Диссертация (Функциональная интеграция нейрональных популяций в мозге человека), страница 9

Она состоит из девятидифференциальных уравнений для одного источника. Задержки проведения сигнала (Δ)опущеныдлянаглядности.Полноеописаниевключениязадержекпроведениявдифференциальные уравнения описаны в статье [21]. На рисунке 1.8 дано схематическоеописание того, какие процессы описывают эти уравнения и в каких кортикальных слояхпроисходят эти процессы.Уравнения состояния являются дифференциальными уравнениями первого порядка иполучены для описания динамики трех слоев субпопуляций нейронов, которые ведут себя какзатухающие линейные осцилляторы:38Рисунок 1.8 – Схема модели нейронной массы одной области.

Кортикальная область состоитиз трех слоев клеток, обменивающихся информацией как между собой, так и с клетками другихобластей. По материалам [21].(20)39где xj=[xj(1),xj(2),…] T . Состояния x0(i),…,x8(i) – усредненные трансмембранные потенциалы и токитрех популяций в i-м источнике. Уравнения состояния определяют скорость изменениянапряжения как функцию тока и показывают изменения тока как функцию напряжения и тока.В соответствии с правилами связывания, описанными выше, можно видеть, что на динамикусостояния влияет латеральная связь во всех трех слоях модели источника (см.

x8, x5,x4), в товремя как обратная связь влияет на динамику состояния в агранулярном слое (см. x8,x5), апрямая – в гранулярном слое (см. x4). Деполяризация пирамидального нейрона x0=x2-x3представляет собой смесь потенциалов, индуцированных возбуждающими и ингибирующими(деполяризующими и гиперполяризующими) токами соответственно.

Свертка с ядром p(t)преобразует среднюю плотность пресинаптического входного сигнала в усредненныйпостсинаптический мембранный потенциал [19]. Ядро p(t) задается выражением:(21)где He и Hi определяют максимум постсинаптического потенциала, а τe и τi представляют собойконстанты скорости возбуждения и торможения в синапсе соответственно. Оставшийсяоператор S преобразует усредненный потенциал постсинаптической мембраны каждойсубпопуляции x в последовательность разрядов, которая является входным сигналом дляостальных субпопуляций. Оператор S является сигмоидой и задается следующим выражением:(22)где r – фиксированный параметр, определяющий его кривизну (r=0.56 по данным литературы).Вид функций показан на рисунке 1.9Параметр внутренних связей γ и внутренняя задержка проведения Δii фиксированы. Всеостальные параметры свободны и имеют начальное распределение в виде гауссианы со своимсредним и дисперсией. Все параметры имеют слабо детерминированные начальные значения.Среди начальных значений параметров внешних связей, максимальное значение принимаютпараметры прямых связей, затем идут параметры обратных, а затем латеральных связей.

Этоотражает тот факт, что прямые связи оказывают более сильные эффекты нежели обратные илатеральные.40Рисунок 1.9 – Пример функций свертки и сигмоиды. Слева – постсинапстическиймембранный потенциал как функция пресинаптического входного сигнала. Справа –пресинаптический входной сигнал как функция трансмембранного потенциала. Все параметрыприравнены к единице, кроме r=0.56.Входной сигнал, поступающий в систему, описывается входной связью CU, которая посути является эквивалентом прямой связи, несущей сигнал u к гранулярному слою. Эта входнаяфункция моделирует афферентную активность субкортикальных структур и имеет формувсплеска с малыми флуктуациями.(23)Функция u(t) состоит из двух частей.

Первая – гамма функция с константами формы имасштабирования η1, η2, которая моделирует всплеск входного сигнала, пик которогоприходится на момент подачи стимула. Вторая часть – дискретная сумма косинусов,моделирующая систематические флуктуации входного сигнала как функцию времени достимула [19, 21, 60, 65].В нашем случае модель нейронной массы была использована для моделированиявызванного потенциала на зрительный стимул. Однако модель может быть использована, впринципе, для моделирования любых других ПСС в том случае, если сделанные вышепредположения остаются верными.Сравнение моделей (гипотез) и нахождение лучшей является основным шагом вмоделировании. Метод сравнения един для разных модальностей (ЭЭГ/МЭГ, фМРТ и другие)41и, в общем, является универсальным методом Байесовой инверсии, поэтомуприменим кданным любой природы.Инверсияопределенноймоделиmозначаетпараметрическуюаппроксимациюапостериорной вероятности p(θ|y,m).

Выражение для этой вероятности можно получить потеореме Байеса:(24)Для аппроксимации используется алгоритм ожидания-максимизации (EM), подробноописанный в статье [35]. EM может быть описан по аналогии со статистической механикой какградиентный спуск по поверхности свободной энергии F системы. Цель – минимизироватьсвободнуюэнергиюповариационнойплотностиq(θ).Когдасвободнаяэнергияминимизирована, q(θ)= p(θ|y,m), свободная энергия F=-ln p(y|m) – отрицательный логарифммаргинального правдоподобия.

После того как достигнут минимум свободной энергии,вариационная плотность используется как аппроксимация желаемого уровня сходимостимодели, а логарифм маргинального правдоподобия используется для сравнения моделей междусобой.Лучшаямодель,объясняющаяполученныевэкспериментеданныеобладаетмаксимальным значением ln p(y|m). Если даны две модели m1 и m2, можно сравнить их,вычислив Байесов фактор или, что то же самое, разницу в их маргинальном правдоподобии:(26)Если эта разница больше или равна трем (то есть относительное правдоподобие большеили равно 20:1), то можно считать что первая модель значимо лучше второй [90].Метод, описанный выше, подходит для сравнения моделей на каком-либо одномконкретном наборе данных, например на данных полученных от одного испытуемого.

Однако,может понадобиться выбрать модель, лучше всего описывающую много наборов данных, тоесть лучшую модель на групповом уровне. Предполагая, что каждый набор данных независимот других (все испытуемые независимы друг от друга), можно перемножить маргинальныеправдоподобия от каждого набора данных:(27)для того чтобы получить маргинальное правдоподобие i-й модели при описании n испытуемых.421.7.2 Динамическое каузальное моделирование данных фМРТКак было сказано выше, динамическое каузальное моделирование (DCM) – это методанализа нейрональных процессов, являющихся основой получаемых в эксперименте данных,таких как фМРТ или ЭЭГ. Основная идея метода – оценить параметры биологическиобоснованноймоделинейрональнойсистемытак,чтобыонанаилучшимобразомпредсказывала наблюдаемый BOLD-сигнал.

DCM может быть в принципе применен кэкспериментальным данным любой природы. В зависимости от пространственно-временныхсвойств данных необходимо задать соответствующую модель эволюции системы (модельсостояния) и модель наблюдений. Основные различия между реализациями DCM для ЭЭГ(потенциалы, связанные с событием, ПСС) и фМРТ показаны на рисунке 1.10.Скрытые состояния (напрямую не измеряемые методом фМРТ переменные)представлены с помощью простой модели нейрональной динамики k связанных между собойобластей мозга. Каждый элемент системы i представлен единственной переменной состояний zi,динамика системы описывается изменением вектора нейрональных состояний во времени.Переменная состояния напрямую не связана с какой-либо нейрофизиологической величиной,как то потенциал локального поля или скорость спайков (firing rate) нейронов, но отражаетсуммарную нейрональную активность в соответствующей области мозга.

Важно отметить, чтоDCM моделирует влияние внешнего возмущения (к примеру, некие экспериментальныеманипуляции) на нейрональную динамику. Эти возмущения описываются при помощивходного сигнала u, который может поступать в модель двумя различными способами:напрямую возбуждать одну из областей модели («возбуждающее» воздействие, например,возбуждение, вызванной вспышкой света в зрительной коре)или может изменять силусвязывания между областями («модулирующее» воздействие, например, во время обучения или43Рисунок 1.10 – Схематическая иллюстрация различий между реализацией DCM дляфМРТ и ЭЭГ (ПСС). В то время как уравнение состояния DCM для фМРТ содержит однупеременную состояния для каждой активной области, уравнение для ЭЭГ сложнее и содержит 8переменных состояния для каждой области.

Уравнение наблюдения, наоборот, сложнее дляфМРТ данных: в нем используется нелинейная модель гемодинамического ответа, содержащаянесколько дифференциальных уравнений. В прямой модели электрического ответаиспользуется простая линейная модель для предсказанной ЭЭГ активности на скальпе.привлечения внимания). В итоге, DCM моделирует временную эволюцию вектора состояниянейрональной динамики как функцию текущего состояния, входных сигналов u, и некоторыхпараметров, определяющих функциональную архитектуру и взаимодействие между областямимозга на нейрональном уровне:(28)где переменная состояния z и входной сигнал зависят от времени, а F является билинейнойформой [40].

Параметры этого уравнения n = A, B1,…,Bm,C могут быть выражены черезчастные производные F:44(29)Эти матрицы параметров описывают природу трех каузальных компонент, лежащих в основемоделируемой нейрональной динамики: 1) зависящие от внешних условий эффективные связимежду областями (kk матрица А), 2) зависящие от внешних условий изменения в эффективныхсвязях, вызванные j-м входным сигналом uj (kk матрицы B1,…,Bm) и 3) возбуждающие внешниевоздействия (km матрица C). Найдя апостериорное распределение этих параметров, можнопонять, какое влияние оказывают различные механизмы на динамику модели [40]. Важноотметить, что различие между понятиями «возбуждающий» и «модулирующий» соответствуетнейробиологическому определению.