Численное исследование уединенных волн на поверхности жидкости, страница 2

Результаты, представленные в диссертации,получены автором лично; выбор общего направления исследований иматематическая постановка конкретных задач осуществлялись совместно снаучным руководителем и научным консультантом. Автору принадлежатсамостоятельное численное решение поставленных задач, обработка результатоввычислений и их интерпретация.Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёхглав, заключения, списка литературы из 51 наименования, в том числе 9 работавтора.

Материал диссертации изложен на 83 страницах, включая 48 рисунков.Содержание работыВо введении сформулированы основные цели диссертационной работы,обоснована актуальность решаемых в ней задач, её научная новизна ипрактическая значимость. Кратко изложено содержание диссертации.В первой главе приведён обзор литературы, посвящённой, главным образом,численному и частично – аналитическому и лабораторному исследованиямуединённых волн на поверхности жидкости.В § 1.1 рассмотрены работы, затрагивающие проблемы численногомоделированияуединённыхволнвдвумерномслучае.Подробнопроанализированы публикации, посвящённые численному исследованию плоскихуединённых волн в неограниченной области и в бассейне конечной длины,возбуждаемых движущимся со скоростью v ≈ c0 внешним воздействием ( c0 скорость длинных гравитационных волн).

В этот же параграф внесены две статьи,в которых рассматриваются двумерные нелинейные задачи о волнах наповерхности флотирующей жидкости в неограниченных областях, и применяетсяаналитический метод исследования.В § 1.2 приведён обзор публикаций, посвящённых численномумоделированию уединённых волн в трёхмерном случае, а также рассмотренынекоторые аналитические методы исследования и лабораторные эксперименты.Публикации, связанные с численным исследованием, относятся либо к изучениюуединённых волн, возбуждаемых движущимся прямолинейно атмосфернымвозмущением, либо – к исследованию уединённых волн, распространяющихся вотсутствии внешнего воздействия.В § 1.3 рассмотрены работы, касающиеся численного и аналитическогоисследованияпроцессовобразования,взаимодействияиотражения6уединённых волн от препятствий. Особое внимание уделено уравнениюБуссинеска.

Проанализирована публикация, посвящённая построению точного N- солитонного решения уравнения Буссинеска, и рассмотрена статья, в которойприведены точные двух- и трёхсолитонные решения двумерного уравненияБуссинеска в предположении, что зависимость от второй пространственнойпеременной слабая. Подробно рассмотрена классическая работа [3], связанная счисленным решением уравнения Кортевега – де Фриза.Во второй главе проведён численный эксперимент по моделированиюуединённых волн на поверхности флотирующей жидкости в достаточно узкомкольцевом канале, возбуждаемых движущимся атмосферным возмущением, атакже дано описание лабораторного эксперимента и перечислены результатыизмерений.§ 2.1 полностью посвящён лабораторному эксперименту, которыйинициировал первые численные расчёты.

Установка, на которой были выполненыэксперименты, представляла собой кольцевой аэрогидроканал с внешним ивнутренним диаметрамиD2 =202 см и D1 =165 см соответственно. Длянепосредственного наблюдения за генерируемыми уединёнными волнами, атакже для проведения видео- и фотосъёмки боковые стенки канала былиизготовлены из оргстекла. Воздушный поток от вентилятора нагнетался впространство между поверхностью воды и крышкой канала через специальныераструбы. Регистрация волн проводилась при помощи струнного волнографа.В результате экспериментов были определены критические параметры,характеризующие возможность зарождения уединенных волн – пороговыезначения скорости ветра при заданных глубинах и соответствующие амплитудыволн. За амплитуду уединённой волны было принято максимальное возвышениесвободной поверхности над невозмущённым уровнем при r =0.25 ( D1 + D2 ) , r полярный радиус, перпендикулярный оси симметрии канала.

Одновременно былиполучены значения длины, скорости распространения, атакжевеличиныβ = (h0 / λ ) 2 и числа УрселаUr = α / β для поверхностных уединённых волн ( a - амплитуда волны, h0 глубина жидкости). Длина уединённой волны λ определялась как ширина волныпараметровнелинейности α = a / h0 , дисперсиина уровне полуамплитуды.Для исследованиявлияния флотации были проведены специальныеэксперименты. В кольцевой аэрогидроканал загружалось флотирующее веществомассой от 1 до 5 кг (кубики льда, деревянные пластинки).

Анализэкспериментальных данных показал, что при увеличении массы флотирующеговещества амплитуда генерируемой уединённой волны уменьшалась, а длинаувеличивалась.В § 2.2 приведена математическая постановка общей нелинейной задачи оволнах на поверхности идеальной несжимаемой флотирующей жидкости вкольцевом канале. Потенциальные движения жидкости рассматривались вдекартовой системе координат ( ось z была направлена вертикально вверх ).7Переменное атмосферное давление p ( x, y, t ) считалось известной функцией,потенциал скоростей частиц жидкости Φ ( x, y, z , t ) и возвышение свободнойповехности η ( x, y, t ) подлежали определению. В начальный момент временижидкость находилась в невозмущённом состоянии.В § 2.3 общая задача рассмотрена при следующих предположениях: 1)ширина кольцевого канала достаточно мала, 2) глубина жидкости значительноменьше длины волны (приближение мелкой воды).

Первое допущение позволилопренебречь изменениями зависимых переменных вдоль радиуса канала. Поэтомупосле введения новой переменной x% = Rφ ( R - средний радиус канала, φ полярный угол) общая трёхмерная задача была сведена к соответствующейдвумерной задаче, в которой для краткости x% обозначено через x , Φ = Φ ( x, z , t ) ,η = η ( x, t ) , p = p( x, t ) , а граничные условия по x - периодические. Припереходе к безразмерным переменным (для которых сохранялись прежниеобозначения) считалось, чтоα = a / h0 = O ( β ) , где aβ = (h0 / λ ) 21 (условие мелкой воды) ихарактерная амплитуда волны, h0 - уровеньневозмущённой свободной поверхности, λ - характерная длина волны.Согласно общей теории [4], потенциал Φ , удовлетворяющий уравнениюЛапласа и граничному условию на дне канала, был представлен в виде степенного∞ ( −1) n n 2 n ∂ 2 n F ( x, t ), F ( x, t ) - неизвестная функция.ряда: Φ ( x, z , t ) = ∑β z ⋅2nn=0 (2n)!-∂xЗатем в работе вводилась горизонтальная скорость частиц поверхности жидкости(1)по формулеu = Fx − (1/ 2) β Fxxx ,и после проведения соответствующих выкладок с точностью до членов первогопорядка по α и β включительно была получена неоднородная системауравнений Буссинеска в новой форме при наличии флотации:ηt + [(1 + αη )u ]x + (1/ 3) β u xxx = 0(2)ut + η x − µβ u xxt + α uu x = − px(3)Начальные и граничные условиями соответственно следующие:u ( x,0) = 0 , η ( x,0) = 0(4)u ( x + 2l , t ) = u ( x, t ) , η ( x + 2l , t ) = η ( x, t ) - для любого x ,(5)где l = π R , R - безразмерный средний радиус канала.Система (2) – (3) несколько отличается от соответствующей однородной системы,выведенной в [4], так как в данной диссертации горизонтальная скорость Φ xвведена в первом приближении по β (а не в нулевом как в [4]) и, следовательно,зависит от глубины.

Поэтому горизонтальная скорость частиц поверхностижидкости u в первом приближении по β определяется формулой (1). Придальнейшем рассмотрении считалось, что внешнее воздействие p ( x, t ) вуравнении (3) представляет собой волну давления, распространяющуюся в виде8изолированного импульса с постоянной скоростьюнаправлении оси Ox :v в положительном⎧ A sin 2 ⎡⎣π ( x − x1 − vt ) /( x2 − x1 ) ⎤⎦ , x ∈ [ x1 , x2 ]p ( x, t ) = ⎨, −l < x1 < x2 < l , где∉x[x,x],01 2⎩A , x1 , x2 - некоторые постоянные.В § 2.4 для численного решения системы (2) – (5) был использован неполныйметод Галёркина. Получающаяся при этом система обыкновенныхдифференциальных уравнений 1-ого порядка была решена методом Рунге –Кутта.

При проведении численного эксперимента параметры R , x1 , x2 , α , β иv оставались постоянными, A и µ изменялись в определённых пределах.В § 2.5 приведены результаты численного эксперимента. На рис. 1 – 3представлены графики зависимости функции η ( xn , t ) = U ( xn , k ) в одинаковыеkмоменты времени для µ = 0.0, 0.5 и 1.0 соответственно. Во всех трёх случаяхпрофиль свободной поверхности – уединённая волна, движущаяся со скоростьювнешнего воздействия v в положительном направлении оси Ox .

Скоростьгенерируемой уединённой волны была определена дополнительными расчётами.Отставание уединённой волны при увеличении µ объясняется следующимобразом. Для того, чтобы отклик водной поверхности в форме уединённой волныприобрёл заданную скорость внешнего воздействия требуется определённоевремя, которое увеличивается при возрастании µ . На рис. 1 – 3 хорошо видно,что во флотирующей жидкости амплитуда уединённой волны падает, а длинанесколько увеличивается, что подтверждается лабораторными экспериментами. Вдиссертации приведена зависимость амплитуды уединённой волны отповерхностной плотности µ .

С течением времени амплитуда уединённой волнывозрастает. Это происходит по двум причинам. Во-первых, даннаяматематическая модель не учитывает потери энергии волны, связанные с трением,во-вторых, выбранная в задаче безразмерная скорость атмосферного возмущениясоответствует резонансу Праудмена.В третьей главе проведён численный эксперимент по моделированиюуединённых волн на поверхности флотирующей жидкости в кольцевом каналеконечной ширины, возбуждаемых движущимся атмосферным возмущением.В § 3.1 выведена неоднороднаясистемауравнений Буссинеска вдвумерном случае при наличии флотации в безразмерном виде при условии, чтоβ 1 и α = O( β ) .

С этой целью, по аналогии с двумерной задачей,безразмерный потенциал Φ , удовлетворяющий уравнению Лапласа и граничномуусловию на дне канала, был представлен степенным рядом:∞ ( −1) n n nβ ∆ F ( x, y, t ) z 2n , F ( x, y, t ) - неизвестная функция,Φ ( x, y , z , t ) = ∑n=0 (2n)!∆ - оператор Лапласа. С точностью до членов первого порядка по α и βвключительно указанная система Буссинеска имеет вид:91.51.51U ( xn , 200)0.500.5−11108642− 1002468xn1010Рис. 11.51.51U ( xn , 200)0.500.5−11108642− 1002468xn1010Рис. 21.51.51U ( xn , 200)0.500.5−11108642− 100xnРис. 31024681010ηt + div[(1 + αη )u] + (1/ 3) β ⋅ div(∆u) = 0∇η + ut − µβ ⋅ ∇(divut ) + α (u∇)u = −∇p(6)(7)Здесь u - вектор горизонтальной скорости частиц поверхности жидкости,определяемый по формуле u = ∇( F − β∆F / 2) .В § 3.2 приведена математическая постановка задачи.