Е.Б. Винберг - Теория к экзамену, страница 4

⇒ |x − y ′ | = |z|2 + |u|2 > |z| Q.E.D.Следствие. Из процесса ортогонализации вытекает, что если (e1 , e2 , . . . , ek−1 ) - произвольный базис в U , то2(ρ(x, U )) =det G(e1 , . . . , ek−1 , x).det G(e1 , . . . , ek−1 )Доказательство. Действительно, рассмотрим процесс ортогонализации произвольного базиса(e1 , .

. . , en ) пространства V (можно ортогонализовать, так как все угловые миноры положительны). Пусть получается базис (f1 , . . . , fn ). Понятно, что fk = ort Vk−1 ek , где Vk−1 = he1 , . . . , ek−1 i = hf1 , . . . , fk−1 i . Тогдаk−1P (ek , fi )det G(e1 , . . . , ek )fk = ek − pr Vk−1 ek = ek −fi , и (fk , fk )2 =.

Теперь, полагая ek = x, (в случае(f,f)detG(e1 , . . . , ek−1 )iii=1x ∈ U всё и так очевидно) получаем то, что надо. Q.E.D.1120Объём параллелепипеда в евклидовом пространстве(две формулы).Def. Параллелепипедом, натянутым на базис (a1 , . .

. , an ) называется множество()XP (a1 , . . . , an ) =λi ai : 0 6 λi 6 1iDef. Объёмом n-мерного параллелепипеда P (a1, . . . , an ) называется произведение объёма”основания” P (a1 , a2 , . . . , an−1 ) на ”высоту” h = ort ha1 ,a2 ,...,an−1 i an , при n = 1 vol P (a1 ) = |a1 |.2Теорема. (vol P (a1 , . . . , an )) = det G (a1 , . . . , an ) .Доказательство.

Индукцией по n.n = 1 : (vol P (a1 ))2 = |a1 |2 = (a1 , a1 ) = det G(a1 );22n > 1 : (vol P (a1 , . . . , an )) = (vol P (a1 , a2 , . . . , an−1 )) · ρ(an ; ha1 , a2 , . . . , an−1 i)2 =det G (a1 , . . . , an )det G(a1 , a2 , . . . , an−1 ) ·= det G (a1 , . . . , an ) . Q.E.D.det G(a1 , a2 , . . .

, an−1 )Следствие. vol P (a1 , . . . , an ) не зависит от нумерации векторов a1 , a2 , . . . , an .Теорема. Пусть (e1 , . . . , en ) - ортонормированный базис пространства V ,(a1 , . . . , an ) = (e1 , . . . , en ) A. Тогда vol P (a1 , . . . , an ) = | det A|.Доказательство. G (a1 , . . . , an ) - матрица скалярного умножения в базисе (a1 , . . . , an ) .G (a1 , . . .

, an ) = A⊤ G (e1 , . . . , en ) A = A⊤ A. det G (a1 , . . . , an ) = (det A)2 ⇒⇒ vol P (a1 , . . . , an ) = | det A| Q.E.D.21Полуторалинейные функции, их запись в координатах.Изменение матрицы полуторалинейной функциипри переходе к другому базису.

Эрмитовы и косоэрмитовыполуторалинейные функции, связь между ними.Def. Полуторалинейной функцией на комплексном пространстве V называется функцияα : V × V → C, обладающая линейностью по второму аргументуи антилинейностью по первому, то есть:1. α(x1 + x2 , y) = α(x1 , y) + α(x2 , y);2. α(λx, y) = λα(x, y).Пусть (e1 , . . . , en ) - базис пространства V . Тогда если x =Pxi ei ,y=iα(x, y) =Xaij xi yj ,Pyj ej , тоjгде aij = α(ei , ej ).i,jМатрица A = (aij ) называется матрицей полуторалинейной функции α в базисе (e1 , . .

. , en )(понятно, что любой комплексной матрице соответствует полуторалинейная функция).α(x, y) = X ∗ AY,⊤где X = (x1 , x2 , . . . , xn )⊤ , Y = (y1 , y2 , . . . , yn )⊤ , X ∗ = X .Свойства:1. (C + D)∗ = C ∗ + D∗ ;2. (λC)∗ = λC ∗ ;3. (CD)∗ = D∗ C ∗ .Рассмотрим переход к другому базису: (e′1 , . . . , e′n ) = (e1 , . . . , en ) C. Преобразования координат:X = CX ′ , Y = CY ′ .α(x, y) = X ∗ AY = (CX ′ )∗ A(CY ′ ) = X ′∗ (C ∗ AC)Y ′ .Def.

Ядром полуторалинейной функции α называется подпространствоKer α = {y ∈ V : α(x, y) = 0 ∀ x ∈ V } = {y ∈ V : α(ei , y) = 0 ∀ i = 1, . . . , n}12Теорема. dim Ker α = dim V − rk A Q.E.D. (доказательство аналогично)Def. Полуторалинейная функция называется эрмитовой (косоэрмитовой), если α(x, y) = α(y, x)(соответственно, α(x, y) = −α(y, x)).Очевидно, что полуторалинейная функция α эрмитова ⇔ функция iα косоэрмитова.22Нормальный вид эрмитовой функции. Закон инерции.Будем рассматривать только эрмитовы полуторалинейные функции.Def.

Векторы x и y называются ортогональными относительно эрмитовой полуторалинейнойфункции α, если α(x, y) = 0. Ортогональным дополнением к подпространству U называется подпространствоU ⊥ = {y ∈ V : α(x, y) = 0 ∀ x ∈ U }.Теорема. V = U ⊕ U ⊥ ⇔ U - невырожденное подпространство (относительно α). Q.E.D.Def.

Квадратичной эрмитовой функцией, ассоциированной с эрмитовой полуторалинейнойфункцией α называется q(x) = α(x, x). Понятно, что q(x) = α(x, x) = α(x, x) = q(x) → q(x) ∈ R.Теорема. Эрмитова полуторалинейная функция α однозначно восстанавливается по своей квадратичной функции q.Доказательство. q(x + y) = α(x + y, x + y) = q(x) + q(y) + α(x, y) + α(x, y).q(x + iy) = α(x + iy, x + iy) = q(x) + q(y) + iα(x, y) − iα(y, x).Для α(x, y) и α(y, x) получаем систему линейных уравнений с ненулевым определителем, значит восстанавливается однозначно Q.E.D.Следствие.

q ≡ 0 ⇒ α ≡ 0.Теорема. Для всякой эрмитовой полуторалинейной функции существует ортогональный базис.Доказательство. Аналогично. Q.E.D.В этом базисе α(x, y) = a1 x1 y1 + · · · + an xn yn , где ai = q(ei ) ∈ R.Нормируя базисные векторы можно добиться того, чтобы ai ∈ {±1, 0}. Получим нормальный вид:α(x, y) = x1 y1 + · · · + xk yk − xk+1 yk+1 − · · · − xk+l yk+l ;q(x) = |x1 |2 + · · · + |xk |2 − |xk+1 |2 − · · · − |xk+l |2 .Def. Эрмитова квадратичная функция q называется положительно определённой, еслиq(x) > 0 ∀ x 6= 0.Теорема (закон инерции). Числа k и l в нормальном виде эрмитовой квадратичной функции не зависят отбазиса, в котором она имеет нормальный видДоказательство.

Аналогично. Q.E.D.Числа k и l называются соответственно положительным и отрицательным индексами инерции эрмитовой квадратичной функции q. Аналогично для эрмитовых полуторалинейных функций имеют место процесс ортогонализации, метод Якоби и критерий Сильвестра.23Эрмитовы пространства. Ортонормированные базисы эрмитовапространства и унитарные матрицы.Def. Эрмитовым пространством называется комплексное векторное пространство, в котором фиксирована некоторая положительно определённая эрмитова полуторалинейная функция, называемая скалярным умножениеми обозначаемая ( , ).pМожно определить по аналогии с евклидовым пространством длину вектора |x| = (x, x), угол между векторами. Верно неравенство Коши-Буняковского |(x, y)| 6 |x| · |y|, неравенство треугольника |x + y| 6 |x| + |y|.Определено расстояние между векторами ρ(x, y) = |x − y|.В любом конечномерном эрмитовом пространстве существует ортонормированный базис, в котором(x, y) = x1 y1 + · · · + xn yn ;(x, x) = |x1 |2 + · · · + |xn |2 .Пусть (e1 , .

. . , en ) - ортонормированный базис, (e′1 , . . . , e′n ) = (e1 , . . . , en ) C.Тогда базис (e′1 , . . . , e′n ) ортонормирован ⇔ C ∗ C = E (такие матрицы называются унитарными). Для любогоподпространства U ⊂ V эрмитова пространства V = U ⊕ U ⊥ .1324Линейные операторы, их запись в координатах.Изменение матрицы линейного оператора при переходе к другомубазису. Ранг и определитель линейного оператора. Невырожденные линейные операторы.Def. Линейным оператором в векторном пространстве V (или линейным преобразованиемпространства V ) называется линейное отображение пространства V в себя A : V → V .Def. Подпространство U ⊂ V называется инвариантным относительно оператора A, еслиAU ⊂ U , то есть ∀ x ∈ U Ax ∈ U.

В этом случае можно рассмотреть A U - линейный оператор в подпространствеU.Теперь пусть dim V < ∞, и пусть A - линейный оператор в пространстве V .Пусть (e1 , . . . , en )P- базис V .Разложим Aej = aij ei - в отличие от общих линейных отображений, в обоих случаях используется один и тотiже базис. Матрица A = (aij ) называется матрицей линейного оператора A в базисе (e1 , .

. . , en ) - в j-м столбцеэтой матрицы стоят координаты образа ej в этом же базисе.В матричной форме: (Ae1 , . . . , Aen ) = (e1 , . . . , en ) A.Записьв координатах:P линейного оператораPx = xi ei , Ax = y = yj ej , X = (x1 , x2 , . . . , xn )⊤ , Y = (y1 , y2 , . .

. , yn )⊤ . Тогда Y = AX.ijИзменение матрицы линейного оператора при переходе к другому базису (e′1 , . . . , e′n ) :Пусть (e′1 , . . . , e′n ) = (e1 , . . . , en ) C. Тогда (Ae′1 , . . . , Ae′n ) = (в силу линейности) == (Ae1 , . . . , Aen ) C = (e1 , . . . , en ) AC = (e′1 , . . .

, e′n ) C −1 AC, значит A′ = C −1 AC.Понятно, что ранг и определитель линейного оператора не зависят от базиса.Def. Линейный оператор называется невырожденным, если его определитель отличен от нуля.Из теории общих линейных отображений следует, что• dim Im A = rk A;• dim Ker A = dim V − rk A.25Собственные векторы и собственные значениялинейного оператора.Если V = V1 ⊕ . . .

⊕ Vs , где Vi (i = 1, . . . , s) - инвариантные подпространства, то в соответствующем базисепространства V матрица A имеет блочно-диагональный вид. Рассмотрение одномерных инвариантных подпространств приводит к понятию собственного вектора.Def. Ненулевой вектор e ∈ V называется собственным вектором оператора A, если Ae = λeдля некоторого λ ∈ K. Число λ называется собственным значением оператора A.Пусть A - линейный оператор в конечномерном векторном пространстве V .Понятно, что если существуют собственные векторы с собственным значением λ, тоdet(A − λE) = 0, и наоборот.Вместе с нулевым вектором собственные вектора, отвечающие одному и тому же собственному значению λ,образуют подпространство Vλ (A) = Ker (A − λE), называемое собственным подпространством.Def.

Характеристическим многочленом оператора A называется многочлен (n-й степени) a11 − ta12...a1n a21a22 − t . . .a2n fA (t) = det(tE − A) = (−1)n det(A − tE) = (−1)n ............. an1an2. . . ann − t Непосредственно из определений вытекает, чтоТеорема. Число λ является собственным значением оператора A ⇔ оно является корнем характеристическогомногочлена fA . При этом Vλ (A) = Ker (A − λE). Q.E.D.Чтобы получить собственные векторы, отвечающие собственному значению λ, надо взять ненулевые решениясистемы уравнений (A − λE)x = 0.1426Собственные подпространства линейного оператора,их свойства.