Экспериментальное и теоретическое исследование дифракции акустических волн на конусах специального вида и препятствиях типа полосы

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова,физический факультетНа правах рукописиУДК 534.26; 517.958Валяев Валерий ЮрьевичЭкспериментальное и теоретическоеисследование дифракции акустических волн наконусах специального вида и препятствияхтипа полосыСпециальность: 01.04.06 – акустикаАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМОСКВА – 2012Работа выполнена на кафедре акустики физического факультетаМосковского государственного университета имени М.В. Ломоносова.Научный руководитель:доктор физико-математических наук,доцент Шанин Андрей ВладимировичОфициальные оппоненты:доктор физико-математических наук,профессор Бобровницкий Юрий Ивановичдоктор физико-математических наук,профессор Делицын Андрей ЛеонидовичВедущая организация:Институт проблем машиноведения РАНЗащита состоится « 16 » февраля в 16 часов на заседании диссертационно­го совета Д 501.001.67 при Московском государственном университете имениМ.В.

Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские Горы, МГУ,физический факультет, физическая аудитория имени академика Р.В. Хохло­ва.С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке физического фа­культета МГУ имени М.В. Ломоносова.Автореферат разослан «» января 2012 г.Ученый секретарьДиссертационного Совета Д 501.001.67кандидат физико-математических наукА.Ф.

КоролевОбщая характеристика работыЦели и задачи работы. В данной работе рассмотрены некоторые ска­лярные (акустические) задачи дифракции, а именно двумерные задачи о ди­фракции плоской волны на одной полосе, на двух полосах и на полубесконеч­ном экране со щелью, а также трехмерные задачи дифракции на четвертиплоскости и на трехгранном конусе, представляющем собой угол куба (рис. 1).(а)(б)(г)(в)(д)Рис. 1. Рассмотренные задачи дифракции: (а) на полосе, (б) на двух полосах, (в) на полу­бесконечном экране со щелью, (г) на четверти плоскости, (д) на трехгранном конусе.В недавних работах [1, 2] были получены новые аналитические соотноше­ния для волновых полей в рассматриваемых задачах. Эти результаты, поми­мо фундаментального значения, представляют интерес тем, что потенциаль­но могут быть положены в основу эффективных численных методов.

Однакосвязь между новыми соотношениями и численными методами оказываетсянетривиальной. Данная работа ставит одной из своих целей отчасти запол­нить этот пробел.Основным результатом работы [1] и ее обобщений для некоторых двумер­ных задач дифракции является метод спектрального уравнения. Этот методзаключается в том, что после ряда упрощений исходная дифракционная за­дача сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению (спектраль­ному уравнению) для диаграмм направленности волновых полей. Процеду­ры численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений весь­ма эффективны.

Сложность состоит в том, что коэффициенты спектральногоуравнения содержат нескольких параметров, значения которых неизвестны.Эти параметры находятся численно с помощью физически обусловленныхограничений, накладываемых на поведение решений уравнения в особых точ­ках. Целью данной работы является разработка численных алгоритмов поис­ка коэффициентов спектрального уравнения и вычисления диаграмм направ­ленности волновых полей.3Задачи дифракции на конусах в настоящее время являются активно раз­вивающейся областью теории дифракции. Основная цель при решении кони­ческой задачи — отыскание дифракционного коэффициента (амплитуды рас­сеяния), т.е.

зависимости амплитуды сферической волны, рассеянной верши­ной конуса, от направлений падения и рассеяния. Современный общий подходк решению конических задач был развит в работе [3]. Этот подход основан наразделении переменных в конической области на радиальную и угловую со­ставляющие. Радиальная составляющая решения удовлетворяет уравнениюБесселя, а угловая составляющая удовлетворяет уравнению Гельмгольца начасти единичной сферы, высекаемой дополнением конуса-рассеивателя с вер­шиной в центре сферы до всего трехмерного пространства (рис. 2).В результате дифракционный коэффициент вы­ражается в виде интеграла по параметру разделенияпеременных.

Подынтегральное выражение включа­ет в себя сферическую функцию Грина уравненияГельмгольца, которая вычисляется как решение гра­ничного интегрального уравнения.Данный подход является универсальным, одна­ко он обладает существенным недостатком. Дифрак­ционный коэффициент зависит от пары направле­ний: направления падения и направления рассеяния. Рис. 2. Геометрия сфериче­Среди таких пар направлений можно выделить об­ ской задачи, соответствую­ласть, традиционно называемую «оазисом», такую, щей дифракции на трех­гранном конусе.

Уравнениечто в соответствующем направлении рассеяния в Гельмгольца решается нарассеянном поле присутствует только сферическая части сферы, показаннойволна. В направлениях рассеяния, не принадлежа­ белым.щих оазису, могут присутствовать также плоская отраженная волна и ци­линдрические волны, рассеянные ребрами. В пределах оазиса интегральноепредставление, полученное в [3], обладает экспоненциальной сходимостью.Вне оазиса интеграл расходится.

Расходящийся интеграл может быть регу­ляризован и вычислен с помощью предельной процедуры [4], однако соответ­ствующие вычисления весьма громоздки.В работе [2] была предложена модификация этого метода для задачио дифракции на четверти плоскости. В рамках этой модификации были по­лучены новые интегральные представления дифракционного коэффициентадвух типов. Представления первого типа, названные трехмерными формула­ми расщепления, выражают дифракционный коэффициент в виде интеграловпо ребрам рассеивателя от комбинации диаграмм направленности трехмер­ных краевых функций Грина — функций Грина, соответствующих источни­ку, расположенному в некоторой точке на ребре рассеивателя. С помощьютрехмерных формул расщепления были обоснованы интегральные представ­4ления того же типа, что и представление из работы [3].

При этом удалосьсущественно расширить область экспоненциальной сходимости интегрально­го представления дифракционного коэффициента путем исключения плоскойотраженной волны и цилиндрических волн, образующихся при дифракциипадающей волны на ребрах рассеивателя.Одной из целей данной диссертационной работы является дальнейшееразвитие методов вычисления дифракционных коэффициентов при дифрак­ции на конусах. Развитие происходило в следующих направлениях.Были исследованы важные свойства модифицированного преобразова­ния Конторовича–Лебедева.

Данное преобразование представляет собой фор­му, в которой дифракционный коэффициент представляется, например, в [3].От обычного преобразования Конторовича–Лебедева модифицированное пре­образование отличается контуром интегрирования. Для модифицированногопреобразования построены аналоги формулы Планшереля и теоремы о сверт­ке. Полученные свойства позволяют искать дифракционный коэффициент вконической области в виде однократного контурного интеграла.Были найдены важные свойства различных решений уравнения Гельм­гольца на единичной сфере.

А именно, были получены важные тождества,связывающие между собой собственные функции сферической задачи, дву­мерные сферические краевые функции Грина и сферическую функцию Гри­на. Эти тождества были названы сферическими формулами расщепления.Двумерной сферической краевой функцией Грина называется сферическаяфункция Грина с источником, находящимся в вершине рассеивателя. Рас­сеивателем в данном случае является разрез (для дифракции на четвертиплоскости) или недостающая треугольная часть сферы (для дифракции наугле куба).

Полученные соотношения позволяют непосредственно осуществ­лять преобразования интегральной формулы из [3].Были построены новые интегральные представления дифракционногокоэффициента для задачи о дифракции на трехгранном конусе, занимающем1/8 пространства (на угле куба).В работе [2] было указано, что расходящиеся интегралы в трехмерныхформулах расщепления (представлениях дифракционного коэффициента че­рез диаграммы направленности трехмерных краевых функций Грина) тре­буют регуляризации.

При этом способ регуляризации построен не был. Внастоящей работе строится физически обоснованный способ регуляризацииданных интегральных представлений.При решении сложных задач достоверность теоретического исследова­ния часто подтверждается экспериментальными измерениями. Эксперимен­тальные исследования задач дифракции на конусах в акустическом случаесопряжены с рядом трудностей. Амплитуда рассеянной вершиной конуса сфе­рической волны мала по сравнению с амплитудой падающей волны. Из-за5этого для измерения дифракционного коэффициента необходима методика,обеспечивающая хорошее отношение сигнал/шум. Для этого можно использо­вать метод М-последовательностей (MLS).

Он давно и успешно применяетсяк изучению акустики помещений, однако его использование для исследованиядифракционных задач представлено в литературе крайне слабо. Этот методпозволяет измерять импульсные отклики линейных стационарных систем. Вслучае акустических измерений система включает в себя неидеальные излу­чающий и приемный тракты, влияние которых требуется учитывать.