, . . . , k), dim Ui = ni . Докажем, что(e) = (eij : i = 1, . . . , k; j = 1, . . . , ni ) - базис U1 + · · · + Uk :1) Каждый вектор u ∈ U1 + · · · + Uk имеет вид u = u1 + · · · + uk (ui ∈ UiP) ⇒ выражается через (e);2)Векторы (e) линейно независимы. Действительно, предположим, чтоλij eij = 0. Тогдаi,j!P PPPλij eij = 0; но ∀iλij eij ∈ Ui ⇒λij eij = 0 ⇒ ∀i ∀j λij = 0 (так как мы имеем линейнуюijjjкомбинацию базисных векторов каждого из подпространств). Q.E.D.Def. Сумма линейно независимых подпространств называется прямой суммой.

Обозначается:U1 ⊕ U2 ⊕ · · · ⊕ Uk . Если U1 ⊕ . . . ⊕ Uk = V , то говорят, что пространство V разложено в прямую сумму подпространств U1 , . . . , Uk . В этом случае dim V = dim U1 + · · · + dim Uk . Каждый вектор из V единственным образомпредставляется в виде x = x1 + · · · + xk , где xi ∈ Ui .

Вектор xi называется проекцией x на Ui и обозначаетсяxi = pr Ui x что зависит от всего разложения пространства V в прямую сумму.6Линейные отображения, их запись в координатах.Образ и ядро линейного отображения,связь между их размерностями.Def. Отображение ϕ : V → U векторных пространств над полем K называется линейным, если:1. ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y)2.

ϕ(λx) = λϕ(x)для любых x, y ∈ V ;для любых λ ∈ K и x ∈ V.Свойства:ϕ(0) = 0ϕ (λ1 x1 + · · · + λk xk ) = λ1 ϕ(x1 ) + · · · + λk ϕ(xk );Линейно зависимая система векторов переходит в линейно зависимую. Линейное отображение конечномерныхвекторных пространств полностью определяется образами базисных векторов:Пусть (e1 , . .