Экспериментальное и теоретическое исследование дифракции акустических волн на конусах специального вида и препятствиях типа полосы (1105247), страница 5
Текст из файла (страница 5)
14. В области направлений, вкоторой присутствует только сферическая рассеянная волна, рассматривае20мый интеграл можно преобразовать в экспоненциально сходящийся. В техобластях направлений, в которых распространяются рассеянные ребрами цилиндрические волны, интеграл приходится вычислять путем громоздкой предельной процедуры [4].Предложенная в работе[2] модификация общего метода для случая задачи о четверти плоскости основываетсяна введении трехмерных краевых функций Грина , идвумерных сферических краефункций Грина: (а)вых функций Грина 1,2 . Эти Рис. 15. К определению краевыхдвумерных сферических ( 1 ), (б) трехмерных ( ).функции вводятся аналогичноописанному√︀ выше случаю задачи о полосе.
Рассматриваются поля источников силы /, лежащих на расстоянии от ребра четверти плоскости иливершины разреза сферы (рис. 15). Пределы этих полей и называются краевыми функциями Грина. Для трехмерных функций Грина вводятся диаграммынаправленности , по аналогии с (15).Основным результатом работы [2] является следующее выражение длядифракционного коэффициента четверти плоскости:ˆ/8 (, 0 ) =− 21 ()[1 (, )2 (0 , )−( + 0 )( + 0 )∪Γ− 1 (0 , )2 (, )]. (17)ImνЗдесь (, ) = [ (, − 1) − (, + 1)]/; контур1 − ν1Γ (рис.
16) состоит из двух петель, охватывающих точки ν1 − 1±(1 − 1 ), а 1 — первое собственное значение угловойReν1части оператора Лапласа на сфере с разрезом; 2 — коэффициент в краевой асимптотике функции 1 в окрест Рис. 16. Контур Γ.ности -вершины разреза (и 2 у -вершины); , и 0, — проекции векторов и 0 на оси и соответственно.Интеграл в этом представлении может быть преобразован в экспоненциально сходящийся в более широкойобласти направлений, чем интеграл в общей формуле(16): это становится возможно сделать для тех направлений, в которые не попадают вторичные цилиндриче Рис.
17. Вторичнаяские волны (рис. 17). Такие волны существуют даже не волна.при всех направлениях падения. Таким образом, формула (17) удобнее длявычислений, чем общая формула (16).Тем не менее, в работе [2] остался незаполненным ряд пробелов: требова21лась регуляризация расходящихся интегралов в промежуточных формулах,не было предложено конструктивного способа вывода формул такого типа иосталась невыявленной связь между общим и модифицированным выражениями для дифракционного коэффициента). В настоящей работе эти пробелызаполняются, и построенные методы применяются к задаче дифракции натрехгранном конусе, представляющем собой угол куба.В §3.2 подробно описывается постановка задачи о дифракции на четверти плоскости и вводятся трехмерные и двумерные сферические краевыефункции Грина.В §3.3 решается вопрос о регуляризации расходящихся интегралов, входящих в трехмерную формулу расщепления.
Эта формула выражает дифракционный коэффициент в виде интегралов по ребрам четверти плоскости откомбинации диаграмм направленности трехмерных краевых функций Гринаи является основой для вывода формулы (17).Вводится определение регуляризованного значения интеграла. Пусть некоторая функция () интегрируема на любом отрезке [, ] при 0 < < , и∑︀−1имеет следующую асимптотику при → 0: () = =1 + ( ), где < −1. Тогда предел⎤⎡ˆ+1∑︁ (18)+ () ⎦ =: () lim ⎣→0+1=10´будем называть регуляризованным значением интеграла 0 () .Доказывается справедливость регуляризованной трехмерной формулырасщепления:2 (, 0 ) =/034( + 0 )( + 0 )∞[ (; ) () + (; ) ()].0(19)´∞Здесь , () = 0 (, ), (0 ; ), а — коэффициент в краевойасимптотике функции в окрестности ребра и у ребра .В §3.4 решается вопрос о конструктивном способе вывода формул класса(17) из формул класса (19).
Для этого вводится модифицированное представление Конторовича–Лебедева. Пусть функции ℎ() и (, ′ ), , ′ ≥ 0, могутбыть представлены в видеˆ1−/2 (0 )() ,(20)ℎ() =2 ˆ1(, ′ ) = (0 < )(1) (0 > )() .(21)2 22Здесь < = min(, ′ ) и > = max(, ′ ); контур показан на рис.
14.Представления функций ℎ() и (, ′ ) в виде (20) и (21) называются модифицированным представлением Конторовича–Лебедева для функций одной и двух переменных соответственно. Функции () и () называютсятрансформантами функций ℎ() и (, ′ ) соответственно. В отношении трансформант предполагается, что они являются четными функциями , имеютсингулярности только в виде простых действительных полюсов, регулярныпри = 0 и экспоненциально убывают при | Im | → ∞.Доказываются два важных свойства этого представления.Формула свертки: пусть функции ℎ() и (, ′ ) имеют представления (20) и(21) с трансформантами и соответственно.
Тогдаˆ∞01′(, )ℎ( ) ′ =2′ˆ−/2 (0 )()() .′(22)Формула Планшереля: пусть функции ℎ1 () и ℎ2 () имеют представления (20)с трансформантами 1 и 2 соответственно. Тогдаˆ∞01ℎ1 ()ℎ2 () =4ˆ− 1 ()2 () .(23)Показывается, что функции , и , входящие в трехмерные формулырасщепления, имеют представления, схожие с (20) и (21). Отличие заключается в наличии дополнительных степенных множителей перед интегралами, нооно оказывается непринципиальным. С помощью построенной техники преобразования интегралов из регуляризованной трехмерной формулы расщепления (19) конструктивным образом выводится формула (17).
Эта формула была предложена в работе [2], однако там она была обоснована с помощью трехмерной формулы расщепления, содержащей расходящиеся интегралы. Крометого она была сначала угадана, а затем обоснована.В §3.5 выводятся сферические формулы расщепления, выражающие нетривиальные связи между собственными функциями, сферической функциейГрина и сферическими краевыми функциями Грина. Приведем пример такойформулы:2 1 (, ) = [ 1 (, − 1) + 1 (, + 1)]++ 21 ()[ 2 (, − 1) − 2 (, + 1)]. (24)Она справедлива, если и ± 1 не принадлежат спектру. Схожие формулыполучаются для собственных функций сферической задачи и сферическойфункции Грина. С их помощью формула (17) напрямую выводится из (16).23В §3.6 приводится пример вычисления дифракционного коэффициентачетверти плоскости по одной из новых формул.В §3.7 построенные методы применяются к задаче дифракции на трехгранном конусе = {(, , )| ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0}.Постановка задачи аналогична постановке задачи о четверти плоскости.Вводятся шесть трехмерных краевых функций Грина 1,, и 2,, , соответствующих монопольным и дипольным источникам, помещенным на ребра рассеивателя.
По аналогии с (15) для них вводятся диаграммы направ1,2ленности ,,. Также вводятся шесть сферических краевых функций Грина1,2,, (, ).Доказывается справедливость трехмерной формулы расщепления⎡∞∞338 /30 ⎣2 (0 , )1 (, ) − 2 (, )1 (0 , ) − (, 0 ) = 220 − 00⎤∞∞2 (0 , )1 (, ) +−02 (, )1 (0 , ) ⎦ (25)0и формулы:/12 (, 0 ) = 20 − 2ˆ− [(, 0 , ) − (0 , , )],(26)∪Γгде (, 0 , ) = 2 (0 , )1 (, ) − 2 (0 , )1 (, ), а 1,2, (, ) =1,21,2= [, (, − 1) − , (, + 1)]/.В §3.8 Кратко сформулированы основные результаты главы. Результатытретьей главы частично опубликованы в работах [1, 4–6, 10].В Приложение вынесены технически сложные и громоздкие обоснования соотношений для конических задач.В Заключении сформулированы основные результаты работы:1.
Предложена модификация экспериментальной методики исследованияакустических дифракционных задач, использующей в качестве входного сигнала М-последовательность. Составной частью методики является процедура восстановления объемной скорости источника акустических волн с помощью метода двух микрофонов. Основу модификациисоставляет использование теории Вайнштейна об излучении из открытого конца волновода.
На основании предложенной методики впервые24был измерен дифракционный коэффициент жесткого трехгранного конуса. Результаты измерений согласуются с теоретически вычисленнымизначениями с точностью 10%.2. Построен численный алгоритм решения скалярных (акустических) задач о дифракции плоской волны на препятствиях типа полосы методом спектрального уравнения. Основу алгоритма составляет процедура отыскания коэффициентов уравнения по известному из физическойпостановки задачи поведению решений в особых точках.
Показано, чтодля задачи о полосе метод спектрального уравнения более эффективенпо сравнению с традиционным методом граничного интегрального уравнения в том случае, если требуется высокая точность решения а такжев случае среднего и большого волнового размера полосы.3. Предложены новые методы построения аналитических решений для задач дифракции на многогранных конусах. Предложенные методы позволили строго обосновать точные выражения для дифракционного коэффициента четверти плоскости и получить новое выражение для дифракционного коэффициента трехгранного конуса.Цитированная литература1. Shanin A. V. Diffraction of a plane wave by two ideal strips // Quart.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
