Численное исследование уединенных волн на поверхности жидкости, страница 3

Система (6) – (7)заменой u = ∇f с указанной точностью была сведена к одному нелинейномууравнению для новой неизвестной функции f ( x, y, t ) :∆f − ftt + β ( µ + 1/ 3)∆ftt = 0.5α (| ∇f |2 )t + α ( p + ft )∆f ++α∇( p + ft )∇f − (1/ 3) β∆pt(8)При этом возвышение свободной поверхности η определялось через функцию fследующим образом:η = − p + µβ∆ft − ft − 0.5α | ∇f |2 . Внешнее воздействиеp было задано в виде одиночной волны давления, распространяющейся вдольканала с постоянной угловой скоростью в направлении увеличения полярногоугла ϕ .

Предполагалось, что форма волны давления не зависит от полярногорадиуса r . Функция p(ϕ , t ) определялась так:a0 N+ ∑ an cos(nϕ − ω nt ) ,где ω n - первый корень уравнения2 n=1(9)J n′ (ω R2 ) N n′ (ω R1 ) − N n′ (ω R2 ) J n′ (ω R1 ) = 0 ,J n (ω r ) и N n (ω r ) - функции Бесселя и Неймана n -го порядка соответственноp(ϕ , t ) =(штрих означает производную по полному аргументу цилиндрической функции),R1 и R2 - внутренний и внешний радиусы канала соответственно, коэффициентыan вычислялись по формулам:an =1π2π∫0p0 (ϕ )cos nϕ dϕ ,воздействиевначальныйn = 0,1,2,..., N .моментвремени,Здесьp0 (ϕ ) - внешнеекотороеимеловид:⎧ A sin 2 ⎡π (ϕ − ϕ ) /(ϕ − ϕ ) ⎤ , ϕ ∈ [ϕ ,ϕ ]⎪1 2⎣121 ⎦, 0 < ϕ1 < ϕ 2 < 2π , гдеp (ϕ ) = ⎨0,[,]ϕ∉ϕϕ⎪⎩01 2A , ϕ1 , ϕ 2 - некоторые постоянные.Угловая скорость волны давления равнялась ω1 (что соответствует резонансу вканале); для значений ω n при n > 1 выполняется равенство ω n = nω1 .Математическая задача формулировалась так: определить функцию η на основечисленного решения уравнения (8) конечно-разностным методом с начальнымиусловиями f (r ,ϕ ,0) = 0 , ft (r ,ϕ ,0) = 0 и граничными условиями f r = 0 при11r = R1 , f r = 0 при r = R2 ( f r - частная производная функции f по r ).В § 3.3 была построена неявная разностная схема для уравнения (8).

Придостаточно малых β исходная схема была заменена соответствующейфакторизованной схемой [5]. Полученная алгебраическая система ссоответствующими дополнительными условиями была решена двумяпоследовательными одномерными прогонками (по ϕ - циклическая прогонка).В § 3.4 приведены результаты расчётов. При проведении численногоэксперимента предполагалось, что параметры R2 , α , β , A , ϕ1 и ϕ 2 остаютсяпостоянными, а R1 , µ и N изменяется в определённых пределах.

Результатывычислений приведены на рис.4 – 6 для µ = 0.0, 0.5 и 1.0 соответственно водинаковые моменты времени ( R1 = 1.3, R2 = 1.6). На рисунках для наглядностисхематично изображён корпус кольцевого канала с обозначением уровняневозмущённой свободной поверхности. Во всех трёх случаях форма свободнойповерхности – уединённая волна, что на качественном уровне подтверждаетсялабораторными экспериментами. Уединённая волна движется в направленииувеличения ϕ с постоянной угловой скоростью внешнего воздействия ω1 ,найденной из уравнения (9) при R1 = 1.3, R2 = 1.6. Как показали расчёты, вдольрадиуса канала форма свободной поверхности при R1 =1.3 меняется мало, и придальнейшем увеличении R1 до значения 1.5 зависимость η (r ) становится ещёболее слабой.

Тем самым, первое допущение, сделанное в Главе 2, являетсявполне оправданным. На рис.4 – 6 хорошо видно, что по мере увеличения µамплитуда уединённой волны падает, а длина растёт, что также подтверждаетсялабораторными исследованиями. В диссертации приведена зависимостьамплитуды уединённой волны от поверхностной плотности µ . С течениемвремени амплитуда уединённой волны постепенно увеличивается, так как взадаче не учитываются потери энергии волны, связанные с трением, а угловаяскорость атмосферного возмущения соответствует резонансу в канале.

Согласнорасчётам, во флотирующей жидкости наблюдается некоторое отставаниеуединённой волны от аналогичной волны, распространяющейся в жидкости безфлотации, причём эффект запаздывания усиливается по мере возрастания µ . Нарисунках 4 – 6 форма свободной поверхности показана в одинаковые моментывремени, но при различных значениях угла ϕ для более удобного сравненияпараметров волн. Отставание уединённой волны при увеличении µ происходитпо причине, указанной в Главе 2 при рассмотрении узкого кольцевого канала.В четвёртой главе проведён численный эксперимент по моделированиюпроцессов образования и взаимодействия уединённых волн, движущихся в одномнаправлении и на встречных курсах в узком кольцевом канале и – на встречныхкурсах – в узком прямоугольном канале в отсутствии внешнего воздействия(флотация не учитывалась).

В качестве модельного уравнения было выбранобезразмерное уравнение Буссинеска в модифицированной форме.12Рис. 4Рис. 5Рис. 613В § 4.1 даны вводные замечания, показывающие преимуществоиспользования уравнения Буссинеска для численного моделирования уединённыхволн, а также приведён вывод безразмерного уравнения Буссинеска вмодифицированной форме.В § 4.2 выполнен численный эксперимент по моделированию процессовобразования и взаимодействия уединённых волн, движущихся в одномнаправлении в достаточно узком кольцевом канале.

В п.1 данного параграфаприведена математическая постановка задачи, и построена соответствующаяразностная схема. Рассматриваемая задача имеет вид (все переменные иконстанты – безразмерные):ηtt − η xx − ε (η 2 ) xx − δη xxtt = 0ηt ( x,0) = (2π / l )sin(2π x / l )η ( x,0) = − cos(2π x / l ) ,η ( x + l , t ) = η ( x, t) для любого x(10)(11)(12)Здесь η - возвышение свободной поверхности жидкости, l =10.0 – длинакольцевого канала, ε =(3/2)α , δ =(1/3) β , β 1, α = O( β ) . Под длиной lпонималась длина окружности радиуса 0.5( R1 + R2 ), где R1 и R2 - внутренний ивнешний радиусы канала соответственно и 1– ( R1 / R2 )1. В уравнении (10)отброшены все слагаемые, пропорциональные α , αβ , β .В п.2 приведены результаты вычислений.

Соответствующая алгебраическаясистема была решена методом циклической прогонки. Расчёты показали, что взависимости от значений ε и δ начальное возмущение с течением временитрансформируется и распадается на 2, 3 или 4 уединённые волны различнойамплитуды, движущиеся в одном направлении со скоростями, прямопропорциональными амплитудам. При движении по окружности уединённыеволны испытывают столкновения, но по окончании взаимодействия полностьювосстанавливают свою форму. Подробно проанализирована эволюция начальноговозмущения с течением времени. Показано, что с некоторого момента времениначинается процесс возврата системы в первоначальное состояние в полнойаналогии с результатами работы [3], после чего снова происходит распад, икартина циклически повторяется. Установлено, что процесс возврата являетсяпочти полным зеркальным отражением процесса распада в пространстве ивремени.

Результаты расчётов приведены на рис.7 – 9, на которых представленыграфики функции η ( xm , t ) = Vв различные моменты времени. На рис.72k2k ,mпоказана эволюция начального возмущения (штрих-пунктирная линия) стечением времени: образование локального максимума (сплошная линия) ипоявление дополнительного максимума меньшей высоты (пунктирная линия). Нарис.8 построен график η в момент времени, когда начальное возмущениепрактически полностью распалось на 4 уединённые волны. На рис.9последовательно показан процесс возврата, а соответствующие кривые(пунктирная и сплошная) являются зеркальным отражением кривых,142.42.41.8V0 , m1.2V70 , m 0.6V100 , m00.6− 1.2 1.20123456789xm010LРис. 72.42.41.81.2V232 , m 0.600.6− 1.2 1.20123456789xm010LРис.

82.42.41.8V817 , m 1.2V847 , m 0.6V917 , m00.6− 1.2 1.2012345xm0Рис. 915678910L554U0 , m3U94 , m2U272, m10−1104812162024283236xm040LРис. 10554U291, mU520, m3210−1104812162024283236xm040LРис. 11554U319, m3U530, m2U591, m10−11048121620xm0Рис. 12162428323640Lизображённых на рис.7 теми же линиями.

В момент времени t В (время возврата)начальный профиль полностью восстановился (рис.9, штрих-пунктирная линия),причём пунктирная и сплошная кривые на рис.9 построены в моменты времени,вычесть моменты времени, в которыекоторые получаются, если из t Впостроены пунктирная и сплошная кривые на рис.7.В § 4.3 проведён численный эксперимент по моделированию процессовобразования и взаимодействия уединённых волн, движущихся на встречныхкурсах в достаточно узких кольцевом и прямоугольном каналах одинаковойдлины.

В п.1 данного параграфа приведена математическая постановка задачи(соответствующая разностная схема взята из предыдущего параграфа).Рассматриваемая задача имеет вид (все переменные и константы – безразмерные):ηtt − η xx − ε (η 2 ) xx − δη xxtt = 0(13)Начальные условия:⎧ A( x − a)2 ( x − b)2 , x ∈ [a, b]η ( x,0) = ⎨, 0 < a < b < l , ηt ( x,0) = 0 , (14)xab,[,]∉0⎩где A = 0.3, l = 40.0 - длина канала (кольцевого или прямоугольного), апостоянные a и b принимают соответственно значения 4.0 и 8.0 - для кольцевогоканала и 18.0 и 22.0 - для прямоугольного.Граничные условия: η ( x + l , t ) = η ( x, t ) при любом x - для кольцевогоканала, η x (0, t ) = η x (l , t ) = 0 - для прямоугольного канала.В п.2 приведены результаты расчётов (соответствующие алгебраическиесистемы решены методом прогонки, для кольцевого канала использованавциклическая прогонка). На рис.10–11 представлены графики η ( xm , t ) = Ukk ,mразличные моменты времени для случая кольцевого канала.

На рис.10 показанраспад начального возмущения (штрих-пунктирная линия) на 2 импульса,расходящиеся в противоположные стороны, от которых постепенно отделяютсядополнительные максимумы меньшей высоты (пунктирная линия). Сплошнойлинией на рис.10 показан профиль η в момент полного распада начальноговозмущения на 2 группы уединённых волн (группы сближаются вследствиепериодичности).

На рис.11 изображён момент столкновения наибольших из волн(сплошная линия) и показано положение групп волн, полностью прошедшихпроцесс взаимодействия (пунктирная линия). На рис.12 представленыаналогичные графики для случая прямоугольного канала: наибольшие волны,испытав отражения от торцевых стенок, сталкиваются с набегающими на стенкиволнами меньшей амплитуды (пунктирная линия), обе группы волн после полногоотражения движутся на встречных курсах (штрих-пунктирная линия),наибольшие волны вступают во взаимодействие между собой (сплошная линия).В заключении сформулированы основные результаты диссертации:1.