Диссертация (Электростатические свойства микромагнитных структур), страница 20

Такие дефектывозникают в силу того, что при образовании доменных границ появление участков с тем или иным направлением разворота равновероятно, и выбор киральности в удаленных друг от друга частях границы происходит независимо. Посути, вертикальная блоховская линия представляет собой линейную “доменнуюграницу” внутри доменной границы. Вдоль линии структура доменной границыявляется неелевской, что позволяет предположить возможность наличия у нееэлектрического заряда. В эксперименте было обнаружено, что вертикальныеблоховские линии в феррит-гранатовой пленке с (111)-ориентацией реагируютна приложение неоднородного электрического поля [4], однако количественныхданных об их поведении нет.Если зафиксировать распределение вектора намагниченности в пространстве, окружающем вертикальную блоховскую линию, один параметр по-прежнему останется свободным — компонента вектора намагниченности блоховскойлинии, нормальная к плоскости доменной границы.

Таким образом, структураблоховской линии определяется в процессе нарушения симметрии, и, следовательно, может сопровождаться появлением “доменов”. Границей между такими“доменами” внутри вертикальной блоховской линии будет точка Блоха — сингу-112лярный топологический дефект, являющийся дискретным аналогом магнитногомонополя. Экспериментальное наблюдение самой точки Блоха является непростой задачей [110], и неудивительно, что о более тонкой характеристике — ееэлектрических свойствах — ничего не сообщается. Ниже мы покажем, что в кристалле, где электрическим зарядом обладает вертикальная блоховская линия,точка Блоха также должна обладать электрическим зарядом.4.2Дефекты пониженной размерности внутри доменныхграниц4.2.1Вертикальная блоховская линияРассмотрим электростатические свойства вертикальной блоховской линии,находящейся в доменной границе между доменами с заданным направлениемнамагниченности.

Для этого запишем соответствующее распределение векторанамагниченности, нормированной на величину намагниченности насыщения Msв виде [3]:cos ϕ(y) sin θ(x)m~ =sinϕ(y)sinθ(x)cos θ(x) xθ(x) = 2 arctg exp∆ yϕ(y) = ±π/2 ± 2 arctg exp,Λ(4.1)(4.2)(4.3)pA/K — параметр ширины доменной границы, а параметр шириныpвертикальной блоховской линии Λ = ∆ Qf (Qf = K/2πMs2 — фактор кагде ∆ =чества). Ось z направлена перпендикулярно поверхности образца.

Оси x и yлежат в плоскости пленки, причем ось x перпендикулярна плоскости доменнойграницы, а ось y лежит в ней. Четыре варианта выбора знаков в выражениидля ϕ(y) соответствуют сочетаниям двух вариантов расположения киральностей блоховских участков границы и двух вариантов направления вектора намагниченности в центре линии Блоха.Воспользовавшись формулой (1.1), находим пространственное распреде-113Рис. 4.1: Электростатические характеристики вертикальной блоховской линии: а — нормированное распределение плотности электрического заряда на верхней поверхности образцаσ(x, y, h/2) в случае ϕ(0) = π; б — то же для случая ϕ(0) = 0; в — распределение объемнойплотности электрического заряда ρe (x, y, z) при −h/2 < z < h/2.

Показаны распределениявектора намагниченности и масштабные элементы, соответствующие ширине доменной границы ∆ и ширине вертикальной блоховской линии Λ.ление нормированной электрической поляризации и объемной плотности электрического заряда:p~ = 2ϕy sin θcos ϕ (θx + ϕy cos θ sin θ)0ρe = −2θx ϕy cos θ sin θ,(4.4)(4.5)где индексы обозначают производные углов по соответствующим координатам.Плотность поверхностного заряда определяется z-компонентой поляризации. При этом на верхней и на нижней поверхностях образца знак поверхностных зарядов вертикальной линии Блоха будет разным. Под “верхней” и “нижней” поверхностями здесь и далее понимаются поверхности, для которых проекции nz > 0 и nz < 0, соответственно (нормаль ~n направлена из образца вокружающее пространство).

Знак электрического заряда на данной поверхности задается направлением вектора намагниченности в центре линии Блоха,то есть значением ϕ(0). Это наблюдение согласуется с результатами раздела2.3.2, поскольку в центре линии Блоха доменная граница является неелевской,и направление вектора намагниченности (при фиксированном направлении вдоменах) определяет ее киральность.

На рисунках 4.1 а, б приведены распреде-114ления плотности электрического заряда, соответствующие сочетаниям знаков(+, +) и (−, +) в формуле (4.3). Отметим, что электрический заряд не зависитот направления вектора намагниченности внутри блоховских участков доменной границы, примыкающих к линии Блоха.Вычислим полный поверхностный заряд, находящийся на верхней поверхности пленки для микромагнитной конфигурации, изображенной на рисунке4.1 а:ZQ=Zσe (x, y, h/2)dxdy =Pz (x, y, h/2)dxdy =ZZπ+ 2 arctg ey/Λ dxdy == cos ϕ(θx + ϕy cos θ sin θ)dxdy = θx cos2ZZ= − θx sin(2 arctg ey/Λ )dxdy = −Λ θx ϕy dxdy =Z π Z 3π2= −Λdϕdθ = −π 2 Λ (4.6)0π2Здесь и далее полный заряд является размерной величиной и измеряется в единицах Γ = γχe Ms2 . При интегрировании по y мы воспользовались тем фактом,что для угловой зависимости вида (4.2) выполняется соотношение θx ∆ = sin θ.Кроме того, учтено, что слагаемое ϕy cos θ sin θ является функцией, четной поy и нечетной по x, вследствие чего не дает вклада в полный заряд.Дипольный момент вертикальной блоховской линии, обусловленный поверхностными зарядами, расстояние между которыми равно толщине пленкиh, составляет π 2 Λh.

Распределение объемного заряда в толще образца, изображенное на рисунке 4.1 в, представляющее собой протяженные облака положительного и отрицательного зарядов, также носит дипольный характер, но егодипольный момент лежит в плоскости пленки.4.2.2Точка БлохаВ силу того, что, в отличие от рассмотренных выше дефектов, точка Блоха является сингулярной точкой в распределении вектора намагниченности,доминирующим вкладом в энергию вблизи ее ядра является обменная энергия.Простейшей конфигурацией микромагнитной структуры точки Блоха является115Рис. 4.2: Микромагнитная структура точки Блоха: а — радиальное распределение векторанамагниченности; б — то же распределение после действия матрицы поворота Rγz вокруг осиz на угол γ.радиальное распределение вектора намагниченности (рис.

4.2а):x y zm~0=± , ,r r rгде ~r = (x, y, z) — радиус-вектор, r =~r=± ,r(4.7)px2 + y 2 + z 2 . Строго говоря, микромаг-нитное рассмотрение точки Блоха неправомерно, поскольку в микромагнетизмераспределение m~ предполагается гладким. Тем не менее, несмотря на то чтоплотность обменной энергии структуры (4.7) стремится к бесконечности вблизи начала координат, полная обменная энергия конечна. В силу изотропностиобменной энергии, ее величина остается неизменной при любых глобальныхповоротах вектора намагниченности, то есть преобразованиях вида Rm~ 0 , гдеR — ортогональная матрица с единичным детерминантом [3].

Принципиальноотличаться друг от друга будут лишь точки Блоха с разными знаками в исходном выражении для m~ 0 , поскольку они не могут быть переведены друг в друганикаким поворотом.Вид распределения вектора намагниченности в точке Блоха будет опре-116деляться следующим по значимости вкладом в энергию — магнитостатическойэнергией. Без потери общности можно считать, что магнитостатическая энергияраспределения m~ 0 будет минимизирована поворотом вектора намагниченностивокруг оси z на угол γ, как показано на рисунке 4.2б.

В литературе встречаютсяразличные значения угла скручивания γ, полученные исходя из разных условий: γ = 2π/3 = 120◦ — из условия минимальности магнитных зарядов [111],γ = arccos(−33/87) ≈ 112◦ — из условия минимальности магнитостатическойэнергии [112], γ = arccos(−7/18) ≈ 113◦ — из того же условия с учетом изменения модуля вектора намагниченности вблизи сингулярности [113].Найдем распределение вектора электрической поляризации и плотностьэлектрического заряда, присущего структуре вида (4.7):x y zp~0 = ±2 2 , 2 , 2 ,r r r2r2Для полного электрического заряда точки Блоха радиуса R0 имеем:ρe = −∇~p = ∓Zq(R0 ) =ρe r2 sin θ dr dϕ dθ = ∓8πR0(4.8)(4.9)(4.10)Так же, как и в случае обменной энергии, плотность электрического зарядастремится к бесконечности в начале координат, но интеграл от нее конечен.

Соответствие знаков в выражениях для распределения вектора намагниченностии для плотности электрического заряда может создать обманчивое впечатление,что знак электрического заряда точки Блоха связан со знаком ее топологического заряда. Ниже будет показано, что это не так.Проведем аналогичные вычисления для скрученной точки Блоха. Для этого подействуем на распределение вектора намагниченности m~ 0 (со знаком плюс)матрицей поворота Rγz вокруг оси z на угол γ:m~ =1x cos γ + y sin γ, y cos γ − x sin γ, zr(4.11)117x(cos γ + 1) + y sin γ1 p~ = 2 y(cosγ+1)−xsinγr 2z cos γ(4.12)Выражение для плотности электрического заряда удобно представить в цилинpдрической системе координат (R ≡ x2 + y 2 ):ρe = −2z 2z 2 − R2(cosγ+1)+2cos γ(R2 + z 2 )2(R2 + z 2 )2(4.13)Интегрируя ρe по объему цилиндра с высотой H (−H/2 6 z 6 H/2) и радиусомR0 , получим:4R20H(cos γ + 1) − 2πH ln 1 + 2 cos γ (4.14)q(H, R0 , γ) = −4πR0 arctg2R0HПроверим соответствие полученного результата величине заряда в случае радиального распределения вектора намагниченности (4.10):√πq(H = 2R0 , R0 = R0 , γ = 0) = −8πR0 (ln 2 + ) ≈ 1, 132 · (−8πR0 )4(4.15)Множитель, незначительно больший единицы, возник из-за того, что объем цилиндра несколько превышает объем сферы, около которой он описан.

Аналогичная подстановка для произвольного значения угла γ дает q(R0 , γ) = −f (γ)R0 ,где обозначено f (γ) = π 2 (cos γ + 1) + 4π ln 2 cos γ. Из этого следует, что принекоторых значениях γ, в частности, при γ = π, электрический заряд изменяетзнак и становится положительным.Таким образом, полный электрический заряд вблизи сингулярности существенным образом зависит от угла скручивания. Однако в реальном материале распределение вида (4.11) не является полным описанием микромагнитнойструктуры точкиqБлоха, поскольку за пределами сферы с радиусом, приблиAженно равным π3 K(для значения фактора качества Qf = 10 [67]) должнопроизойти “сшивание” распределения вектора намагниченности вблизи сингулярности с распределением во внешних частях области рассмотрения.