Автореферат (Моды шепчущей галереи в неидеальных оптических микрорезонаторах. Методы аппроксимации), страница 3

Раскладываячлены в уравнениях, содержащие d, по малому параметру η = d/a и предполагая, что влияниеслоя мало, при nk0 a = tm,q + ∆0 + ∆p , поправку ∆p можно найти в виде:∆p = −nk0 dn2p − n2e(1 + n2e (Pp − P ))n2 − n2e(11)Это выражение согласуется с полученным в более ранних работах [14], но при этом имеет более простой вид. Так как в микрорезонаторных биосенсорах детектируемые величиныкрайне малы [15] и практически не зависят от членов l−1/3 , то для большинства приложений11выражение (11) хорошо описывает величину поправки.Используя полученное выражение также можно рассчитать изменение добротности резонатора, вносимое тонким слоем при наличии в нем затухания.

Если показатель преломленияслоя можно записать в виде np → npr − in′′p , где n′′p = −αp /2k0 (αp – оптические потери вматериале), то Qp =nk0 a2Im(∆p )иQ−1p,T Md 4nrQ−1n′′ ,p,T E ≈a n2 − n2e p 2n4en − n2e.≈ Q−1+p,T En2n4p(12)Чтобы рассчитать поправки для тонкого слоя, воспользуемся еще одним методом электродинамики. При медленном адиабатическом изменении параметров системы величины, называемые адиабатическими инвариантами, не изменяются. В частности:∆A∆ω=−,Eω(13)где ∆A — работа пондеромоторных сил давления света по перемещению границы адсорбированного слоя, E — энергия поля. Так как микрорезонатор с диэлектрической границей является открытой системой, то интеграл энергии во всем пространстве расходится.

Существуютразные методы обхода этого ограничения [11]. В настоящей работе в качестве энергии полявыберется энергия, сосредоточенная внутри резонатора, что является хорошим приближением для высокодобротного микрорезонатора и обеспечивает сходимость интеграла.Чтобы получить изменение собственных частот адиабатически увеличим толщину слояна поверхности резонатора от 0 до d. Чтобы найти работу поля внутри слоя нужно получить разницу давления световой волны в слое и в окружающем слой пространстве. При этомвоспользуемся тензором Максвелла σij в среде с диэлектрической проницаемостью ǫ [16]:1σij =4πǫE 2 + H 2ǫEi Ej + Hi Hj −δij ,2(14)который необходимо использовать в сферических координатах. Разницу давлений на поверхности сред с показателями преломления ǫp и ǫe можно получить какp = σrr |in − σrr |out(ǫp − ǫe ) ǫp 2 22=E + Eφ + Eθ .8πǫe r(15)Для получения работы нужно проинтегрировать силу на всей внутренней поверхности слоя,действующую на элементарную площадь поверхности dS, на толщине слоя в данной точкеповерхности.RdS(pd)∆ω=−,ωE12(16)Для TM это позволяет сдвиг частот:∆(nka) = −nkdn2p − n2e.n2 − n2e(17)Для TM мод электрическое поле имеет также нормальную к поверхности компоненту.

Интегрируя отдельно угловые части для всех трех компонент поля и оценивая их радиальныечасти можно получить, что θ компонента поля много меньше двух других компонент. Такимобразом, для TM моды относительная поправка для собственной частоты:n2p − n2e d n2 n2e + n2p n2 − n2p n2e∆ω.=− 2ωn − n2e an2 n2p(18)Полученный результат сходится как с результатом, полученным с помощью характеристического уравнения, так и с результатами в работе ( [14]).В этой главе были продемонстрированы новые подходы к оценке сдвига собственных частот при осаждении тонкого диэлектрического слоя на поверхности резонатора.

Приведенныеметоды, во-первых, подтверждают результаты, полученные ранее с использованием возмущения векторного уравнения Гельмгольца [14]. Исходя из рассчитанных поправок, были получены комплексные добавки к частоте из-за наличия поглощения в слое, определяющие зависимость оптических потерь от длины волны и размера резонатора, и показано, что для TE иTM мод они различны. Кроме того, рассматривалась зависимость простой диэлектрическойпоправки от радиального индекса q.

Было получено, что для q ≤ 6 поправки можно считатьпостоянными, а для мод высших порядков их нужно учитывать более точно.Эти результаты опубликованы в [A3], [A4].13.4Глава 4В главе аналитически рассматривается связь сфероидальных резонаторов с модами шепчущей галереи с призмой. Как было показано в обзоре литературы, реализация связи с модамишепчущей галереи в оптических микрорезонаторах при помощи призмы [17] является наиболее простым и надежным способом, позволяющим получить эффективность связи до 75% [18],причем в экспериментах с призменной связью часто используется именно несферические резонаторы. В работе для описания связи между призмой и резонатором используется подход,аналогичный разработанному в [19], и исследуются параметры пучка в призме, необходимыедля оптимальной связи.

Для нахождения сдвигов собственных частот резонатора используется адиабатический инвариант.Для того, чтобы связаться с резонатором через призму, излучение должно быть сфокусировано на внутренней поверхности призмы под углом, большем полного внутреннего отражения, а резонатор должен быть поднесен к точке фокусировки на расстояние порядка λ/10,где λ - длина волны [19].

Сферическая система координат выбирается с началом в центре13резонатора и декартова система координат с центром в точке фокусировки излучения (2).z′zΘθρφx′yΦxy′Рис. 2: Сферическая система координат с началом в центре резонатора и декартова с началомв точке фокусировки излученияДля того, чтобы перейти от распределения поля на поверхности призмы к распределениюполя внутри нее, используется интеграл Френеля.

Предполагая, что k˜y = ky /k и k˜z = kz /k,результат интегрирования можно представить в виде:(19)k̃z0 = sin Θ = 0∆k̃z222= ∆Θ cos Φ =k̃y0 = sin Φ =rqb2 m21a2 − 4rb2 n2p k 2+a=mnr ab + lpn2r − 1n2p b2 2nr a2 lnrm≈np kanp∆k̃y2 = ∆Φ2 cos2 Φ =(20)(21)pnr n2r − 11≈,n2p k 2 arn2p l(22)и для p ≫ 1:rp√r4√4b2 m2 − a2 l − ma nr m(l − m)k̃z0 = sin Θ cos Φ = ±≈± 2bnp kab nplp22a nr nr − 1a∆kz2 = ∆Θ2 cos2 Φ cos2 Θ = 2 2 2 ≈np k b rn2p b2 lmmnrk̃y0 = sin Φ cos Θ =≈aknplnppnr n2r − 11.∆ky2 = 2 2 ≈np k arn2p l(23)(24)(25)(26)Новый параметр поперечного размера сфероида b определяет характеристики поля в призме. Одно из важнейших соотношений np > nr , следующее из условия полного внутреннегоотражения на грани призмы и ограничивающее выбор возможных материалов призмы и резонатора, можно получить из (21) и (25).

Это условие не изменяется существенно с изменениемb/a из-за характера зависимости собственной частоты от сплюснутости [A2]. Основное отличие от случая идеальной сферы в распределении поля в вертикальной плоскости. Для фундаментальных мод характерная ширина распределения поля в призме зависит от сплюснутости.14При увеличении сплюснутости резонатора характерная ширина распределения увеличивается из-за уменьшения ширины поля, проникающего из резонатора в призму.

Для случая модвысокого порядка с p ≫ 1 зависимость характерной ширины в зависимости от сплюснутости аналогична и, в основном, определяется углом прецессии, зависящим в свою очередь отm/l [19].Полагая, что падающий на грань призмы пучок Гаусов и углы в призме подобраны оптимальным образом, можно получить сплюснутость резонатора, необходимую для наибольшейсвязи. Предположим, что падающий на призму луч имеет в направлениях y и z ширины gyи gz соответственно, причем отношение gy /gz зависит от угла падения излучения в призме.Для того, чтобы оптимизировать величину связи, максимизируем интеграл перекрытия наповерхности призмы [20] между полем резонатора, проникающим в призму и полем излучения:Ics ∝ZdsEl (y, z)Er (y, z).(27)Для фундаментальной моды интеграл может быть посчитан, и результат продифференцирован по b/a для поиска экстремума:pg2bka= z2 m + 3 n2r − 1aam(28)Возбуждение мод с p ≫ l требует негаусова профиля входного пучка и не рассматривается внастоящей работе.Оптимальные параметры не зависят одновременно и от gy и от gz , так как сплюснутостьрезонатора существенно изменяет распределение поля лишь в вертикальной плоскости.

Какможно видеть из (3), зависимость связи от сплюснутости резонатора слабая. Для типичныхэкспериментальных значений величина интеграла перекрытия изменяется лишь на 10% приизменении сплюснутости в 3 раза.Полученный результат для оптимальной сплюснутости резонатора отличается от аналогичного, полученного в работе [21], в которой предполагалось, что оптимальная связь достигается при равенстве отношений характерных ширины пучка в направлениях осей z и y длялазера и для резонатора на грани призмы. Предложенный в настоящей работе метод являетсяметодологически более корректным, так как при решении уравнений связанных мод [20] длякоэффициентов связи появляются именно интегралы перекрытия, которые и максимизируются в настоящей работе.Наличие элемента связи (призмы) приводит к тому, что энергия из резонатора будет излучаться через него.

Потери энергии на излучение через призму можно характеризовать обратной величиной, которую мы будем называть добротностью нагружения. Сплюснутостьрезонатора также влияет на добротность нагружения. Найти её можно как отношение внут-151.0n ka=30000rn ka=10000r10n ka=30006r0.8n ka=300rIQcs0.60.41050.20.00.010.11100.010.1b/a1b/aРис. 4: Добротность при nr = 1.4, np = 1.5,d = 0, κ = a/λРис. 3: Интеграл перекрытия для фундаментальных мод a = 1mm, nr = 1.4, gz = 10µm,gy = 20µmренней энергии резонатора E к энергии P , уходящей через призму:Q=ωEPДля того, чтобы найти энергию, уходящую из резонатора в призму, находящуюся на расстоянии d, интегрируется плотность энергии, выходящей из резонатора, причем аналогичнопредыдущим выкладкам, поверхность призмы считается бесконечной.

Таким образом, добротность нагружения:n2Q= rnp2πa n2r − 1λ ! 234πde√n2r −1λ×sπaπp+n2r − 1 bnrПолученное выражение совпадает с добротностью для сферы [19] и изменяется со сплюснутостью, что связано с изменением формы области на поверхности призмы, в которую эффективно проникает поле из резонатора. Добротность нагружения, так же как и в случае сферы,экспоненциально зависит от расстояния между резонатором и призмой, что позволяет легкодобиваться оптимального нагружения выбором необходимого расстояния d.Так как призма находится в области быстро спадающего с расстоянием поля резонатора,то её присутствие влияет на собственные частоты резонатора.

Соответствующий малый сдвигчастот может быть легко получен с использованием адиабатического инварианта аналогично[A3]. Находя работу по перемещению призмы из бесконечности на расстояние d, предполагая,что выпадающее поле резонатора Ep зависит только от расстояния d, и рассматривая разность16энергии при наличии призмы на расстоянии d и при ее отсутствии, получим:∆ω∆A1==ωEQln2 − 1pp2 n2r − 1!(29)При наличии потерь в материале призмы часть энергии из резонатора будет поглощатьсяв ней.

Назовем обратную величину этих потерь добротностью призмы. Подставляя комплексный показатель преломления материала призмы np = npr +inpi в выражение для добротностиможно получитьQli =npr n2pr + n2piQp 2nr − 1npnpi n2pr + n2pi + 1(30)В работе рассматривалось влияние сплюснутости резонатора на величину связи с призмойи добротность нагружения. Было показано, что распределение поля в призме заметно меняется со сплюснутостью резонатора только в направлении сплюснутости.

Наличие сплюснутостирезонатора может позволить смягчить требования к наклону резонатора относительно плоскости призмы. Добротность нагружения призмой сплюснутого резонатора слабо зависит отсплюснутости. Также было показано, что выбор оптимальных параметров падающего излучения может увеличить связь на несколько процентов.Эти результаты опубликованы в [A5].13.5Глава 5В главе рассматривалась стабилизация лазерных диодов с помощью оптических микрорезонаторов. Как было показано в обзоре литературы, задача стабилизации имеет важный прикладной характер для задач спектроскопии, телекоммуникации, фотоники, но, на сегодняшнийдень, не существует простой аналитический теории затягивания лазера резонатором с модами шепчущей галереи, позволяющей одновременно получить выражения для ширины полосызатягивания и стабильности затянутого лазера.