Многогранники-следы и геометрические вариационные задачи

Московский Государственный Университетим. М. В. ЛомоносоваМ ЕХАНИКО – МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТНа правах рукописиН. С. Г УСЕВУДК 514.144.23+514.172.45+514.177.2Многомерные многогранники–следыи геометрические вариационные задачи01.01.04 — геометрия и топологияДиссертация на соискание ученой степеникандидата физико–математических наукНаучный руководительдоктор физико–математических наукпрофессор А. О. ИвановМосква20081ПредисловиеИзвестно, что кусочно–аффинные объекты (часто называются кусочно–линейными) долгое время имногообразно используются в математике и ее приложениях.

Несколько столетий весьма широкоиспользуется способ аффинного (линейного) приближения или характеризации отображений и пространств. Многие компьютерные техники моделирования основаны на кусочно–аффинном подходе.В частности, так изображаются поверхности (с помощью триангуляций), а также деформации их.При изучении геометрии “поверхностей” и функционалов на них (например, объема) необходимы средства задавать и деформировать эти “поверхности” со сложным локальным строением и возможнымисамоналожениями; также желательна “геометрическая наглядность”. В тех же самых сложных “поверхностях” следует изучать внутренние соотношения и задачи поиска и конструирования.Известна задача рассмотрения деформаций с изменением топологической структуры объекта, см., например, обзор в [4].

В частности, деформации, при которых меняется топологическая структура объекта, играют важную роль и в многомерных геометрических вариационных задачах, таких как проблема Плато и ее аналоги. В теории экстремальных сетей (одномерная проблема Плато) появилосьпонятие расщепления вершин при деформации, а также (как естественное средство моделирования их)— понятие сети–следа, как класса параметризаций сети в плоскости (параметризации эти не обязательно кусочно–аффинны), см., например, [5].

С целью наглядности в моделировании геометрическихобъектов с возможным изменением геометрии их, исходя из понятия расщепления у сетей–следов, вбольших размерностях с ограничением типа отображений в ГЛАВЕ П ЕРВОЙ определяются и изучаются многогранники–следы, их деформации и объем.Как уже сказано, представительным примером задач с деформациями, изменяющими геометрию, является проблема Плато. Напомним, что многомерная проблема Плато состоит в поиске так называемых глобально минимальных поверхностей, т.е. поверхностей, имеющих наименьший возможныйобъем среди всех поверхностей с данной границей, или, скажем, в данном гомологическом (гомотопическом) классе.

В 60–70-е годы XX века многомерная проблема Плато была решена (т.е. было доказано существование глобально минимальных поверхностей) для нескольких широких классов обобщенных поверхностей, таких как G-поверхности (Райфенберг [7]), целочисленные потоки (Федерер,Флеминг [8]), варифолды (Альмгрен [9]), спектральные многообразия и экстраординарные когомологии (Фоменко [10]), мультиварифолды (Дао Чонг Тхи [11]). Однако всем этим подходам не свойственна непосредственная наглядность, что ставит задачу описать геометрические особенности, связанныес проблемою Плато, более наглядно, например, на основе понятия многогранников–следов. Некоторые такие особенности рассмотрены в ГЛАВЕ В ТОРОЙ.На двумерной плоскости известно понятие погруженных многоугольников, введенных в рассмотрениеИвановым и Тужилиным в [14].

Это понятие связано, в частности, с известным исследованием Ду иХвана (Du, Hwang) [15] с целью доказать гипотезу Гилберта–Поллака [16] об отношении Штейнера наплоскости, см. подробности в [5] и [14]. Важно изучить соотношения погруженных многоугольников сих границами — замкнутыми ломаными.

К этому вопросу в ГЛАВЕ Т РЕТЬЕЙ предложены построенияв особом случае петельных ломаных.БлагодарностиАвтор благодарит своего научного руководителя профессора А. О. Иванова и профессора А. А. Тужилина за постановку задач, многочисленные обсуждения, критические замечания и внимание; а такжеблагодарит весь коллектив кафедры дифференциальной геометрии и приложений, возглавляемой академиком А.

Т. Фоменко, за возможность научной работы и помощь в ней.ОглавлениеКраткое обозрение5II Полное изложение18:19IВведение1 Кусочно–аффинные отображения и многогранники–следы1:Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1 Последовательная примитивизация . . . . . . . . . . . . .1.2 Свойства смятий и контракций . . . .

. . . . . . . . . . . .1.2.1 Смятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.2 Контракции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.3 Связь смятий и контракций . . . . . . . . . . . . . .1.3 Разложение кусочно–аффинных отображений .

. . . . . .1.3:Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.1 Стяжения ребер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.2 Разложение на комплексе . . . . . . . . . . . . . .1.3.3 Разложение на смятие и контракцию . . . . . . . .1.4 Многогранники–следы . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4.1 Построение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4.2 Деформации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4.3 Объем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4.4 Объем при деформации . .

. . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................................................................................................................................22222326262930323233373945454750522 Локальная минимальность2:Введение . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1 Многомерный расчет . . . . . . . . . . . . . .2.1.1 Расчет расщепления . . . . . . . . . .2.1.2 Степени симплексов . . . . . . . . . . .2.2 Двумерный случай в трехмерном пространстве2.2.1 Предварение . . . . . . . . . . . . . . .2.2.2 Описание десяти типов сетей на сфере2.2.3 Деформации с уменьшением объема . .........................................................................................................................................................................................5656575760646565773 Многоугольники–следы и их границы3:Введение . . .

. . . . . . . . . . . .3.1 Простые необходимые условия . . .3.2 Общее положение . . . . . . . . . .3.3 Ветвления . . . . . . . . . . . . . .3.4 Петельные ломаные–следы . . . . .3.5 Весовые функции . . . . . . . . . .3.6 Стяжение и натяжение петель . . ..................................................................................................................................................................858587909197100104............................2..............33.6.13.6.23.6.33.6.4Ветвление отрицательной петли .

. . . . . . . .Стяжение петли . . . . . . . . . . . . . . . . . .Натяжение петли . . . . . . . . . . . . . . . . .Натуральная весовая функция и существование........................................................................1041071091124Общие обозначения°Во всем изложении предполагаются известными стандартные понятия топологии, теории аффинныхпространств над R, теории сетей (см., например, [5]), некоторые сведения о выпуклых множествах, и вособенности, многогранниках (см., например, [3] и [1]).°Введем некоторые обозначения, часто используемые далее, но не общепринятые.S• Для произвольного множества A обозначим ∪ A :=a,— объединение всех элементов множеa:a∈Aства A, его “тело” (заметим, что тело пустого множества — пустое множество).• Скажем, что множество A является измельчением множества B или вписано в множество B иобозначим это отношение формулою A ≪ B, если верно, что–∪A = ∪B и– ∀b(b ∈ B −→ ∃C(C ⊂ A, ∪ C = b)).• Для бинарного отношения (т.

е. множества упорядоченных пар, например, функции или отображения, то есть функционального бинарного отношения) f обозначаются im f = {a : ∃b(hb, ai ∈ f)}— образ его, и dom f = {a : ∃b(ha, bi ∈ f)} — область действия или определения его.• Для четкости формулировок сопоставим бинарному отношению f функциональные бинарные отношения f◦ , f◦ ◦ , f◦ ◦ ◦ , где f◦ := {hA, Bi : A ⊂ dom f, B = {b : ∃a(a ∈ A, ha, bi ∈ f)}},— естественноеотображение, определенное на множестве всех подмножеств в dom f;◦еще заметим, что f◦ ◦ = (f◦ )◦ ; f◦ ◦ ◦ = (f◦ ◦ )◦ = ((f◦ )◦ ) .°Представим нашу запись следующих разнообразно обозначаемых множеств:• N = {0, 1, 2, 3, .

. .},— все натуральные (неотрицательные целые) числа;• N+ = {1, 2, 3, . . .} = N \ {0},— положительные целые числа;• R+ = R1+ = [0, +∞),— неотрицательная полуось;α−1• Rα× [0, +∞),+ = Rα ∈ N \ {0, 1},— неотрицательное полупространство.°Если не оговорено противное, то всякий раз при рассмотрении композиции a◦b каких-либо бинарныхотношений a и b предполагается их последовательная согласованность, то естьdom a = im b.°Все построения проводятся в некотором бесконечномерном вещественном аффинном пространствеUni, причем предполагается, что на нем задана некоторая топология такая, что на каждом конечномерном аффинном подпространстве A пространства Uni она порождает топологию обычного пространстваRdim A .Часть IКраткое обозрение56ОбзорДиссертация состоит из Введения и трех Глав.Во Введении содержатся некоторые основные определения и сведения.В Первой Главе изучаются кусочно–аффинные отображения и их связь с симплициальными комплексами; вводятся особые классы тех отображений — смятия и контракции, и изучаются некоторыесвойства их; еще показана представимость произвольного кусочно–аффинного отображения в видекомпозиции смятия и контракции; и на основе этих построений введено понятие многогранников–следов, их деформаций, объема и рассмотрено поведение объема при деформации.Во Второй Главе рассмотрена локальная структура многогранников–следов при условии локальнойминимальности их объема.

При этом изучены некоторые особенности этой структуры в многомерномслучае, и более подробно обсчитан двумерный случай в трехмерном пространстве.В Третьей Главе на основе понятия многогранника–следа построено понятие ломаной–следа и многоугольника–следа, и у последнего определено понятие границы. Введено понятие петельных границ иветвлений на них, и показано существование многоугольника–следа с заданною границею при некоторых условиях.Предварительные сведения°Inf·У всякого подмножества A в Uni определим его аффинную оболочку aff A как совокупность всевозможных конечных аффинных комбинаций точек множества A, относительную внутренностьrint A как внутренность множества A в его аффинной оболочке aff A и его относительную границуrmrg A как его границу в его аффинной оболочке.°Inf·Множество P есть выпуклый полиэдр, если и только если найдется непустое конечное множествоS точек в Uni, относительная внутренность выпуклой оболочки которого совпадает с P.°Inf·Многогранником или многогранным множеством или полиэдром называется объединениеконечного числа выпуклых полиэдров.