Экспериментальное и теоретическое исследование дифракции акустических волн на конусах специального вида и препятствиях типа полосы (1105247), страница 4
Текст из файла (страница 4)
7. Геометрия заОсновной искомой величиной является дифракционный дачи о полосе.коэффициент (, ), то есть зависящая от направлений падения и рассеяния амплитуда цилиндрической волны, являющейся главной компонентойрассеянного поля вдали от рассеивателя:0 −/4(, in ) + (−3/2 0 ) при → ∞.(5)sc (, ) = − √20 Метод спектрального уравнения заключается в следующем.На первом шаге вводятся краевые функции Гри û1 εεна: рассматриваются поля ^1,2 , создаваемые источника û2 −aaми, расположенными на расстоянии от вершин отрезка√︀(рис. 8) и имеющих силу /. Краевыми функциями Рис.
8. К определению краевых функГрина 1,2 называются пределы полей 1,2 при → 0. ций Грина.Для них по аналогии с (5) вводятся диаграммы направленности 1,2 ().Затем доказывается справедливость формулы расщепления, выражающей дифракционный коэффициент через диаграммы направленности краевых функций Грина: 2 () 2 (in ) − 1 () 1 (in )(, ) =.0 (cos + cos in )in(6)Эта формула является точной, т.е. при ее выводе не делается никаких предположений о соотношении длины волны и размера рассеивателя.
Ее преимущества очевидны: функция двух переменных простым образом выражаетсячерез две функции одной переменной.Следующий шаг — вывод уравнения, которому удовлетворяют диаграммы направленности краевых функций Грина:(︂ )︂ [︂(︂)︂]︂ (︂ 1 )︂ 1−1 0=ctg+sin+Kctg−Ktg. (7)0−+0 1 2222Это обыкновенное дифференциальное уравнение и называется спектральнымуравнением. Его коэффициент содержит две априори неизвестных постоянных матрицы K± . Начальные условия также неизвестны. Основной задачей,15решаемой в данной работе, является построение алгоритмов вычисления этихданных.В §2.1 описывается общая схема метода спектрального уравнения и обсуждаются его преимущества перед традиционными методами. Главным изних является то, что дифракционная задача сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению (в противоположность уравнению в частных производных или интегральному уравнению).
Численное решение обыкновенногодифференциального уравнения может быть осуществлено за ∼ ( ) операций, где — число точек на контуре интегрирования.Задача отыскания коэффициентов спектрального уравнения решаетсяследующим образом. Из физической постановки задачи (условия излучения,требование конечности энергии) выводится ряд ограничений, которым должно удовлетворять решение спектрального уравнения.
Эти ограничения во-первых позволяют утверждать, что матрицы K± зависят от набора неизвестныхпараметров , = 1 . . . ( = 2 для случая одной полосы, = 8 для двухполос, = 4 для полубесконечного экрана со щелью), а во-вторых позволяют сформулировать систему уравнений, которым должны удовлетворятьэти параметры. Система формулируется в неявном виде: (1 , ..., ) = 0, = 1 .
. . , где функции выражаются через решения спектрального уравнения вдоль некоторых контуров. Для решения этой системы используетсяметод секущих. В результате решения системы также находятся и начальныеданные для спектрального уравнения.Предлагаемый алгоритм поиска коэффициентов оказывается весьма эффективным. Его общие затраты составляют порядка 10 – 20 актов решенияобыкновенного дифференциального уравнения. Таким образом, метод имеетвысокий потенциал к сокращению машинного времени, требуемого для численного решения рассматриваемых двумерных задач дифракции.В §2.2 подробно описывается постановка задачи о дифракции на полосе.К упомянутым выше условиям добавляется требование конечности энергиив любой конечной области, а на рассеянное поле накладываются условия излучения Зоммерфельда.В §2.3 описываются математические факты, лежащие в основе методаспектрального уравнения (вводятся краевые функции Грина, выводятся формула расщепления и спектральное уравнение).
Результаты данного параграфа, в основном, являются переложением результатов работы [1] со случаядвух полос на случай одной полосы.Для удобства анализа спектральное уравнение переформулируется дляспектральных функций, представляющих собой Фурье-образы краевых функций Грина и их нормальных производных, взятых на различных частях оси16. Говоря точнее, вводятся функции (), = 1, 2, = 0, 1, 2:0 () =ˆ− (, 0) ,−∞1 () = √︀02− 22 () =ˆ∞ (, 0) ,(8)ˆ (, +0) .(9)−Введенные функции обладают рядом важных свойств.
Во-первых, они непосредственно связаны с диаграммами направленности :√︁ () = 02 − 2 () 1 (()),() = −0 cos .(10)Во-вторых, справедливы следующие уравнения:0 () + 1 () + 2 () ≡ 0, = 1, 2.(11)В-третьих, эти функции имеют следующие асимптотики в точках ±0 и ∞:−0∞, Im > 0 ∞, Im < 0регулярны∼ − −1/2√√∼ − 0 ∼ + 0 ∼ − −1/2 ∼ −1/2регулярны∼ −1/2+0012Доказывается, что задача отыскания краевых функций Грина эквивалентна задаче отыскания функций (), удовлетворяющих функциональным уравнениям (11) и имеющих указанные асимптотики.Доказывается, что матрица U, составленная из спектральных функций([U], = ), удовлетворяет спектральному уравнению[︂ (︂)︂]︂K+K−−1 0U = ++U.(12)0 1 − 0 + 0В §2.4 обсуждаются свойства спектрального уравнения.Из геометрической симметрии → − следует, что матрицы K± связанысоотношениями (− ), = (+ )3−,3− , поэтому нужно найти только K+ .Из самой структуры уравнения (12) следует, что у него есть решенияс нужными асимптотиками на бесконечности.
Для существования решенийс нужными асимптотиками в точках ±0 необходимо и достаточно, чтобыматрица K+ имела собственные значения 0 и 1/2 и приводилась диагональному виду. Легко видеть, что данное требование фиксирует эту матрицу сточностью до 2-х скалярных комплексных параметров 1,2 .17Более сложной задачей является обеспечение нужных связей между решениями с рассматриваемыми асимптотиками в особых точках. Например, вслучае произвольно заданных параметров 1,2 решение, имеющее в точке 0корневую асимптотику, может оказаться регулярным в точке −0 и т.п. Доказывается, что ограничения, накладываемые на связи между асимптотиками,позволяют однозначно определить параметры 1,2 .Эти ограничения формализуются следующим образом.
Рассмотрим трибазиса пространства решений спектрального уравнения:1. пара столбцов Z1,2 , ведущих себя в точке 0 , как столбцы U1,2 ;2. пара столбцов W0,2 , ведущих себя на бесконечности, как столбцы U0,2 ;3. пара столбцов E1,2 таких, что (E1 (0), E2 (0)), = , .Обозначим через Z, W и E матрицы составленные из указанных столбцов.Введем матрицы связи M+ , M∞ и M+∞ такие, что E = ZM+ = WM∞ ,Z = WM+∞ . Эти матрицы зависят от параметров 1,2 , и M+∞ = M∞ (M+ )−1 .Доказывается, что если выполнены равенства+∞++1 (1 , 2 ) := 1,2= 0 и 2 (1 , 2 ) := 2,1+ 2,2= 0,(13)то среди решений уравнения (12) существуют столбцы U (), удовлетворяющие сформулированной выше функциональной задаче.В §2.5 описывается численный алгоритм поиска Im kΓпараметров 1,2 .
Эти параметры ищутся как решеkfk0ние системы (13). Система решается численно с поRe kмощью метода секущих (итерационного градиентноΓ∞го алгоритма). Ядром процедуры является алгоритмвычисления матриц связи.Рис. 9. Пути решения спек∞Матрица M вычисляется следующим образом. трального уравнения дляСпектральное уравнение с начальными условиями, вычисления матриц связи.соответствующими базису E1,2 , численно решается вдоль контура Γ∞ , показанного на рис. 9. В результате получается матрица E( ), где = + · 0.Затем строятся стандартные асимптотические ряды, представляющие решения W0,2 в окрестности точки +∞ + · 0:− −1/2W0 () = ∞∑︁()f0 −+1 ,+ −1/2W2 () = =1∞∑︁()f2 −+1 .
(14)=1()Коэффициенты f0,2 определяются из рекуррентных соотношений, возникающих при подстановке этих рядов в спектральное уравнение. Сумма первых нескольких членов этих рядов дает приближенное значение матрицыW( ). По определению, M∞ = W−1 ( )E( ). Указанный выбор точки делает матрицу W( ) хорошо обусловленной.18TS /TIlgεМатрица M+ может быть вычислена ана −2логично, однако при этом невозможно выбратьточку в окрестности 0 так, чтобы соответствую −4щая матрица была хорошо обусловленной. Поэтому используется альтернативный подход. Спек −6тральное уравнение решается вдоль контура Γ ,показанного на рис.
9. После такого обхода ре01 lgR2шение Z1 меняет знак, а решение Z2 не меняетРис. 10. Зависимость ошибкися. Пусть решения (E1 , E2 ) принимают после об от параметров алгоритма.хода значения (E′1 , E′2 ). Тогда столбцы матрицы (∘) : ℎ = 0,1;(+) : ℎ = 0,05;+ −1(×):ℎ=0,01;(△): ℎ = 0,001.(M ) являются собственными векторами мат′′Без маркеров: интегральноерицы (E1 , E2 ).уравнение.
Здесь 0 = 1.В §2.6 приводятся результаты моделирования и анализируются точность и эффективность построенного алгоритма.Точность оценивается по отклонениям от решения соответствующего интегрального уравнения. На рис. 10 приведены типичные зависимости относительной ошибки от параметров алгоритма и ℎ.
Здесь3⃒⃒ε = 10−3⃒ (, 0 ) − 0 (, 0 ) ⃒ = /0 ,ε = 10−4⃒, = max ⃒⃒⃒ℎ = Δ/0 ,ε = 10−50 (, 0 )2Δ — шаг дискретизации, 0 (, 0 ) — опорное реше1ние, а (, 0 ) — решение, ошибка которого оценивается.Эффективность оценивается сравнением ма0−10 lgk0 a 1шинного времени, требуемого для вычисления дифракционного коэффициента с заданной точностью Рис.
11. Зависимость отнометодом граничных интегральных уравнений ( ) и шения / при заданнойметодом спектрального уравнения ( ). На рис. 11 относительной ошибке отпоказана зависимость отношения / от парамет параметра 0 .ра 0 для различных значений заданной относительной ошибки . Как видно, метод спектрального уравнения является более эффективным, если требуется достижение высокой точности, а также при 0 & 1.В §2.7 и §2.8 метод спектрального уравнения применяется к задачамдифракции на двух полосах и на полубесконечном экране со щелью.В §2.9 Кратко сформулированы основные результаты главы. Результатывторой главы частично опубликованы в работах [2, 8, 9].В третьей главе рассматриваются задачи дифракции плоской волнына четверти плоскости и на трехгранном конусе. Основной задачей является вычисление дифракционного коэффициента — зависящей от направлений19падения и рассеяния амплитуды сферической волны, рассеянной вершинойконуса.
Большая часть главы посвящена задаче о четверти плоскости.Решается стационарная акустическая задача дифракции падающей с направления 0 плоской волны на четверти плоскости (рис. 12) с граничными условиями Дирихле: Δ + 02 = 0, = + ,|≥0,≥0,=0 = 0. Рассеянное поле формируетсяплоской отраженной волной, цилиндрическими вол Рис. 12. Геометрия задачи.нами, рассеянными ребрами, а также сферической волной, рассеянной вершиной. В той области направлений рассеяния, куда при данном направлениипадения попадает только сферическая волна, вдали от вершины рассеянноеполе имеет вид0 (, 0 ) + (−2 ) при → ∞. (, ) = 20 (15)Амплитуду сферической волны (, 0 ), зависящую от направления падения0 и направления рассеяния , называют дифракционным коэффициентом.Он является основной искомой величиной.К данной задаче применим общий метод вычисления дифракционныхкоэффициентов конических препятствий, развитый в работе [3].В §3.1 кратко описывается этот общий метод, а также обсуждается егомодификация для задачи дифракции на четверти плоскости, предложеннаяв работе [2].Общий метод основан на отделении радиальной переменной, и изучении возникающих при этом задач на единичнойсфере с вырезанной конусом-рассеивателем частью.
В случае дифракции на четверти плоскости эта часть представляет собой сферу с разрезом в виде четверти экватора Рис. 13. Сфера с(рис. 13). Направления падения и рассеяния отождествляют разрезом.ся с точками на сфере. Общее выражение дифракционного коэффициентасодержит сферическую функцию Грина (, 0 , ), то есть решение уравнения (Δ + 2 − 1/4) = ( − 0 ), обращающееся в нуль на разрезе. ЗдесьΔ — угловая часть оператора Лапласа в сферических координатах, —параметр разделения переменных.Через сферическую функцию Грина дифракционImνный коэффициент выражается следующим образом:γˆReν (, 0 ) =− (, 0 , ).(16) Рис. 14. Контур .Контур показан на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
