Экспериментальная и численная модель распространения нелинейных акустических сигналов в турбулентной атмосфере, страница 4

Таким образом, длительностьимпульса в условиях проводимого эксперимента может быть определена изсоотношений теории простых волн, что дает возможность абсолютнойкалибровки источника по измеренному нелинейному удлинению сигнала (§3.3).На основе метода наименьших квадратов с высоким коэффициентомкорреляции R=0.975 получены следующие значения амплитуды и длительностипрофиля N-волны на 15 см от источника: T = 28.6 мкс, p0 = 1150 Па.В §3.4 на основе данных численного моделирования в условияхфизического эксперимента получены частотные характеристики измерительнойсистемы как отношение спектров импульсов, рассчитанных и измеренных наодинаковом расстоянии от источника. Показано, что определяемая такимобразом амплитудно-частотная характеристика измерительной системы оченьблизка к амплитудно-частотной характеристике микрофона (полосапропускания 140 кГц), предоставленной производителем.Сравнение профилей волн, измеренных на различных расстояниях отисточника, с профилями волн, рассчитанных с применением полученногофильтра, показало хорошее согласие по всем характерным параметрамN-волны: амплитуде, длительности и ширине фронта (§3.5).

Таким образом,показано, что минимальная ширина фронта в эксперименте определяетсяограниченной частотной характеристикой измерительной системы и составляет~2.5- 3 мкс. В §3.6 приводятся основные результаты и выводы по третьей главе.BBB16BBBBBЧетвертая глава диссертационной работы посвящена выводунелинейного эволюционного уравнения и разработке численного алгоритма,позволяющего рассчитывать распространение акустических сигналов внеоднородной движущейся среде с учетом поперечной направлениюраспространения волны компоненты флуктуаций скорости среды. В §4.1приводится модифицированное эволюционное уравнение типа Хохлова –Заболотской – Кузнецова, учитывающее нелинейные и дифракционныеэффекты, эффекты термовязкого поглощения, и эффекты, связанные сналичием скалярных и векторных неоднородностей среды:∂ 2 p ⎤ c0∂p Δc + u x ∂p 1p ∂ρβ∂ ⎡ ∂p()−δ−p−⋅+u∇p−⊥⊥⎢⎥ = Δ ⊥ p , (5)∂τ 2 ⎦ 2∂τ ⎣ ∂x c 03 ρ 0 ∂τc 02∂τ c 02 ρ ∂xгде х – направление распространения волны, c и ρ – скорость звука и плотностьокружающей среды, u x и u ⊥ = (u y , u z ) - продольная и поперечные компонентыфлуктуаций скорости среды соответственно, Δc = с - c0 – изменение скоростизвука в среде за счет скалярных неоднородностей, δ = b /(2 ρ 0 c03 ) - коэффициентBBтермовязкого поглощения звука.

Слагаемое, описывающее поглощениеδ ∂ 2 p ∂τ 2 , может быть заменено линейным оператором общего вида L(p), еслинеобходимо учесть эффекты релаксации или другие потери. Новым в данномуравнении является 4-е слагаемое, учитывающее компоненты движения среды,перпендикулярные направлению распространения волны.При получении уравнения использовались допущения о том, чтофлуктуации характеристик среды изменяются медленно в пространстве ивремени, а флуктуации скорости звука и скорости среды малы по сравнению соскоростью звука.

Кроме того, параболическое приближение теории дифракцииявляется хорошей моделью для описания распространения звука внаправлениях не более 20° от оси, т.е. обеспечивает точность получаемыхрешений лишь для направленных пучков.В §4.2 показано, что полученное эволюционное уравнение обладаетсвойствами подобия, которые позволяют найти решения для некоторых типовдвижения среды в присутствии малых флуктуаций на основе решений дляэффективных флуктуаций.В §4.3 представлены различные алгоритмы численного моделированияуравнения (5), которые реализуются в зависимости от временныххарактеристик излучаемого сигнала. Спектральный подход обычноиспользуется при описании периодических волн (например, в задачахультразвуковой хирургии), а временной подход - для моделирования17распространения импульсных сигналов (задачи диагностики, распространенияакустических импульсов в атмосфере и океане).

При реализации обоихподходов на каждом шаге сетки по координате распространения используетсяметод расщепления по физическим факторам.При исследовании распространения периодических волн в качественачального условия задается плоская синусоидальная волна, а решениепредставляется в виде временного ряда Фурье, при подстановке которого вэволюционное уравнение получается система нелинейных связанныхуравнений для амплитуд гармоник исходной волны. Дифракционный оператордля каждой из гармоник рассчитывается с использованием схемы Кранка –Николсона. Для учета нелинейных эффектов, система связанных уравненийдля гармоник решается методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности длякаждого из узлов сетки по поперечной координате.

Расчет термовязкогопоглощения, релаксации и продольной направлению распространения волныкомпоненты флуктуаций скорости среды, проводится последовательно сиспользованием точных решений. Для учета поперечных флуктуаций скоростисреды используется схема Лакса - Вендроффа. Если характерная нелинейнаядлина равна xn / λ = c02 ρ 0 / 2πβp0 = 20 , а характерная длина диссипации равнаxd / λ = λ /(2π ) 2 c02δ = 500 , то шаг сетки по координате вдоль оси пучкасоставляет hx / λ = 2.5 ⋅ 10 −2 , а шаг сетки по поперечной координате равенh y / λ = 2.0 ⋅ 10 −2 .

Расчеты проводятся для N max = 150 гармоник.При исследовании распространения импульсных сигналов, профильначального импульса задается в форме N-волны длительностью T0 и с фронтом,ширина которого определяется стационарным решением уравнения Бюргерса:BV=θ2πB⎡⎛ xd⎞⎛ x⎞⎤(θ − π ) ⎟⎟ − tanh⎜⎜ d (θ + π ) ⎟⎟⎥⎢ tanh⎜⎜⎝ 4xn⎠⎝ 4xn⎠⎦⎣(6)где V = p/p0 - акустическое давление, нормированное на исходную амплитуду иBBθ =2πτ/T0 − безразмерное время. Ширина фронта такой волны составляет~10xn/xd. В условиях лабораторного эксперимента xd/λ ~ 6.6·103 и xn/λ ~ 16.6BBBBBBBBPPBB(λ = c0 T0 ), следовательно, ширина фронта равна 10xn/xd = 0.025, что составляетвсего 0.4% от длительности импульса.

При численном моделировании этоприводит к необходимости использования мелкомасштабной временной сеткии увеличению времени интегрирования, поскольку на ширину фронта волныдолжно приходиться достаточное количество узлов сетки. Для построенияоптимального с точки зрения точности решения и производительностиалгоритма проведено сравнение нескольких различных численных схем расчетаBBBBB18BBBнелинейных эффектов и эффектов, связанных с конвекцией в продольномнаправлении.

Окончательные расчеты проводятся следующим образом. Длярасчета нелинейных эффектов в каждом узле пространственной сеткииспользуется консервативная схема типа Годунова второго порядка точностипо времени. Расчет дифракции проводится на основе алгоритма Кранка –Николсона, а учет конвекции в направлении, поперечном распространениюволны - на основе численной схемы Лакса - Вендроффа. Конвекция внаправлении распространения волны, частотно-зависимое термовязкоепоглощение и релаксационные эффекты рассчитываются путем перехода вспектральное представление с использованием БПФ и далее, как и в алгоритмедля периодических волн, использования точных решений для комплексныхамплитуд гармоник.Преимущество представленного алгоритма заключается в том, что онпозволяет с высокой точностью рассчитать распространение акустическихсигналов, имея всего 2-3 узла сетки на фронт волны.

Для моделированияакустического поля при xn/λ = 20 и xd/λ = 2.9·103 были выбраны следующиепараметры численного счета: hx / λ = 2.5 ⋅ 10 −2 и h y / λ = 2.0 ⋅ 10 −2 - шаги,BBBBPPопределяемые из условия устойчивости алгоритма и хорошего разрешениямелкомасштабных структур акустического поля (не менее 10 точек нанаименьший масштаб поля). Число узлов сетки по времени на профиль волныn=1024 было выбрано с запасом, чтобы точно описать ширину фронта волны вфокальных областях. При уменьшении указанных шагов сетки в два разаполученное решение по своим параметрам изменялось не более чем на 3%.Хорошая точность построенного алгоритма и эволюционной моделиподтверждается также и сравнением тестовых расчетов для простыхнеоднородностей с существующими результатами, полученными на основерешения эволюционного уравнения в широкоугольном параболическомприближении (§4.4).

В §4.5 приводятся основные результаты и выводы почетвертой главе диссертационной работы.Пятая глава диссертационной работы посвящена численномуисследованию распространения нелинейных акустических сигналов внеоднородных движущихся средах и сравнению результатов с даннымиэксперимента. Рассмотрены особенности распространения периодических волн(§5.1) и одиночных импульсов в виде N-волн (§5.2).

На основе результатовчисленного расчета пиковых и средних характеристик, а также статистическихраспределений параметров акустической волны изучено влияние нелинейных идифракционных эффектов и случайных фокусировок на формирование19структуры акустического поля. Влияние характерных масштабов иинтенсивности флуктуаций движущейся среды, а также поперечнойкомпоненты флуктуаций поля скорости среды исследовано на примереслучайно-неоднородного поля с гауссовым энергетическим спектром (рис.1).Примерпространственногоа)y/λраспределения пикового положительногодавления в поле распространяющейся Nволны представлен на рис.5.

На рисункетакже изображены линии уровнейфлуктуаций скорости среды. Видно, чтоиз-заприсутствиянеоднородности,x/λp+энергиязвуковойволныp0перераспределяется в пространстве,б)образуяобластиповышенногоиy/λпониженного давления. При этомобластиповышенногодавленияформируются сразу после прохожденияволной участков неоднородной среды,где эффективная скорость звука c0+uxменьше, чем ее невозмущенное значениеx/λp+c0.

Несмотря на сильное нелинейноеp0поглощение волновой энергии, пиковоеРис. 5 а) Распределение пиковогоположительногодавленияс положительное давление в областяхотмеченныминанемуровнями фокусировки может более чем в три разафлуктуацийскоростисредыпревышатьамплитудупадающегоб)увеличенноеu || / c 0 =± 0.009;импульса.Случайныефокусыизображение области фокусировки(внутри белого прямоугольника на образуются в основном на сравнительнорис.5а), распределение лучей и каустик. малыхрасстояниях от источника,x/λ < 60, однако наблюдаются области фокусировки с относительно высокимдавлением даже на больших расстояниях x/λ = 110 (при нелинейной длинеxn/λ = 20).

На рис. 5б представлено увеличенное изображение фокальнойобласти, обозначенной белым прямоугольником на рис.5а. Поверх картиныпикового положительного давления изображены лучевые траектории (серыелинии) и геометрические места каустик (точки), полученные при решенииуравнений геометрической акустики. Лучевые траектории отчетливопоказывают формирование каустик, а их положения качественно находятся всогласии с предсказаниями областей повышенного давления на основеBBBB20BBBBнелинейного эволюционного уравнения (5).