Многогранники-следы и геометрические вариационные задачи, страница 4

Тогда для A выполнены условия необходимости втом и только том случае, в котором fdGr(A) — связен и все ребра графа duGr(A) инцидентные бесконечной вершине ориентированы одновременно или к ней или от нее.Ветвления°Df·Рассмотрим некоторое круговое смятие a, точку x из rmrg dom a, и некоторый полный симплициальный комплекс k, относительно которого симплициально отображение a, и у которого точка x— вершинная. Рассмотрим все вершинные точки w комплекса k такие, что ребро (x, w) (у него вершинные точки суть x и w)— элемент комплекса k, и пронумеруем v0 , . .

. , vν все те точки так, чтобы] a(x)a(vι−1 ), a(x)a(vι ) > 0 при всех ι = 1, . . . , ν.0(x) по формуле (см. рис. 1 )Тогда определим число degk,a P](a(x)a(vι−1 ), a(x)a(vι )) 0.degk,a(x) :=  ι=1,...,ν2πРис. 1. пример к степени deg = 1°Th·Пусть a — круговое смятие в общем положении; x — точка из rmrg dom a; k 0 и k 00 — симплициальные комплексы, относительно которых отображение a симплициально, а точка x — вершиннаякаждому из них.Тогда degk0 0 ,a (x) = degk0 00 ,a (x).°Df·Определим для кругового смятия a в общем положении и точки x на множестве rmrg dom a сте0пень dega x точки x относительно отображения a как число degk,a(x) для некоторого комплексаk, относительно которого симплициально отображение a и которому точка x — вершинная.°Th·Рассмотрим круговое смятие a и круговое инъективное отображение b такое, что dom a = im b.Также возьмем некоторую точку x на множестве rmrg dom b.

Тогда dega◦b x = dega b(x).°Df·Рассмотрим многоугольник–след A в общем положении и точку x, лежащую на теле графа Gr(A),но не в вершине его. Тогда степенью degA x точки x относительно многоугольника–следа A назовемчисло dega y, где ha, rmrg dom ai — некоторый канонический представитель многоугольника–следа Aи точка y — единственный a–прообраз точки x на множестве rmrg dom a.15°Df·Рассмотрим многоугольник–след A в общем положении и точку x, лежащую на теле графа Gr(A),но не в вершине его.

Тогда назовем точку x точкою степени degA x относительно многоугольника–следа A, а если degA x > 0, то назовем ее точкою ветвления относительно многоугольника–следа A.Петельность°Df·Пусть a — окружностное отображение. Тогда отображение b, включенное в a, назовем параметрическою петлею в a, если или b = a, при условии, что a инъективно; или, если a не инъективно, тоdom b гомеоморфно невырожденному отрезку в R, отображение b инъективно на множестве reg dom bи склеивает концы множества dom b, а также im a∩intY (Y\C∞ (b)) = ∅.

При этом множество Y\C∞ (b)назовем областью, ограниченною параметрическою петлею b. Точку же b(x), где x — одна издвух нерегулярных точек множества dom b, назовем основанием параметрической петли b. См. рис.2.°Df·Скажем, что множество L — петля в ломаной–следе A, если найдется канонический представитель ha, ∅i ломаной–следа A и параметрическая петля b в нем, для которых im b = L. При этомназовем отображение b параметризациею петли L.

Основание же параметрической петли b назовемоснованием петли L.Рис. 2. петля и ее основание°Df·Если для A выполнены условия необходимости, то для параметрической петли b в некотором каноническом представителе ha, ∅i ломаной–следа A и для петли L в ломаной–следе A, где im b = L,определим знак lsigna0 b параметрической петли b по следующей формуле (взяв ориентацию на dom bот ориентации положительного обхода dom a):−1, если параметризация b обходит область, ею ограниченную,против часовой стрелки (в положительном направлении);lsigna0 b :=+1,если параметризация b обходит область, ею ограниченную,по часовой стрелке (в отрицательном направлении);и определим знак lsignA L петли L в ломаной–следе A как lsignA L := lsigna0 b.°Df·Для двух ломаных–следов A и B в общем положении, с выполненными условиями необходимостии петли L в A скажем, чтоA происходит из B порождением петли L и запишем A = B ⊕ L,илиB происходит из A вырождением петли L и запишем B = A L,если найдутся такие канонический представитель ha, ∅i ломаной–следа A, канонический представитель hb, ∅i ломаной–следа B, параметрическая петля c в A и кусочно аффинное отображение d, измножества dom a \ reg dom c на dom b, инъективное на dom a \ dom c, что b ◦ d = a|dom a\reg dom c .16°Df·Скажем, что ломаная–след A простая, если у нее есть инъективный канонический представитель,сохраняющий положительный обход области им ограниченной.Скажем, что ломаная–след A в общем положении с выполненными условиями необходимости петельная, если найдется набор m0 , .

. . , mν ломаных–следов в общем положении с условиями необходимости и набор петель l1 , . . . , lν в соответственно m1 , . . . , mν такие, что mν = A, m0 — простая ломаная–след, mι = mι−1 ⊕ lι , при ι = 1, . . . , ν.°Df·Скажем, что многоугольник–след петельный, если его граница петельная.Весовые функции°Df·Рассмотрим ломаную–след A.

Тогда функцию a, действующую на множестве Arc(A) всех дуг графа Gr(A) и принимающую произвольные целочисленные значения, назовем весовою.°Df·Рассмотрим две ломаные–следы A и B, где A происходит из B порождением петли L знака σ ∈{−1, +1} с основанием x на дуге A графа Gr(B), причемесли B проста, то дуга A подразделена точкою x на одну дугу A 0 в графе Gr(A),если же B не проста, то дуга A подразделена точкою x на две дуги A 0 и A 00 в графе Gr(A).Рассмотрим еще весовые функции a на A и b на B. Тогда скажем, что эти весовые функции согласованы, если в случае простоты ломаной–следа Bb(A) = a(A 0 ) + (a(L) + σ);или в случае непростоты ломаной–следа Ba(K),если K — дуга в Gr(A) и в Gr(B);b(K) =000a(A ) + (a(L) + σ) + a(A ), если K = A.°Df·Рассмотрим петельную ломаную–след A и некоторую весовую функцию a на ней.

Тогда скажем,что эта весовая функция a простая, если найдется последовательность b0 , . . . bν ломаных–следов ивесовых функций c0 , . . . , cν на тех ломаных–следах со свойствами1. bν = A;2. b0 — простая;3. bκ происходит из bκ−1 порождением петли, κ = 1, . . . , ν;4. cκ и cκ−1 согласованы, κ = 1, . .

. , ν;5. c0 ≡ 0;6. cν = a;7. cκ (A) > 0 при A ∈ dom cκ и κ = 0, . . . , ν;8. cκ (A) > 0, если A — петля знака −1 в bκ при κ = 1, . . . , ν.Реализация°Df·Рассмотрим некоторый многоугольник–след A в общем положении, его некоторый каноническийпредставитель ha, rmrg dom ai и некоторую дугу A графа Gr(Mrg A).

Тогда определим числоXpenda0 (A) :=dega x.◦x:x∈((mrg a)−1 ) (A)17°Df·Ясно, что не зависит от представителя ha, rmrg dom ai многоугольника–следа A следующее число:pendA (A) := penda0 (A).Эту функцию назовем степенною весовою функциею того многоугольника–следа A.°Th·Если A — петельная ломаная–след и p — правильная весовая функция на A. То найдется петельный многоугольник–след B с границею A и pendB = p.Часть IIПолное изложение18ВведениеАФФИННЫЕОБЪЕКТЫ°Inf·У всякого подмножества A в Uni определим его аффинную оболочку aff A как совокупность всевозможных конечных аффинных комбинаций точек множества A, относительную внутренностьrint A как внутренность множества A в его аффинной оболочке aff A и его относительную границуrmrg A как его границу в его аффинной оболочке.П ОЛИЭДРЫ°Inf·Множество P есть выпуклый полиэдр, если и только если найдется непустое конечное множествоS точек в Uni, относительная внутренность выпуклой оболочки которого совпадает с P.°Inf·Многогранником или многогранным множеством или полиэдром называется объединениеконечного числа выпуклых полиэдров.

Далее будем считать, что все многогранники связны.°Inf·Простая ломаная есть многогранник, гомеоморфный отрезку [0, 1].°Inf·Аффинное подпространство L пространства Uni зовется опорною к некоторому выпуклому полиэдру B плоскостью, если она пересекает замыкание полиэдра B и для всяких двух разных точек p и qиз B если (p, q) ∩ L 6= ∅, то [p, q] ⊂ L. Грань выпуклого полиэдра A есть всякий выпуклый полиэдрB, у которого найдется некоторая опорная к многограннику A плоскость C такая, что A ∩ C = B (обозначим через A C B отношение “A является гранью в B”). Также говорится, что выпуклый полиэдр Aинцидентен выпуклому полиэдру B, если или A — грань у B или наоборот B — грань у A.°Inf·Вершина есть всякий нульмерный выпуклый полиэдр. Вершина выпуклого полиэдра есть вершина, являющаяся его гранью, а точка x — вершинная точка выпуклого полиэдра, если множество{x} — вершина его. Совокупность всех вершинных точек выпуклого полиэдра P обозначим через vert P.Ребро есть одномерный выпуклый полиэдр.С ИМПЛЕКСЫ1°Inf·Симплекс есть выпуклый полиэдр с аффинно независимым множеством всех вершинных точекего.°Inf·Для двух симплексов A и B, объединение вершинных множеств которых аффинно независимо,определяется их произведение A ∗ B, также симплекс, по формулеA ∗ B = B ∗ A := rint conv(vert A ∪ vert B),где conv обозначает выпуклую оболочку.В ЫПУКЛОПОЛИЭДРАЛЬНЫЕ19КОМПЛЕКСЫ20/Полно/Введение°Inf·Напомним, что два выпуклых полиэдра согласованы, если пересечение их замыканий или пустоили является замыканием некоторой грани в каждом из них.