Теория Морса минимальных сетей, страница 4

Отображение Γ : () → назовем параметрической сетью (или просто сетью) в пространстве . Сам граф называется параметризующим графом сети Γ.Пусть = (, ) — ребро сети Γ. Длину ребра по определениюположим равной (Γ(), Γ()). Сумму длин всех ребер сети Γ назовемдлиной сети Γ.Если выделено некоторое конечное подмножество в пространстве , такое что оно содержится в образе Im Γ сети Γ, то говорят, что сетьΓ затягивает множество , и называют границей сети Γ.Для сетей с границей различают два понятия: топология сети и типсети.

Такая необходимость возникает из-за того, что топология сети Γ(т.е. класс графов, изоморфных , где — параметризующий граф сети Γ) не определяет полностью того, что естественно было бы называтькомбинаторной структурой сети с границей. Например, две сети Γ1 иΓ2 , изображенные на рис. 1, имеют одну и ту же топологию и границу.Но эту границу они “по-разному затягивают”. Из приведенного примерамы видим, что для того, чтобы полностью определить комбинаторнуюструктуру сети с границей, нужно задать соответствие точек из границысети Γ некоторым вершинам ее параметризующего графа . Эти вершины называются граничными для графа , а их совокупность обозначается через .

Такое соответствие : → называется граничнымотображением для графа . Пара (, ) называется типом сети Γ сграницей . Обозначим через [, ] множество всех сетей типа (, ).Отметим, что каждая сеть из [, ] задается лишь положениями своихВведение18подвижных вершин, поскольку положения граничных вершин уже заданы отображением .Определение. Сеть Γ, имеющая наименьшую длину среди всех сетейиз множества [, ], называется минимальной параметрической сетьютипа (, ).Выше, на примере локально минимальных сетей, мы видели, что неимеет смысла рассматривать сети, у которых неграничные вершины (ихчаще называют подвижными) имеют степень 1 или 2. Таким образом,все подвижные вершины рассматриваемых нами сетей имеют степень неменьше 3.

Отсюда, в частности, следует, что все вершины степени 1 являются граничными. Вообще говоря, у таких сетей могут быть граничныевершины степени 2 и выше. Однако, с технической точки зрения удобносчитать, что таких граничных вершин нет. Для этого можно искусственно “вставить” в граничную вершину новую подвижную вершину , перебросить все инцидентные граничной вершине ребра на вершину исоединить вершину с вершиной новым ребром (это ребро будет вырожденным, т.е. иметь нулевую длину). После проделанной процедурыполучится новая сеть Γ, которая как подмножество пространства совпадает с исходной, но у параметризующего дерева сети Γ все вершиныстепени 1 и только они являются граничными и нет вершин степени 2.Если точки из границы = { }=1 сети Γ занумерованы числами от 1 до , то оказываются занумерованными (помеченными) и граничные вершины дерева — граничной точке соответствует граничная вершина с пометкой .

Таким образом, при фиксированной границе = { }=1 тип сети, затягивающей эту границу, определяется деревом сзанумерованными (помеченными) граничными вершинами. Поэтому далее при фиксированной границе = { }=1 у всех параметризующихдеревьев сетей Γ с границей граничные вершины будут считатьсяпомеченными различными числами от 1 до ; а также вместо обозначения [, ] будет использоваться сокращенное обозначение [].Подводя итог вышесказанному, мы будем считать, если не оговоренопротивное, что при фиксированной границе = { }=1 все параметризующие графы сетей, затягивающих границу , являются деревьями с вершинами степени 1, которые считаются граничными и которые помеченными различными числами от 1 до , и без вершин степени 2.

Такиедеревья назовем геометрическими деревьями. Множество всех геомет-Введение19рических деревьев с граничными вершинами обозначим через (какправило параметр ясен из контекста, поэтому мы его будем опускать).Приступим теперь непосредственно к построению конфигурационного пространства сетей с данной границей. Рассмотримпространство,⨆︀представляющее собой несвязную сумму ˜ =[]. Пространства []∈будем рассматривать как подмножества этой суммы. Зададим теперь напространстве ˜ отношение эквивалентности следующим образом.Для этого нам понадобится операция редукции сети Γ : → повырожденному ребру. Пусть = (, ) — вырожденное ребро сети Γ, т.е.Γ() = Γ(). “Стянем” это ребро в графе в точку.

На вновь образовавшейся вершине отображение Γ положим равной Γ(). На неизменившихся вершинах графа отображение Γ оставим прежним. Такаяоперация называется редукцией сети Γ по вырожденному ребру (, ).Обратная операция к редукции по вырожденному ребру называется расщеплением вершины.

Две точки (сети) Γ1 ∈ [1 ] и Γ2 ∈ [2 ] будем считать эквивалентными, если и только если, проредуцировав их по всемвнутренним (т.е. соединяющим две подвижные вершины) вырожденнымребрам, мы получим одну и ту же сеть.Построим фактор-пространство = ˜ /∼, где ∼ — описанная выше эквивалентность. Через обозначим стандартную проекцию ˜ нафактор-пространство . Пространство состоит из всех классов эквивалентности по отношению ∼. Опишем теперь как устроены эти классы.Пусть ϒ — класс эквивалентности сети Γ, тогда ϒ состоит из всех сетей, получающихся из сети Γ некоторой комбинацией расщеплений ееподвижных вершин и редукций по ее вырожденным внутренним ребрам. Любую сеть из класса эквивалентности ϒ назовем представителемданного класса.

Заметим, что поскольку операции редукции и расщепления сохраняют длину сети, то все сети из одного класса эквивалентностиимеют одинаковую длину. Следовательно, на пространстве корректноопределена функция длины ℓ.В каждом классе эквивалентности существует и единственна сеть(представитель), которая является регулярной сетью, т.е.

сетью без вырожденных внутренних ребер. Такую сеть мы назовем регулярным представителем данного класса. Очевидно, что любая регулярная сеть с границей является регулярным представителем некоторого класса эквивалентности. Таким образом, имеется взаимнооднозначное соответствиемежду регулярными сетями с границей и классами эквивалентности.Введение20Это соответствие мотивирует следующее определение.Определение. Пространство назовем конфигурационным пространством всех регулярных сетей с данной границей.В дальнейшем, если не оговорено противное, элементы (классы эквивалентности) пространства будут рассматриваться как регулярныесети с данной границей.Таким образом, пп. 1) и 2) реализованы.Для того чтобы реализовать пп.

3), 4) и 5) воспользуемся определениями и результатами комбинаторной теории Морса (см. выше).Сначала зададим к-топологию на пространстве . Поскольку проекция : ˜ → не склеивает друг с другом никакие две различныесети Γ1 и Γ2 , принадлежащие пространству [], то мы имеем вложениепространства [] в пространство .

Образ пространства[] при этом⋃︀вложении мы обозначим через ⟨⟩. Ясно, что =⟨⟩. Оказывает⋃︀ ∈ся, имеет место более сильное равенство: =⟨⟩, где (−3) —∈(−3)множество всех геометрических деревьев ранга − 3, т.е. бинарных деревьев. Таким образом, последнее равенство задает нам на пространстве к-топологию Σ = {⟨⟩}∈(−3) . Теперь мы можем пользоваться всемиопределениями и результатами комбинаторной теории Морса.Следующее утверждение описывает критические точки функции ℓ напространстве .Утверждение 2.9 Регулярная сеть Γ является критической точкойфункции ℓ на пространстве тогда и только тогда, когда Γ — регулярная минимальная параметрическая сеть.Напомним, что в п.

3) программы построения теории Морса минимальных сетей требовалось, чтобы локально минимальные сети являлиськритическими точками функции ℓ на конфигурационном пространстве . В отличие от большинства введенных выше определений и конструкций для общего метрического пространства понятие локально минимальной сети может быть бессодержательно. Однако, в случае когда есть евклидово пространство или, более общо, полное односвязное многообразие с неположительной секционной кривизной это понятие имеетсмысл.

В этом случае также можно показать (см. параграф 3.1 и раздел 4Введение21главы 3), что локально минимальные сети на можно интерпретировать как регулярные минимальные параметрические сети с топологиейбинарного дерева. Поэтому локально минимальные сети на , в силупредыдущего утверждения, являются критическими точками.Также напомним, что определение индекса сети Γ в комбинаторнойтеории Морса было дано через эйлерову характеристику к-потенциала− (Γ). Для удобства вычислений необходимо выразить индекс критической сети Γ в терминах теории минимальных сетей, а именно, через расщепления сети Γ специального вида, способные уменьшить длину сети Γ.Сеть Γ′ называется расщеплением сети Γ, если она получена с помощьюпоследовательности операций расщепления подвижных вершин сети Γ;другими словами, сеть Γ′ отличается от сети Γ несколькими дополнительными вырожденными внутренними ребрами 1 ,.

. . , . Если = 1,то расщепление Γ′ называется элементарным. Каждое расщепление Γ′порождает набор так называемых производных расщеплений Γ сети Γ:Γ отличается от сети Γ только одним ребром . Если расщепление Γ′способно уменьшить свою длину, т.е. не является минимальной параметрической сетью, то Γ′ называется геометрическим расщеплением сети Γ.Расщепление Γ′ называется мощным, если любое его производное расщепление является геометрическим. Обозначим через (Γ) совокупность всех мощных расщеплений сети Γ, ранг которых равен .

Наконец,сеть Γ назовем сетью с элементарно порожденными расщеплениями,если для каждого ее геометрического расщепления Γ′ в наборе его производных расщеплений также существует геометрическое расщепление.Пример сети с не элементарно порожденными геометрическими расщеплениями приведен в книге [29]. Следующее утверждение (в основном тексте диссертации как следствие) позволяет выразить индекс критическойсети через ее мощные расщепления.Следствие 2.4 Пусть Γ ∈ — регулярная минимальная параметрическая сеть ранга с элементарно порожденными расщеплениями. Тогда∑︁(− (Γ)) =(−1)−1 # + (Γ).Пусть теперь функция ℓ на пространстве является комбинаторнойфункцией Морса.

Перепишем также равенство Морса (теорема 2.1) втерминах теории минимальных сетей. Напомним, что в равенстве Морса фигурировали индексы канонических представителей Γ ручек △ .Введение22Оказывается, каждой ручке △ можно сопоставить некоторое подмножество критических точек, которое обозначается через ( ), где —тип канонического представителя Γ . Критические подмножества ( )попарно не пересекаются и в объединении дают все множество критических точек. Подробное описание множеств ( ) без привлечения языка комбинаторной теории Морса см.