Топология особенностей дробно-рациональных интегрирумых систем, страница 2

Решена задача тонкой Лиувиллевой классификации изоэнергетическихповерхностей случая Дуллина-Матвевва. Доказана невырожденность идана классификация положений равновесия, описаны грубые и меченыемолекулы изоэнергетических поверхностей.3. Решена задача о полноте гамильтоновых векторных полей отвечающихполиномам, полученных методом Садэтова. А именно, в полных коммутативных наборах полиномов, полученных методом Садэтова, есть дватипа полиномов.

Полиномы первого типа получаются методом сдвигааргумента, полиномы второго типа — другими методами. Доказано, чтогамильтоновы поля, соответствующие полиномам второго типа — полные.Теоретическая и практическая ценность7Полученные в работе результаты имеют теоретическое значение. Они полезны для исследования особенностей интегрируемых гамильтоновых систем.Предложен метод для доказательства полноты гамильтоновых полей, обладающих большим количеством интегралов.

На практике они могут быть использованы для создания шарообразных движущихся механизмов, например,игрушек.Аппробация диссертацииРезультаты диссертации докладывались на заседании Воронежской зимней математической школы (Воронеж, 2006), на конференции «Александровские чтения» (Москва, 2006), на геометрическом заседании семинара проф.Лауреса (Бохумский университет, Германия, 2008), на международной конференции «Geometry, Dynamics and Integrable systems» (Белград, 2008), наконференции «Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященную 70-летию ректора МГУ акад. В.А.Садовничего (Москва,2009), на семинаре Института Компьютерных Исследований (Ижевск, 2009),а также многократно на семинаре «Современные геометрические методы»под руководством акад.

А.Т. Фоменко и проф. А.С. Мищенко (мех-мат МГУ).ПубликацииПо теме диссертации опубликовано 4 работы [15, 16, 17, 18].Структура и объемДиссертация состоит из введения и пяти глав. Текст диссертации изложенна 134 страницах. Список литературы содержит 40 наименований.Содержание работыВо введении формулируется цель работы, кратко излагаются ее результаты и содержание, а так же освещается место данных результатов в современной механике.8В первой главе вводятся основные понятия и излагаются ключевые теоремы топологической классификации интегрируемых гамильтоновых систем.Описаны фазовое пространство и конформно-гамильтоновы дифференциальные уравнения на пуассоновых многообразиях, которые возникают в задачах неголономной механики.

А также сформулирована гипотеза МищенкоФоменко и дана новая интерпретация метода Садэтова построения полныхкоммутативных наборов полиномов на алгебрах Ли.Во второй главе для случая Дуллина–Матвеева найдены множество критических точек и множество критических значений отображения момента,описана топология изоэнергетических поверхностей, исследованы особые точки векторного поля и их тип, определено количество критических окружностей в прообразе кривых бифуркационной диаграммы. На компьютере вычислены индексы критических окружностей и сделан вывод о типе грубыхмолекул интегрируемого случая.

Построены меченые молекулы.Случай Дуллина–Матвеева является топологически новым, поскольку такой набор грубых молекул не встречается ни в одном из известных случаевинтегрируемости. В одной из молекул встречается атом D2 . Такая перестройка торов Лиувилля не встречается ни в одном из классических случаевинтегрируемости.В третьей главе анализируются движения шара Чаплыгина с ротором.Проведен топологический анализ. В частности, для отображения моментапостроена бифуркационная диаграмма и бифуркационный комплекс. Описаны особые решения. Их устойчивость исследована аналитически.

В последнем параграфе показано, как при помощи ротора можно стабилизироватьнеустойчивые и дестабилизировать устойчивые критические траектории.В четвертой главе изучены отдельные замечательные периодические ре-9шения задачи о качении резинового шара по плоскости.

Эта задача остаетсяинтегрируемой после замены времени даже при добавлении к шару постоянного ротора или силового поля задачи Бруна. При обеих добавках такжеисследованы решения, и среди них найдены устойчивые. Для этого системыбыли подвергнуты топологическому анализу, разработанному М.П. Харламовым. В частности, по отображению момента построены бифуркационныедиаграммы и бифуркационные комплексы. Описаны критические решения.Их устойчивость исследована аналитически.Наконец, в пятой главе получены результаты о полноте некоторых гамильтоновых векторных полей.

А именно, в работе [19] А.С.Мищенко и А. Т. Фоменко сформулировали гипотезу о существовании полного коммутативногонабора полиномов на произвольной алгебре Ли над полями R и C и предложили метод сдвига аргумента, доказывающий гипотезу для полупростыхалгебрах Ли. В работе [20] С.Т.Садэтов доказал гипотезу в общем случае надпроизвольным полем нулевой характеристики. Естественным образом встаетвопрос об исследовании полноты гамильтоновых полей, отвечающих полученным полиномам. Действительно, полный коммутативный набор функцийеще не определяет интегрируемую по Лиувиллю систему.

Для интегрируемости по Лиувиллю требуется полнота гамильтоновых полей для всех функцийиз набора коммутирующих функций. Метод Садэтова устроен пошагово. Накаждом шаге применяется один из четырех методов и к уже существующемунабору полиномов добавляется несколько новых.

Среди этих четырех методов, используемых Садэтовым, есть метод сдвига аргумента. Таким образом,Садэтов каждый отдельный полином получает одним из двух способов: либо методом сдвига аргумента, либо одним из трех оставшихся методов. Впятой главе показано, что гамильтоновы поля для полиномов, полученных10вторым способом — полны. Тем самым, задача об исследовании гамильтоновых полей полиномов из набора полных коммутативных наборов полиномов,полученных методом Садэтова, сведена к задача об исследовании полнотыгамильтоновых полей полиномов, полученных методом сдвига аргумента.Публикации автора на тему диссертации1.

Москвин А.Ю. Топология слоений Лиувилля нового интегрируемого случая на двумерной сфере — Труды Воронежской зимней математическойшколы С.Г. Крейна, 2006, ИПЦВГУ, с.135-1392. Москвин А.Ю. Топология слоения Лиувилля интегрируемого случая Дуллина–Матвеева на двумерной сфере — Матем. сб., 2008, т.199, №3, c.95–1323. Москвин А.Ю. Шар Чаплыгина с гиростатом: особые решения — Нелинейная динамика, 2009, т.5, №3, с.

345-3564. Москвин А.Ю. Резиновый шар на плоскости: критические решения —Нелинейная динамика, 2010, т.6, №2, с. 345-35811Глава 1Основные определения1.1Интегрируемые гамильтоновы системы на симплектических многообразиях1.1.1Понятие интегрируемой гамильтоновой системы и теоремаЛиувилляРассмотрим гладкое 2n-мерное симплектическое многообразие M2n и гладкую функцию H на нем. Косым градиентом sgrad H функции H на M2n называется векторное поле на M2n , являющееся результатом поднятия нижнегоиндекса у ковекторного поля grad H при помощи симплектической формы ω.Динамическая системаẋ = sgrad H(x)(1.1.1)на симплектическом многообразии называется гамильтоновой с гамильтонианом H. Невырожденная дифференциальная 2-форма на многообразии помогает ввести скобку Пуассона гладких функций следующим каноническимобразом:{f, g} = ω(sgrad f, sgrad g).12Легко показать, что все аксиомы скобки Пуассона выполнены.

ТождествоЯкоби следует из замкнутости формы ω.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1.1 Гамильтонова система (1.1.1) на симплектическоммногообразии M2n называется вполне интегрируемой по Лиувиллю, если существует набор гладких функций f1 , f2 , ..., fn таких, что:1) f1 , f2 , ..., fn — первые интегралы системы,2) они функционально независимы на M2n , то есть почти всюду на M2nградиенты линейно независимы,3) {fi , fj } = 0 для любых i и j,4) векторные поля sgrad fi полны для всех i, т.е. естественный параметрна их интегральных траекториях определен на всей числовой прямой.Часто для краткости вполне интегрируемую по Лиувиллю динамическуюсистему называют интегрируемой.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1.2 Слоением Лиувилля, отвечающим вполне интегрируемой система, называется разбиение многообразия M2n на связные компоненты совместных поверхностей уровня интегралов f1 , ..., fn .Отметим, что векторные поля sgrad f1 , sgrad f2 , ..., sgrad fn коммутируют,поскольку[sgrad fi , sgrad fj ] = sgrad {fi , fj }и являются полными.

Это позволяет определить на M2n действие абелевойгруппы Rn , порожденное сдвигами вдоль векторных полей sgrad f1 , sgrad f2 ,..., sgrad fn .131.1.2Теорема ЛиувилляВ случае интегрируемой гамильтоновой системы на симплектическом многообразии M2n отображением момента называют отображениеf1 × f2 × .. × fn : M2n → Rn ,сопоставляющее точке x ∈ M2n точку (f1 (x), f2 (x), ...fn (x)) ∈ Rn . Рассмотрим регулярную поверхность уровня отображения момента:Tξ = {x ∈ M2n |fi (x) = ξi , i = 1, 2, ..., n}Регулярность означает, что дифференциалы dfi линейно независимы на Tξ .Имеет место следующий результат.ТЕОРЕМА 1.1.1 (Лиувилля) Пусть на симплектическом многообразии(M2n , ω) задана вполне интегрируемая по Лиувиллю гамильтонова система v = sgrad H, и Tξ — регулярная поверхность уровня отображения момента.

Тогда1) Tξ — гладкое лагранжево подмногообразие, инвариантное относительно потоков v = sgrad H и sgrad f1 , ..., sgrad fn .2) Если подмногообразие Tξ связно и компактно, то оно диффеоморфноn-мерному тору T n . Этот тор называется тором Лиувилля.3) В окрестности U = T n × Dn существует система координат s1 , ..., sn ,φ1 , ..., φn , называемых переменными действие-угол, со следующими свойствами:а) s1 , ..., sn — координаты на диске Dn , φ1 , ..., φn — стандартные угловые координаты на торе T n , φ ∈ R/2πZ.Pб) ω = dφi ∧ dsi .14в) Переменные действия si являются функциями от интегралов f1 ,..., fn .г) В переменных действие-угол гамильтонов поток v выпрямляетсяна каждом торе Лиувилля из окрестности U , т.е.