Диссертация (Эпитаксиальный рост островков из кластеров металлов на поверхности высокоориентированного пиролитического графита в субмонослойном режиме), страница 12

Также было проанализировано влияние наличия на подложке в начале эксперимента движущихся кластеров: было показано, что на достаточно больших временах информация о начальном распределении скоростей пропадает, поэтому при рассмотрении стационарного распределения можно пренебречь начальным распределением скоростейкластеров.59Глава 3Статистическая модель роста островковВ данной главе представлено описание роста островков из кластеров металлов на подложке из ВОПГ с помощью стохастического дифференциального уравнения ˙ = () [4],где — размер островка (число кластеров в островке), () — случайный процесс с ненулевым средним, описывающий случайное присоединение кластеров к островку.

Случайныйпроцесс, как правило, является импульсным, и каждый импульс соответствует акту присоединения кластера к островку.3.1Теоретическое описание присоединения кластеровРаздел посвящено описанию случайного присоединения кластера к островку. В подразделе 3.1.1 рассматриваются импульсные процессы, с помощью которых возможно описатьприсоединение одиночных кластеров для различных режимов их осаждения.

В подразделе 3.1.2 была предложена модель импульсного процесса для описания задачи, в которойк островку могут присоединяться не только отдельные кластеры, но и островки из небольшого числа кластеров.3.1.1Присоединение одиночных кластеровДанный подраздел посвящен описанию различных видов импульсных случайных процессов, которые были использованы в работе в качестве случайного процесса при описаниироста островка.

Сначала рассмотрены общие характеристики импульсного процесса, состоящего из дельта-импульсов, после чего проведен анализ обновляемых шумов (пуассоновскогопроцесса без задержки и более общего случая с задержкой); в завершение раздела рассмотренимпульсный процесс с фиксированными точками.60Рассмотрим стохастический импульсный процесс (), состоящий из дельта-импульсовс постоянной амплитудой 0() = 0∑︁( − ).(3.1)Данный случайный процесс характеризуется временным интервалом между двумя последовательными импульсами = − −1 , где — случайная величина, среднее значениекоторой стационарное и равно .Найдем спектральную плотность процесса, описываемого уравнением (3.1), для чеговоспользуемся алгоритмом, предложенным в работе [101].

Рассмотрим импульсный стохастический процесс (), состоящий из 2 + 1 дельта-функций, который может быть описануравнением (3.1), где = [− ; ]. Обозначим через ℋ () преобразование Фурье от ():ℋ () = 0∑︁− .(3.2)=−В соответствии с общим определением спектральной плотности мощности случайногопроцесса выражение для спектральной плотности мощности процесса () имеет вид⟨︀⟩︀2|ℋ ()|2 →∞ (2 + 1) () = lim(3.3)Для определения спектральной плотности мощности импульсного случайного процесса⟨︀⟩︀необходимо найти величину |ℋ ()|2 :⟨2⟨|ℋ ()| ⟩ =02∑︁∑︁⟩−( − )==− =−{︃= 02(2 + 1) +02∑︁∑︁Θ () ==− =−2∑︁}︃(2 + 1 − ) [Θ () + Θ (−)] , = − .

(3.4)=1Здесь Θ () — характеристическая функция распределения временных интервалов между-ым и - ым импульсами. В данной работе рассматриваются такие случайные процессы, укоторых вероятностные характеристики импульсов не зависят от того, какой из импульсовпоследовательности принят за нулевой. Для таких процессов характеристическая функциязависит только от разности номеров двух импульсов, поэтому оказывается возможным перейти от Θ () к Θ ().61В итоге, спектральная плотность мощности импульсного процесса выражается следующей формулой [101]:[︃]︃∞∑︁202 () =1+Θ () + Θ (−) ,=1где ряд∞∑︀(3.5)Θ () сходится (строго говоря, предел в уравнении (3.5) может существовать=1в некоторых случаях, даже если ряд расходится).Пуассоновский процессНачнем рассмотрение отдельных импульсных процессов с пуассоновского процесса [102].Будем считать, что каждый импульс в сумме (3.1) возникает независимо от остальных.При этом времена появления импульсов и их число являются статистически независимыми случайными величинами.

Будем считать, что появление каждого импульса в любой момент времени равновероятно. Распределение Пуассона характеризуется экспоненциальнымраспределением интервалов между соседними импульсами() = − ,(3.6)где — вероятность появления импульса в единицу времени.Пуассоновский процесс с задержкойПерейдем к более общему описанию импульсных процессов, для чего добавим в систему некоторую задержку, возникающую после того, как появился новый импульс. В даннойзадаче каждый кластер движется независимо друг от друга, поэтому различные интервалымежду импульсами в импульсном процессе, представляющем акты присоединения кластеровк островку, независимы друг от друга.

В связи с этим фактом рассмотрение было проведенодля обновляемых процессов.Пуассоновский импульсный процесс с задержкой (ИППЗ) представляет собой обновляемый процесс с временной задержкой 0 после каждого импульса. В течение задержки новыйимпульс не может возникнуть. После окончания задержки вероятность появления следующего импульса в единицу времени постоянна. Таким образом, задержка 0 представляетсобой минимальный временной интервал между двумя соседними импульсами: ≥ 0 .Введем параметр периодичности 0 / , характеризующий степень периодичности процесса.

На графиках (a), (b), (c) рисунка 3.1 показаны три реализации пуассоновского процесса с задержкой при разных значениях параметра периодичности. С помощью ИППЗ можно6211(a)00(d)121t3421212t345345345(e)121t340051t(f)(c)0011(b)0000512t34500tРис. 3.1. ИППЗ (левый столбец) с 0 / = 0,9 (a), 0,4 (b), 0 (c) и ИПФТ (правый столбец)с / = 0,05 (d), 0,3 (e), 4,9 (f), = 0,2, 0 = 1. Среднее ⟨⟩ одинаково для всех процессов.Дисперсия распределения интервалов между соседними импульсами одинаковадля процессов, находящихся в одном и том же ряду (например, (a) и (d)).описывать источники шума с различной степенью случайности, изменяющейся от соответствующей белому шуму (0 / = 0)до квазипериодического процесса (0 / ≃ 1) [103].Функция плотности распределения вероятностей для интервалов между соседнимиимпульсами имеет следующий вид() = (0 −) ,(3.7)где величина распределена в интервале [0 ,∞), а ее среднее и дисперсия выражаются как1⟨⟩ = 0 + , 2 = ( − 0 )2 .(3.8)Так как процесс является обновляемым, характеристическая функция для распределения интервалов обладает следующим свойством: Θ () = Θ () — так как различныевременные интервалы независимы.

Легко видеть, что Θ() = 0 /( − ). Используяуравнение (3.5), получим выражение для спектральной плотности ИППЗ (см. рисунок 3.2) () =202 1 − |Θ()|2 402 ()+. |1 − Θ()|22(3.9)634ϑ0 /T =0ϑ0 /T =0.5ϑ0 /T =0.8Sη3210-20-100ω1020Рис. 3.2. Спектральная плотность ИППЗ для разных значений параметра периодичности( = 2, 0 = 1): 0 / = 0,8 (сплошная зеленая линия и ромбы), 0 / = 0,5 (пунктирнаякрасная линия и круги), 0 / = 0 (пунктирная черная линия и квадраты). Вертикальнымилиниями с символом соответствующей формы показаны дискретные части спектральнойплотности, значения которых соответствуют амплитудам дельта-функций.Используя представление характеристической функции через моменты, получим выражение для спектральной плотности процесса () = () − ⟨()⟩ при = 0 (0) =22 02,3(3.10)уменьшающееся с увеличением 0 / .Корреляционная функция может быть записана в следующем виде [103][︃]︃∞∑︁02 (|| − 0 )−1 −(||−0 )1 () =() +(|| − 0 ) −,( − 1)!=1(3.11)где () — функция Хевисайда.

На рисунке 3.3 видно, что время корреляции пуассоновскогопроцесса с задержкой уменьшается с уменьшением 0 / .Импульсный процесс с фиксированными точкамиРассмотрим другой тип импульсного процесса, известный как импульсный процессс фиксированными точками (ИПФТ). В качестве одной из возможных технических реализаций ситуации, в которой акты присоединения кластеров к островку можно описыватьс помощью ИПФТ, можно предложить режим импульсного напыления кластеров — тогдараспределение временных интервалов между соседними импульсами будет связано с интервалами между актами напыления кластеров на подложку.641.00ϑ0 /T = 0ϑ0 /T = 0.50.75ϑ0 /T = 0.8K0.500.250.00-0.25-6-4-20246tРис.