Е.Б. Винберг - Теория к экзамену, страница 10

По теореме Крамера, центр существует и единствен. Q.E.D.Теорема. Точка o является вершиной квадрики X тогда и только тогда, когдаo + x ∈ X ⇒ o + λx ∈ X ∀ λ ∈ K,29то есть квадрика инвариантна относительно всех гомотетий с центром в точке o.Доказательство. Пусть в векторизованной форме X = X(Q). Запишем уравнение квадрики, приняв за началоотсчёта точку o: q(x) + c = 0. Если o - вершина, то c = 0.Обратно, пусть X инвариантна. Пусть hλ - гомотетия с центром o и коэффициентом λ.Если hλ X = X, то уравнение квадрики hλ X имеет вид λ−2 q(x) + c = 0, так как hλ : x 7→ x .λЭто уравнение должно быть пропорционально уравнению квадрики X. Значит, c = 0.Q.E.D.Def.

Множество, которое вместе с каждой точкой o + x содержит и точку o + λx ∀ λ ∈ K, то есть инвариантное относительно всех гомотетий с центром в точке o, называется конусом с вершиной в точке o. Квадрика,являющаяся конусом (то есть имеющая вершину), называется конической.Def. Квадрика X называется цилиндрической, если ∃ a ∈ V, a 6= 0, такой что ta X = X,значит, ∀ λ ∈ K tλa X = X, λ 6= 0.Пусть α - симметрическая билинейная функция, соответствующая квадратичной функции q.Теорема. Множество всех таких векторов a, что ta X = X, является подпространством Ker α ∩ Ker l.Доказательство. Пусть Q(x) = q(x) + l(x) + c = 0 - уравнение квадрики X.

Уравнение квадрики ta X имеет видQ(x − a) = α(x − a, x − a) + l(x − a) + c = q(x) − 2α(x, a) + q(a) + l(x) + c − l(a) = 0.ta X = X ⇔ эти уравнения пропорциональны. Сравнивая квадратичные части, видим, что коэффициентпропорциональности равен единице. Значит, α(x, a) = 0 ∀ x ∈ V, и l(a) = 0, так как q(a) = α(a, a) = 0. Такимобразом, a ∈ Ker α ∩ Ker l. Q.E.D.45Аффинная классификация невырожденныхвещественных квадрик.Выберем базис пространства V , согласованный с U = Ker α ∩ Ker l. Пусть U = hem+1 , .

. . , en i . Тогда уравнениеквадрики не будет содержать членов с xm+1 , . . . , xn .Def. Квадрики, не являющиеся цилиндрическими, называются невырожденными. Достаточно изучать толькоих, потому что вырожденные квадрики сводятся к невырожденным меньших размерностей.Типы невырожденных квадрик.1. Неконические центральные квадрики.Приняв центр за начало координат, приведём уравнение квадрики к виду q(x1 , . . . , xn ) = 1, где q - невырожденная квадратичная функция.2. Конические квадрики.Приняв центр за начало координат, приведём уравнение квадрики к виду q(x1 , . .

. , xn ) = 0, где q - невырожденная квадратичная функция.3. Нецентральные квадрики.Ker q 6= 0, Ker α ∩ Ker l = 0. Значит, dim Ker l = n − 1, dim Ker q = 1, и V = Ker l ⊕ Ker q.Выберем базис в V так, чтобы Ker l = he1 , . . . , en−1 i , Ker q = hen i . Начало отсчёта выберем на квадрике.Тогда уравнение квадрики приводится к виду q1 (x1 , .

. . , xn−1 ) = xn , где q - невырожденная квадратичнаяфункция в he1 , . . . , en−1 i .Рассмотрим случай K = R.За счёт выбора базиса в пространстве V уравнение невырожденной квадрики приводится в одному из следующихвидов:1. x21 + · · · + x2k − x2k+1 − · · · − x2n = 1 (0 < k 6 n);h in 6k<n ;2.

x21 + · · · + x2k − x2k+1 − · · · − x2n = 02hin−1 6k <n .3. x21 + · · · + x2k − x2k+1 − · · · − x2n−1 = xn2В случае n = 2:123x21 + x22 = 1x21 − x22 = 1x21 − x22 = 0x21 = x2эллипс;гипербола;пара пересекающихся прямых;парабола.30В случае n = 3:x21 + x22 + x23 = 1x21 + x22 − x23 = 1x21 − x22 − x23 = 1x21 + x22 − x23 = 0x21 + x22 = x3x21 − x22 = x3123эллипсоид;однополостный гиперболоид;двуполостный гиперболоид;квадратичный конус;эллиптический параболоид;гиперболический параболоид.В силу координатного признака равенства фигур в аффинной геометрии, чтобы узнать, аффинно эквивалентныли квадрики, над R надо уравнения обеих квадрик привести к каноническому виду.

Если уравнения совпадут,то и квадрики совпадут.46Евклидовы аффинные пространства.Расстояние между точками и между плоскостями.Def. Евклидовым аффинным пространством называется вещественное аффинное пространство, ассоциированное с евклидовым векторным пространством.→ .Def. Расстояние между точками определяется по следующей формуле: ρ(p, q) + |−pq|Свойства:1. ρ(p, q) > 0 при p 6= q, ρ(p, p) = 0;2. ρ(p, q) + ρ(q, r) > ρ(p, r).→→→Действительно, |−pq + −qr| 6 |−pr|, что вытекает из неравенства Коши-Буняковского.Таким образом, евклидово аффинное пространство является метрическим.Def. Расстояние между подмножествами P и Q определяется следующим образом:ρ(P, Q) =infp∈P, q∈Qρ(p, q).Теорема.

Для двух плоскостей P1 и P2 существует общий перпендикуляр, если U1 ∩ U2 = 0, то он единствен.Его длина равна ρ(P1 , P2 ) (если плоскости пересекаются, то под общим перпендикуляром понимается точка).Доказательство. Отрезок [p1 +u1 , p2 +u2 ] есть общий перпендикуляр ⇔ он ортогонален U1 +U2 . Но этот отрезок→−−→равен −p−1 p2 − u1 + u2 , то есть он является общим перпендикуляром ⇔ p1 p2 = u1 − u2 + v, где u1 − u2 ∈ U1 + U2 ,а значит, v ∈ (U1 + U2 )⊥ .→−−→Далее, ρ(P1 , P2 ) =infρ(p1 + u1 , p2 + u2 ) = inf |−p−1 p2 − u1 + u2 | = ρ(p1 p2 , U1 + U2 ) =u1 ∈U1 , u2 ∈U2−= |ortp−→p | = |v| - длина общего перпендикуляра.U1 +U2 1 247Движения.

Дифференциал как гомоморфизмгруппы движений в ортогональную группу.Собственные и несобственные движения.Def. Движением аффинного пространства S называется аффинное преобразование, дифференциал которогоесть ортогональное преобразование.Так как d(f g) = df ·dg, и так как ортогональные преобразования образуют группу O(V ), то и движения образуютгруппу Isom(S). Геометрия этой группы называется евклидовой геометрией.В векторизованной форме движения записываются так: f (x) = Ax + b, где A = df ∈ O(V ), а вектор b зависитот начала отсчёта.Значит, дифференциал осуществляет гомоморфизм d : Isom(S) → O(V ).Отображение det d : Isom(S) → {±1} - тоже гомоморфизм.Def.

Движение f , для которого det df = 1, называется собственным, для которого −1 - несобственным. Собственные движения образуют подгруппу Isom+ (S), несобственные - смежный класс по этой подгруппе. Значит,[Isom(S); Isom+ (S)] = 2.Классификация движений прямой:1. Если движение f собственное, то df = E, и f - параллельный перенос.312. Если f - несобственное, то df = −E. В векторизованной форме f (x) = −x + b, значит, b/2 - неподвижнаяточка, то есть f - центральная симметрия относительно этой неподвижной точки.48Ось движения. Геометрическое описаниедвижений плоскости и трёхмерного пространства.Теорема. Для любого движения f существует однозначно определённая плоскость P = p0 + U со следующимисвойствами:1.

f (P ) = P ;2. fP- параллельный перенос;3. df не имеет неподвижных векторов в U ⊥ .Доказательство. Если искомая плоскость P существует, то её направляющее пространство должно совпадать спространством неподвижных векторов оператора A = df. Обозначим это подпространство за U . В векторизованной форме f (x) = Ax + b. Пусть b = b0 + b1 ; b0 ∈ U, b1 ∈ U ⊥ . Так как оператор A − E невырожден на U ⊥ , тосуществует единственный вектор x0 ∈ U, такой, что Ax0 + b1 = x0 . Пусть p0 - соответствующая ему точка.

Тогдаf (p0 ) = p0 + b0 . Плоскость P = p0 + U и является той единственной плоскостью, удовлетворяющей условиямтеоремы. Q.E.D.Def. Плоскость из теоремы называется осью движения.Из канонического вида матрицы ортогонального преобразования следует:dim U ⊥ чётно, если f - собственное движение, и нечётно в противном случае.Геометрическое описание движений плоскости:1. f - собственное ⇒ df - поворот на угол α. В векторизованной форме f (x) = Ax + b, где матрица A естьΠ(α).(a) Если α = 0, то f - параллельный перенос.(b) Если 0 6 α 6 2π, то A не имеет неподвижных векторов, значит, уравнение Ax + b = x имеетединственное решение (поскольку оно равносильно уравнению (A − E)x = −b, и det(A − E) 6= 0).Если это решение взять за начало координат, то f (x) = Ax, то есть f - поворот.2.

Если f - несобственное, то df - отражение относительно некоторого одномерного подпространства l. Ввекторизованной форме f (x) = Ax + b, и разложим: b = b0 + b1 , b0 ∈ l, b1 ⊥ l. Рассмотрим прямую b21 + l.Она инвариантна относительно f : действительно,f ( b21 + u) = A( b21 + u) + b = − b21 + u + b = ( b21 + u) + b0 .Если o′ = o +b12- начало отсчёта, то f (x) = Ax. Значит, f - либо отражение, либо скользящая симметрия.Геометрическое описание движений пространства:Пусть P = p0 + U - ось движения f .1. Если dim P = 3, то f - параллельный перенос;2. Если dim P = 2, то ортогональное дополнение одномерно, значит, df U ⊥ = −E. Поэтому f есть либоотражение относительно P , либо скользящее отражение относительно P ;3.

Если dim P = 1, то dfU⊥- либо поворот относительно P , либо винтовое движение;4. Если dim P = 0, то, взяв эту точку за начало отсчёта, имеем, что f - ортогональное преобразование, неимеющее неподвижных векторов, то есть зеркальный поворот (поворот плюс отражение).49Прямоугольные системы координат в евклидовомаффинном пространстве. Свойство максимальнойподвижности и координатный признак равенствафигур в евклидовой геометрии.Def.

Репер (o; e1 , . . . , en ) называется ортонормированным, если базис (e1 , . . . , en ) ортонормированный. Системакоординат, связанная с таким репером, называется прямоугольной.32Теорема. Для любых двух ортонормированных реперов существует единственное движение f , переводящеепервый репер во второй, то есть f (o) = o′ ; df (ei ) = e′i (i = 1, . . . , n).Доказательство. Существует единственное аффинное преобразование, переводящее первый репер во второй,но поскольку df переводит ортонормированный базис векторного пространства в ортонормированный, то dfортогонально, значит, f - движение. Q.E.D.Координатный признак равенства фигур:Теорема.

Фигуры F и F ′ равны ⇔ существуют такие ортонормированные реперы(o; e1 , . . . , en ) и (o′ ; e′1 , . . . , e′n ),что o +Pixi ei ∈ F ⇔ o′ +Доказательство.Pix′i e′i ∈ F ′ .1. Существует f ∈ GA(S), переводящее первый репер во второй, причём f - движение, иf (F ) = F ′ . Значит, фигуры F и F ′ равны.2. Пусть f - движение, переводящее первый репер во второй. Возьмём любой ортонормированный репер(o; e1 , . . .