Е.Б. Винберг - Теория к экзамену, страница 11

, ePn ) и рассмотрим реперP(f (o); f (e1 ), . . . , f (en )) .Тогда o + xi ei ∈ F ⇔ f (o) + xi df (ei ) ∈ F ′ . Q.E.D.i50iПриведение уравнения невырожденной квадрикив евклидовом пространстве к каноническому виду(без доказательства единственностив случае параболоида).Найдём канонический вид уравнения невырожденной квадрики в прямоугольной системе координат:1.

Неконическая центральная квадрика.Выберем начало координат в центре квадрики. Свободный член сделаем равным −1.Получим λ1 x21 + · · · + λn x2n = 1, где λ1 , . . . , λn определены однозначно с точностью до перестановки иλi 6= 0 ∀ i = 1, . . . , n.2. Конические квадрики.λ1 x21 + · · · + λn x2n = 0, и λ1 , .

. . , λn определены однозначно с точностью до перестановки и умножения наодно и то же число.3. Нецентральные квадрики (параболоиды).Квадратичная функция приводится к виду λ1 x21 + · · · + λn x( n − 1)2 + b1 x1 + · · · + bn xn + c = 0.С помощью переноса начала координат можно получить λ1 x21 + · · · + λn x( n − 1)2 + bn xn + c = 0, причёмbn 6= 0, иначе квадрика вырождена.

Сдвигая по xn , уберём свободный член и сделаем bn = −1. Получимуравнение вида λ1 x21 + · · · + λn x( n − 1)2 = xn .На самом деле, числа λ1 , . . . , λn−1 определены однозначно с точностью до перестановки и умножения на−1 — без доказательства.51Проективные пространства, их аффинные карты.Однородные и неоднородные координаты.Def. Проективным пространством, ассоциированным с векторным пространством V , называется множество P Vодномерных подпространств пространства V . Множество P U одномерных подпространств, содержащихся в(k + 1)−мерном подпространстве U , называется k−мерной плоскостью проективного пространства P V.Ясно, что нульмерные плоскости — это точки, одномерные — прямые, (n − 1)−мерные — гиперплоскости. Еслиdim V = n + 1, то положим dim P V + n.

Обозначим: если 0 6= x ∈ V , то через xb обозначим hxi ∈ P V.Рассмотрим V , точку 0 и гиперплоскость S, не проходящую через 0. Пусть VS - направляющее подпространствоплоскости S. Любое одномерное подпространство, не лежащее в VS , пересекает S и VS . Положим ϕS : P V \P VS →S, тогда ϕS - биекция.Def. Гиперплоскость S вместе с отображением ϕS называется аффинной картой пространства P V.Def. Точки гиперплоскости P VS называются бесконечно удалёнными по отношению к аффинной карте S.33k−мерная плоскость пространства P V , не лежащая в бесконечно удалённой гиперплоскости, изображается накарте k−мерной плоскостью.

Точнее, изображается не вся k−мерная плоскость, а её k−мерная часть.Пусть (e0 , e1 , . . . , en ) - базис пространства V .b называются координаты вектора x. Они определены с точностью доDef. Однородными координатами точки xодновременного умножения на любое число из K ∗ . Обозначение: xb + (x0 : x1 : · · · : xn ), причём не все xi нули.Неоднородные координаты точки xb ∈ P V - это аффинные координаты её изображения на аффинной карте.Установим связь между однородными и неоднородными координатами.Пусть S = e0 + he1 , e2 , . . .

, en i . Тогда xb = (x0 : x1 : · · · : xn ), и x0 6= 0.x1xnx = x0 e0 + · · · + xn en = x0 e0 + e1 + · · · +enx0x0xnx0xn1- та же точка. Вектор e0 + xx0 e1 + · · · + x0 en имеет координаты x0 , . . . , x0 относительно репера (e0 ; e1 , . . . , en ).x0 , . . . , xn .Таким образом, неоднородными координатами точки xb служат отношения xx00Def. Аффинным атласом называется система аффинных картSi = ei + he1 , . .

. , ei−1 , ei+1 , . . . , en i ;i = 0, 1, . . . , n.Аффинный атлас полностью покрывает пространство P V.52Плоскости в проективном пространстве,их взаимное расположение.Теорема. Через любые k + 1 точку p0 , p1 , . . . , pk ∈ P V проходит плоскость размерности 6 k. Если эти точки несодержатся в плоскости размерности меньше, чем k, то проходящая через них k−мерная плоскость единственна.Доказательство. На языке векторного пространства V утверждение теоремы означает следующее: любые k + 1векторов x0 , x1 , . .

. , xk ∈ V содержатся в подпространстве размерности не выше k +1, а если они не содержатся вподпространстве размерности меньше k + 1, то они содержатся в единственном (k + 1)−мерном подпространстве.Это очевидно. Q.E.D.Теорема. Пусть π1 , π2 - такие плоскости пространства P V, что dim π1 + dim π2 > n.

Тогда π1 ∩ π2 непусто,причём dim(π1 ∩ π2 ) > dim π1 + dim π2 − n.Доказательство. Пусть π1 = P U1 , π2 = P U2 . Тогда по условию, dim U1 + dim U2 > n + 2 > n + 1 = dim V.Значит, U1 ∩ U2 6= 0, то есть π1 ∩ π2 непусто. Более точно, dim(U1 ∩ U2 ) > dim U1 + dim U2 − (n + 1), поэтомуdim(π1 ∩ π2 ) > dim π1 + dim π2 − n. Q.E.D.53Проективные преобразования.

Существование и единственностьпроективного преобразования n-мерного проективного пространства, переводящего одну заданную систему n + 2 точек общего положения в другую.Пусть A - невырожденный линейный оператор в пространстве V . Тогда A переводит каждое одномерное подпространство в одномерное подпространство. Тем самым, A определяет рекоторое преобразование Ab пространстваP V . Оно называется проективным преобразованием. −1d−1 = Ad = Ab · B;b Eb = id; AbСвойства: AB.Значит, проективные преобразования образуют группу. Она называется проективной группой и обозначаетсяPGL(V ).

Отображение A 7→ Ab является гомоморфизмом групп. Но это необязательно изоморфизм.Лемма. Ab = id ⇔ A = λE.c = id. Обратно, пусть Ab = id. Тогда все ненулевые векторы являются собственнымиДоказательство. Ясно, что λEвекторами оператора A. Но так как сумма собственных векторов с различными собственными значениями неявляется собственным вектором, то все собственные значения оператора A одинаковы. Q.E.D.Следствие. Ab = Bb ⇔ B = λA.−1 B = id ⇔ A−1 B = λE ⇔ B = λA. Q.E.D.\Доказательство. Ab = Bb ⇔ AЗапись в координатах:Пусть (e0 , e1 , .

. . , en ) - базис V . Рассмотрим аффинную карту S0 = e0 + he1 , . . . , en i .34Пусть x = (x1 , x2 , . . . , xn ) = e0 + x1 e1 + · · · + xn en ∈ S0 . Тогда Ax = y0 e0 + y1 e1 + · · · + yn en , гдеyi = ai0 + ai1 x1 + · · · + ain xn .Значит, Ax = (z1 , . . . , zn ), гдеyiai0 + ai1 x1 + · · · + ain xn=.zi =y0a00 + a01 x1 + · · · + a0n xnТаким образом, проективное преобразование - это дробно-линейное преобразование.При n = 1 оно выглядит как a b ax + b 6= 0.x 7→, где c d cx + dПри этом − dc 7→ ∞, а ∞ 7→ ac .Def.

Будем говорить, что точки p0 , p1 , . . . , pn+1 ∈ P V находятся в общем положении, если никакие n + 1 из нихне лежат в одной гиперплоскости.Теорема. Если точки p0 , p1 , . . . , pn+1 ∈ P V, а также точки q0 , q1 , . . . , qn+1 ∈ P V находятся в общем положении,то существует единственное проективное преобразование f , для которогоf (pi ) = qi ,i = 0, 1, . . . , n + 1.Доказательство. Пусть pi = ebi , где ei ∈ V.

Тогда любые n + 1 векторов из e0 , . . . , en+1 линейно независимы,и в частности, e0 , e1 , . . . , en - базис пространства V . Тогда en+1 раскладывается по этому базису. Но за счётнормировки базисных векторов можно добиться en+1 = e0 + e1 + · · · + en . При этом e0 , e1 , . . . , en определеныоднозначно с точностью до одновременного умножения на одно и то же число.Аналогично, существуют такие векторы f0 , f1 . . .

, fn+1 ∈ V, что qi = fbi , и fn+1 = f0 + f1 + · · · + fn . Пусть A b i = qi ∀ i.линейное преобразование, переводящее базис (e) в базис (f ), тогда Aen+1 = fn+1 , поэтому ApbТеперь пусть B - линейное преобразование, такое, что Bpi = qi , i = 0, 1, . . . , n + 1. Тогда Bei = λi fi . Но так какen+1 = e0 + e1 + · · · + en , то Ben+1 = Be0 + · · · + Ben = λ0 f0 + · · · + λn fn = λn+1 fn+1 .Значит, λ0 = · · · = λn = λn+1 ⇒ B = λA. Q.E.D.54Двойное отношение четвёрки точек, лежащихна одной прямой. Его инвариантностьпри проективных преобразованиях.У проективного преобразования нет инварианта даже трёх точек, лежащих на одной прямой.Пусть L = P U ⊂ P V - прямая, то есть dim U = 2. Пусть (e1 , e2 ) - базис в U . Пусть p1 , p2 , p3 , p4 ∈ L, pi = ubi , гдеu1 , u2 , u3 , u4 ∈ U.Обозначим через det(u, v) ( ∀ u, v ∈ U ) определитель матрицы, составленный из координат векторов u и v вбазисе (e1 , e2 ).

Двойное отношение точек p1 , p2 , p3 , p4 определяется по формуле(p1 , p2 ; p3 , p4 ) =det(u1 , u3 ) det(u1 , u4 ):.det(u3 , u2 ) det(u4 , u2 )Это выражение не зависит от выбора векторов u1 , u2 , u3 , u4 ∈ U, также оно не зависит от базиса пространстваU.Выразим двойное отношение через неоднородные координаты точек pi на прямой L.Пусть S - аффинная карта P V . u1 , u2 , u3 , u4 ∈ S∩L, ui = e2 +xi e1 .

Пусть x1 , x2 , x3 , x4 - неоднородные координатыточек pi . Тогда x 1 = xi − xj , таким образом, (p1 , p2 ; p3 , p4 ) = x1 − x3 : x1 − x4 = (u1 , u2 ; u3 ) .det(ui , uj ) = ixj 1 x3 − x2 x4 − x2(u1 , u2 ; u4 )Теорема. Проективное преобразование f ∈ PGL(V ) сохраняет двойное отношение, то есть(f (p1 ), f (p2 ); f (p3 ), f (p4 )) = (p1 , p2 ; p3 , p4 ).Доказательство. Пусть p1 , p2 , p3 , p4 ∈ P U, dim U = 2.

Пусть (e1 , e2 ) - базис U , и u1 , u2 , u3 , u4 ∈ U таковы, чтоubi = pi .b A ∈ GL(V ). Пусть vi = Aui , f1 = Ae1 , f2 = Ae2 . Тогда (f1 , f2 ) - базис AU, vbi = f (pi ).Пусть f = A,(f (p1 ), f (p2 ); f (p3 ), f (p4 )) =35det(v1 , v3 ) det(v1 , v4 ):.det(v3 , v2 ) det(v4 , v2 )Но vi выражается через (f1 , f2 ) также, как ui выражался через (e1 , e2 ), поэтомуdet(vi , vj ) = det(ui , uj ).Таким образом, двойное отношение сохраняется при проективном преобразовании. Q.E.D.55Квадрики в проективном пространстве, их аффинныеизображения.

Проективная классификацияневырожденных вещественных квадрик, её сопоставлениес аффинной классификацией.Def. Конусом в векторном пространстве V называется подмножество X ⊂ V , обладающее свойствомx ∈ X ⇒ λx ∈ X ∀ λ ∈ K.Проективизацией конуса X ⊂ V называется множество P X ⊂ P V всех одномерных подпространств, содержащихся в X. Изображение проективизации конуса X на аффинной карте S есть X ∩ S.Квадратичным конусом в пространстве V называется коническая квадрика с вершиной в нуле. Проективизацияквадратичного конуса называется проективной квадрикой.Квадратичный конус - это подмножество, задаваемое уравнением Q(x0 , x1 , . .

. , xn ) = 0, где Q - квадратичнаяфункция в пространстве V , при условии, что это множество не есть подпространство. Это же уравнение естьуравнение соответствующей проективной квадрики в однородных координатах. Изображение на аффинной карте S0 : x0 = 1 задаётся уравнением Q(1, x1 , . . . , xn ) = 0.Если это не пустое множество и не плоскость, то это аффинная квадрика (на самом деле, можно доказать, чтоесли поле K бесконечно, то это не может быть пустым множеством). Тип этой аффинной квадрики, безусловно,зависит от аффинной карты.Бесконечно удалённая часть проективной квадрики задаётся уравнением Q(0, x1 , .

. . , xn ) = 0. Это уравнение воднородных координатах на бесконечно удалённой гиперплоскости, и если это не пустое множество и не плоскость, то это квадрика.Всякая аффинная квадрика X на S0 является изображением однозначно определённой проективной квадрикиb Уравнение Xb в однородных координатах получается из уравнения квадрики X путём вставления x0 в членыX.первой степени и x20 в свободный член.Def. Проективная квадрика Q(x0 , x1 , . .

. , xn ) = 0 называется невырожденной, если квадратичная функция Qневырождена, и вырожденной в противном случае.Пусть Q вырождена, и F - соответствующая симметрическая билинейная функция.Пусть u ∈ Ker F, u 6= 0. Тогда Q(x) = 0 ⇒ Q(λx + µu) = 0 ∀ λ, µ ∈ K, потому чтоQ(λx + µu) = λ2 Q(x) + 2λµF (x, u) + µ2 Q(u) = 0.Это означает, что соответствующая проективная квадрика вместе с каждой точкой p содержит прямую, проходящую через p и точки o = ub.В аффинном изображении на карте S мы получим конус, если o ∈ S, и цилиндр в противном случае (еслиo ∈/ S, то это бесконечно удалённая точка, и p ∈ изображению ⇒ прямая, параллельная o, принадлежитизображению).Таким образом, в проективной геометрии нет разницы между конусом и цилиндром.Рассмотрим невырожденные проективные квадрики в вещественном проективном пространстве.Канонический вид уравнения в однородных координатах:n−1x20 + x21 + · · · + x2k − x2k−1 − · · · − x2n = 06k<n .2Рассмотрим случаи n = 2 и n = 3.При n = 2 есть только одна возможность:x20 + x21 − x23 = 0.

Эта квадрика называется коникой.При n = 3 - две возможности:x20 + x21 + x22 − x21 = 0 - овальная квадрика, иx20 + x21 − x22 − x21 = 0 - линейчатая квадрика.36Таблица:n Проективная квадрика2коника3овальная квадрикалинейчатая квадрика5656.1Аффинное изображениеэллипспараболагиперболаэллипсоидэллиптический параболоиддвуполостный гиперболоидоднополостный гиперболоидгиперболический параболоидБесконечно удалённая частьпустоточкапара точекпустоточкаконикаконикапара прямыхВекторные модели сферической и гиперболическойгеометрий. Плоскости, расстояние между точкамии движения в этих моделях.Сферическая геометрия.Пусть E n+1 - (n + 1)−мерное евклидово пространство со скалярным умножением(x, x) = x20 + x21 + · · · + x2n .Рассмотрим S n — n−мерную сферу, задаваемую уравнением (x, x) = 1. k−мерные плоскости на S n - это подмножества вида S n ∩ U, где U — (k + 1)−мерное подпространство в E n+1 .